2022届高考数学一轮复习-第九章-9.6-双曲线学案.docx

2022届高考数学一轮复习 第九章 9.6 双曲线学案2022届高考数学一轮复习 第九章 9.6 双曲线学案年级：姓名：第六节双曲线【知识重温】一、必记3个知识点1双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|2c0)的距离_为非零常数2a(2a0，c0.()当_时，M点的轨迹是双曲线；()当_时，M点的轨迹是两条射线；()当_时，M点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围_yR_xR对称性对称轴：_对称中心：_对称轴：_对称中心：_顶点顶点坐标：A1_，A2_顶点坐标：A1_，A2_渐近线_离心率e_，e(1，)其中c_实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|_；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|_；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c关系c2_(ca0，cb0)3.双曲线中的4个常用结论(1)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x轴上时，渐近线斜率为，当焦点在y轴上时，渐近线斜率为.(3)渐近线与离心率1(a0，b0)的一条渐近线的斜率为.(4)若P为双曲线上一点，F为其对应焦点，则|PF|ca.二、必明4个易误点1双曲线的定义中易忽视2a|F1F2|则轨迹不存在2双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a0，b0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同若ab0，则双曲线的离心率e(1，)；若ab0，则双曲线的离心率e；若0a.3注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.4易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在x轴上，渐近线斜率为，当焦点在y轴上，渐近线斜率为.【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)()二、教材改编2若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.B5C. D23经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_三、易错易混4P是双曲线1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且|PF1|9，则|PF2|_.5坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为_四、走进高考62020江苏卷在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率是_双曲线的定义及其标准方程互动讲练型考向一：双曲线的定义及应用例1(1)2021河南非凡联盟联考已知双曲线C：1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线与直线4x3y0垂直，点M在C上，且|MF2|6，则|MF1|()A2或14 B2C14 D2或10(2)2020全国卷设双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1PF2P.若PF1F2的面积为4，则a()A1 B2C4 D8悟技法双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系注意在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.考向二：双曲线的方程例22020天津卷设双曲线C的方程为1(a0，b0)，过抛物线y24x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A.1 Bx21C.y21 Dx2y21悟技法求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.变式练(着眼于举一反三)1已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2_.22021太原市高三年级模拟试题已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，若其右顶点到这条渐近线的距离为，则双曲线的方程为_考点二双曲线的几何性质分层深化型考向一：双曲线的离心率例32020全国卷已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_考向二：双曲线的渐近线例42021合肥市高三教学质量检测已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为点F，点B是虚轴的一个端点，点P为双曲线C左支上的一个动点，若BPF周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C的渐近线方程为_悟技法1.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解2求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线1(a0，b0)的渐近线的方法是令0，即得两渐近线方程0.同类练(着眼于触类旁通)32021河南南阳质检若双曲线1(a0)的一条渐近线与直线yx垂直，则此双曲线的实轴长为()A2B4C18D3642021广州市高三年级调研检测已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，垂足为D，且满足|FD|OF|(O为坐标原点)，则双曲线的离心率为()A. B2 C3 D.变式练(着眼于举一反三)52021洛阳市尖子生联考已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|2|PF2|，若sinF1PF2，则该双曲线的离心率等于()A. B2 C.或2 D.1或62021惠州市高三调研考试双曲线1(a0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线与圆(x2)2y23的公共点的个数为()A1 B2 C4 D0拓展练(着眼于迁移应用)72021合肥市高三教学质量检测已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，圆F2与双曲线C的渐近线相切，M是圆F2与双曲线C的一个交点若0，则双曲线C的离心率等于()A. B2 C. D.82021湖南省长沙市高三调研试题已知双曲线C：1(a0，b0)的左焦点为F，过原点的直线l与双曲线左、右两支分别交于点P，Q，且满足|QF|PF|8，虚轴的上端点B在圆x2(y3)21内，则该双曲线离心率的取值范围为()A. B.C. D(，)考点三直线与双曲线的位置关系互动讲练型例52021长沙四校联考设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标悟技法1.解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程利用根与系数的关系，整体代入2有时根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷.变式练(着眼于举一反三)9已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点(1)求双曲线的方程；(2)若F1AB的面积等于6，求直线l的方程第六节双曲线【知识重温】之差的绝对值焦点焦距2a|F1F2|xa或xaya或yax轴，y轴坐标原点x轴，y轴坐标原点(a,0)(a,0)(0，a)(0，a)yxyx 2a2ba2b2【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)2解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为0，即bxay0，2ab.又a2b2c2，5a2c2.e25，e.答案：A3解析：设双曲线的方程为1(a0)，把点A(4,1)代入，得a215(舍负)，故所求方程为1.答案：14解析：由题意知a4，b9，c，由于|PF1|9ac4，故点P只能在左支上，|PF2|PF1|2a8，|PF2|PF1|817.答案：175解析：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为1，则渐近线的方程为yx，由题意可得tan，ba，可得c2a，则e2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为1，则渐近线的方程为yx，由题意可得tan，ab，可得ca，则e.综上可得e2或e.答案：2或6解析：由双曲线的一条渐近线方程为yx得，则该双曲线的离心率e .答案：课堂考点突破考点一例1解析：(1)由题意知，故a4，则c5.由|MF2|6ac9，知点M在C的右支上，由双曲线的定义知|MF1|MF2|2a8，所以|MF1|14.(2)设|PF1|r1，|PF2|r2，则|r1r2|2a，rr2r1r24a2.由于F1PF2P，则rr4c2，4c22r1r24a2，r1r22b2.SPF1F2r1r22b2b24，e ，解得a21，即a1.故选A.答案：(1)C(2)A例2解析：解法一由题知y24x的焦点坐标为(1,0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x1，而1的渐近线方程为0和0，由l与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a1，b1，故选D.解法二由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直，则ab，即渐近线方程为xy0，排除B，C.又知y24x的焦点坐标为(1,0)，l过点(1,0)，(0，b)，所以1，b1，故选D.答案：D变式练1解析：由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，所以|PF1|2|PF2|4，则cosF1PF2.答案：2解析：由一条渐近线的方程为yx，得，由右顶点(a,0)到渐近线yx的距离为，得 ，由，得，所以双曲线的方程为1.答案：1考点二例3解析：点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为，点A坐标为(a,0)，AB的斜率为3，3，即e13，e2.故离心率e2.答案：2例4解析：由题意可得F(c,0)，如图，不妨设B(0，b)，F(c,0)连接PF，BF.由双曲线的定义可得|PF|PF|2a，则|PF|PF|2a，|BF|BF|，则BPF的周长为|PB|PF|BF|PB|PF|2a|BF|2|BF|2a，当且仅当B，P，F共线，且P在B，F中间时，BPF的周长取得最小值，且为2a2，由题意可得8a2a2，即9a2b2c22c2a2，即5a2c2a2b2,4a2b2，2，所以双曲线C的渐近线方程为y2x.答案：y2x同类练3解析：双曲线的渐近线方程为yx，由题意可得1，得a9，2a18.故选C.答案：C4解析：根据双曲线的几何性质可知，焦点到渐近线的距离|FD|b，而|OF|c，依题意得bc，代入c2a2b2得c2a2c2，即c2a2，所以，.故选A.答案：A5解析：因为P为双曲线C上一点，且|PF1|2|PF2|，所以点P在双曲线C右支上，如图，则|PF1|PF2|2a.又因为|PF1|2|PF2|，所以|PF2|2a，|PF1|4a.因为sinF1PF2，所以cosF1PF2.在F1PF2中，cosF1PF2，解得e24或e26.又e1，所以e2或e.故选C.答案：C6解析：双曲线1的一条渐近线的方程为yx.由离心率e2得4，即4，得，所以一条渐近线的方程为yx.联立得，消去y整理得4x24x10，因为16440，所以渐近线yx与圆(x2)2y23只有一个公共点由对称性可得该双曲线的渐近线与圆(x2)2y23的公共点的个数为2，选B.答案：B拓展练7解析：双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F2(c,0)，圆F2与双曲线C的渐近线yx相切，故圆F2的半径r等于点F2到直线bxay0的距离，rb，又M是圆F2与双曲线C的一个交点，|F2M|b，|F1M|2ab，又0，又|F1F2|2c，(2ab)2b24c2，b2a，e，故选A.答案：A8解析：设双曲线C的右焦点为F，连接PF，QF，如图所示由对称性可知，P，Q关于原点对称，则|OP|OQ|.又|OF|OF|，所以四边形PFQF为平行四边形，所以|PF|QF|，则|QF|PF|QF|QF|2a8，所以a4.因为虚轴的上端点B(0，b)在圆x2(y3)21内，所以02(b3)21，解得2b4，则24，即24，得2c4，所以e，故选C.答案：C考点三例5解析：(1)由题意知a2，一条渐近线为y x.即bx2y0，b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，若t，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则x1x216，y1y212.t4，点D的坐标为(4，3)变式练9解析：(1)依题意，b，2a1，c2，双曲线的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2,0)易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，故可设直线l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，k时，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，F1AB的面积Sc|y1y2|2|k|x1x2|2|k|12|k|6.得k48k290，则k1.所以直线l的方程为yx2或yx2.