2022届高考数学一轮复习-第四章-4.5.1-两角和与差的正弦、余弦和正切学案.docx

2022届高考数学一轮复习 第四章 4.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切学案

2022届高考数学一轮复习 第四章 4.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切学案

年级：
姓名：

第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切

　三角函数公式的基本应用
[自主练透型]
1．[2021·山西吕梁阶段检测]sin 7°cos 37°－sin 83°cos 307°＝(　　)
A．－　　　B.　　　C．－　　　D.
2．[2021·湖南益阳、湘潭质量统测]已知sin α＝(角α为第二象限角)，则cos＝(　　)
A. B. C. D.
3．[2020·全国卷Ⅲ]已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2

悟·技法
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.

考点二　三角函数公式的活用[互动讲练型]
[例1]　(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
(2)[2021·陕西汉中模拟]化简：＝(　　)
A. B. C．1 D．－
悟·技法
三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用(如本例(1)).

[变式练]——(着眼于举一反三)
1．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
2．已知cos－sin α＝，则sin＝________.
3．(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝________.

考点三　角的变换[互动讲练型]
[例2]　(1)已知tan＝－2，则tan＝(　　)
A．－ B. C．－3 D．3
(2)[2021·百校联盟联考]已知α、β都是锐角，cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则sin α＝(　　)
A. B.
C. D.
悟·技法
利用角的变换求三角函数值的策略
(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)常见的角变换技巧：
α＝2·；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；
α＝[(α＋β)＋(α－β)]；β＝[(α＋β)－(α－β)]；
＋α＝－.
(4)特殊角的拆分：＝＋，＝＋，＝－.

[变式练]——(着眼于举一反三)
4．已知α，β均为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，则tan β＝________.
5．若cos(75°－α)＝，则cos(30°＋2α)＝________.
微专题(十五)　易错警示：三角函数求值忽视角的范围致误[例]　(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，则cos(α＋β)的值为________；
(2)已知在△ABC中，sin(A＋B)＝，cos B＝－，则cos A＝________.
易错分析：(1)角－β，α－的范围没有确定准确，导致开方时符号错误．
(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B为钝角．
解析：(1)∵0<β<<α<π，
∴－<－β<，<α－<π，
∴cos＝ ＝，
sin＝ ＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1
＝2×－1＝－.
(2)在△ABC中，∵cos B＝－，
∴<B<π，sin B＝＝.
∵<B<A＋B<π，sin(A＋B)＝，
∴cos(A＋B)＝－＝－，
∴cos A＝cos[(A＋B)－B]
＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B
＝×＋×＝.
答案：(1)－　(2)
温馨提醒：在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．
方法与技巧：
1．巧用公式变形：
和差角公式变形：tan x±tan y＝tan(x±y)·(1∓tan x·tan y)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝，sin2α＝，
配方变形：1±sin α＝2，
1＋cos α＝2cos2 ，1－cos α＝2sin2.
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
失误与防范：
1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．
2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．

第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切
课堂考点突破
考点一
1．解析：sin 7°cos 37°－sin 83°cos 307°＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(7°－37°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－，故选A.
答案：A
2．解析：因为角α为第二象限角，且sin α＝，所以cos α＝－.所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝－×＋×＝.故选D.
答案：D
3．解析：2tan θ－tan＝2tan θ－＝7，整理可得tan2θ－4tan θ＋4＝0，∴tan θ＝2，故选D.
答案：D
考点二
例1　解析：(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
(2)＝＝
＝＝，故选A.
答案：(1)B　(2)A
变式练
1．解析：cos2＝＝＋sin 2α＝＋×＝.
答案：D
2．解析：由cos(α＋)－sin α＝cos α－sin α－sin α＝cos α－sin α＝(cos α－sin α)＝cos＝sin＝，得sin＝.sin＝－sin＝－sin＝－.
答案：－
3．解析：(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2.
答案：2
考点三
例2　解析：(1)∵tan＝－2，∴tan＝tan＝＝＝－，故选A.
(2)∵α、β都是锐角，∴0<α＋β<π，－<α－β<.又∵cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，∴sin(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝－.∵cos 2α＝1－2sin2α＝－，
∴sin2α＝，∵sin α>0，∴sin α＝，故选A.
答案：(1)A　(2)A
变式练
4．解析：由于α为锐角，且cos α＝，故sin α＝＝，tan α＝＝.由tan (α－β)＝＝－，解得tan β＝.
答案：
5．解析：∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝，
∴cos(30°＋2α)＝1－2sin2(15°＋α)＝1－2×＝.
答案：