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2022届高考数学一轮复习 第九章 9.6 双曲线学案

2022届高考数学一轮复习 第九章 9.6 双曲线学案

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第六节　双曲线

【知识重温】
一、必记3个知识点
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；
(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；
(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形

性
质
范围
⑦________　y∈R
⑧________　x∈R
对称性
对称轴：⑨________
对称中心：⑩________
对称轴：⑪________
对称中心：⑫________
顶点
顶点坐标：A1⑬______，
A2⑭________
顶点坐标：A1⑮______，
A2⑯________
渐近线
⑰____________
⑱____________
离心率
e＝⑲________，e∈(1，＋∞)其中c＝⑳________
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝________；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝________；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c关系
c2＝________(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.双曲线中的4个常用结论
(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．
(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x轴上时，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上时，渐近线斜率为±.
(3)渐近线与离心率．
－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝.
(4)若P为双曲线上一点，F为其对应焦点，则|PF|≥c－a.
二、必明4个易误点
1．双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a>|F1F2|则轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a>0，b>0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．
若a>b>0，则双曲线的离心率e∈(1，)；
若a＝b>0，则双曲线的离心率e＝；
若0<a<b，则双曲线的离心率e>.
3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±.
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．(　　)
二、教材改编
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A.　　B．5
C. D．2
3．经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
三、易错易混
4．P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
5．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．
四、走进高考
6．[2020·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是________．

　双曲线的定义及其标准方程
[互动讲练型]
考向一：双曲线的定义及应用
[例1]　(1)[2021·河南非凡联盟联考]已知双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线与直线4x＋3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝(　　)
A．2或14 B．2
C．14 D．2或10
(2)[2020·全国卷Ⅲ]设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8

悟·技法
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[注意]　在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.
考向二：双曲线的方程
[例2]　[2020·天津卷]设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B．x2－＝1
C.－y2＝1 D．x2－y2＝1

悟·技法
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
2．[2021·太原市高三年级模拟试题]已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，若其右顶点到这条渐近线的距离为，则双曲线的方程为________________________________________________________________________．

考点二　双曲线的几何性质[分层深化型]
考向一：双曲线的离心率
[例3]　[2020·全国卷Ⅰ]已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．

考向二：双曲线的渐近线
[例4]　[2021·合肥市高三教学质量检测]已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为点F，点B是虚轴的一个端点，点P为双曲线C左支上的一个动点，若△BPF周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C的渐近线方程为__________________．

悟·技法
1.求双曲线离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
2．求双曲线的渐近线方程的方法
求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
[同类练]——(着眼于触类旁通)
3．[2021·河南南阳质检]若双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线与直线y＝x垂直，则此双曲线的实轴长为(　　)
A．2　　　　B．4　　　　C．18　　　　D．36
4．[2021·广州市高三年级调研检测]已知F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，垂足为D，且满足|FD|＝|OF|(O为坐标原点)，则双曲线的离心率为(　　)
A. B．2 C．3 D.

[变式练]——(着眼于举一反三)
5．[2021·洛阳市尖子生联考]已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，若sin∠F1PF2＝，则该双曲线的离心率等于(　　)
A. B．2 C.或2 D.＋1或
6．[2021·惠州市高三调研考试]双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3的公共点的个数为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．0

[拓展练]——(着眼于迁移应用)
7．[2021·合肥市高三教学质量检测]已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，圆F2与双曲线C的渐近线相切，M是圆F2与双曲线C的一个交点．若·＝0，则双曲线C的离心率等于(　　)
A. B．2 C. D.
8．[2021·湖南省长沙市高三调研试题]已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，过原点的直线l与双曲线左、右两支分别交于点P，Q，且满足|QF|－|PF|＝8，虚轴的上端点B在圆x2＋(y－3)2＝1内，则该双曲线离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D．(，)

考点三　直线与双曲线的位置关系
[互动讲练型]
[例5]　[2021·长沙四校联考]设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．

悟·技法
1.解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．
2．有时根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷.

[变式练]——(着眼于举一反三)
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．

第六节　双曲线
【知识重温】
①之差的绝对值　②焦点　③焦距
④2a<|F1F2|　⑤2a＝|F1F2|
⑥2a>|F1F2|　⑦x≥a或x≤－a
⑧y≥a或y≤－a　⑨x轴，y轴　⑩坐标原点
⑪x轴，y轴　⑫坐标原点　⑬(－a,0)
⑭(a,0)　⑮(0，－a)　⑯(0，a)　⑰y＝±x
⑱y＝±x　⑲　⑳ 　2a　2b　a2＋b2
【小题热身】
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
(5)√
2．解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝＝5，∴e＝.
答案：A
3．解析：设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，故所求方程为－＝1.
答案：－＝1
4．解析：由题意知a＝4，b＝9，
c＝＝，
由于|PF1|＝9<a＋c＝4＋，故点P只能在左支上，∴|PF2|－|PF1|＝2a＝8，∴|PF2|＝|PF1|＋8＝17.
答案：17
5．解析：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan＝，b＝a，可得c＝2a，则e＝＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan＝，a＝b，可得c＝a，则e＝.综上可得e＝2或e＝.
答案：2或
6．解析：由双曲线的一条渐近线方程为y＝x得＝，则该双曲线的离心率e＝＝ ＝.
答案：
课堂考点突破
考点一
例1　解析：(1)由题意知＝，故a＝4，则c＝5.
由|MF2|＝6＜a＋c＝9，知点M在C的右支上，
由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a＝8，
所以|MF1|＝14.
(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则|r1－r2|＝2a，∴r＋r－2r1r2＝4a2.
由于F1P⊥F2P，则r＋r＝4c2，∴4c2－2r1r2＝4a2，∴r1r2＝2b2.
∵S△PF1F2＝r1r2＝×2b2＝b2＝4，∴e＝ ＝＝，解得a2＝1，即a＝1.故选A.
答案：(1)C　(2)A
例2　解析：解法一　由题知y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x＋＝1，而－＝1的渐近线方程为＋＝0和－＝0，由l与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1，故选D.
解法二　由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直，则a＝b，即渐近线方程为x±y＝0，排除B，C.又知y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，l过点(1,0)，(0，b)，所以＝－1，b＝1，故选D.
答案：D
变式练
1．解析：由双曲线的定义有
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
所以|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝
＝＝.
答案：
2．解析：由一条渐近线的方程为y＝x，得＝，由右顶点(a,0)到渐近线y＝x的距离为，得 ＝，由，得，所以双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
考点二
例3　解析：点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为，点A坐标为(a,0)，∵AB的斜率为3，
∴＝3，即＝＝e＋1＝3，∴e＝2.故离心率e＝2.
答案：2
例4　解析：

由题意可得F(c,0)，如图，不妨设B(0，b)，F′(－c,0)．连接PF′，BF′.由双曲线的定义可得|PF|－|PF′|＝2a，则|PF|＝|PF′|＋2a，
|BF|＝|BF′|＝，
则△BPF的周长为|PB|＋|PF|＋|BF|＝|PB|＋|PF′|＋2a＋|BF′|≥2|BF′|＋2a，
当且仅当B，P，F′共线，且P在B，F′中间时，△BPF的周长取得最小值，且为2a＋2，
由题意可得8a＝2a＋2，即9a2＝b2＋c2＝2c2－a2，
即5a2＝c2＝a2＋b2,4a2＝b2，＝2，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.
答案：y＝±2x
同类练
3．解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意可得－×＝－1，得a＝9，∴2a＝18.故选C.
答案：C
4．解析：根据双曲线的几何性质可知，焦点到渐近线的距离|FD|＝b，而|OF|＝c，依题意得b＝c，代入c2＝a2＋b2得c2＝a2＋c2，即c2＝a2，所以＝，＝.故选A.
答案：A
5．解析：

因为P为双曲线C上一点，且|PF1|＝2|PF2|，所以点P在双曲线C右支上，如图，则|PF1|－|PF2|＝2a.又因为|PF1|＝2|PF2|，所以|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.因为sin∠F1PF2＝，所以cos∠F1PF2＝±.在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝＝±，解得e2＝4或e2＝6.又e＞1，所以e＝2或e＝.故选C.
答案：C
6．解析：双曲线－＝1的一条渐近线的方程为y＝x.由离心率e＝＝2得＝4，即＝4，得＝，所以一条渐近线的方程为y＝x.联立得，消去y整理得4x2－4x＋1＝0，因为Δ＝16－4×4＝0，所以渐近线y＝x与圆(x－2)2＋y2＝3只有一个公共点．由对称性可得该双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3的公共点的个数为2，选B.
答案：B
拓展练
7．解析：双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F2(c,0)，圆F2与双曲线C的渐近线y＝±x相切，故圆F2的半径r等于点F2到直线bx±ay＝0的距离，∴r＝b，又M是圆F2与双曲线C的一个交点，∴|F2M|＝b，|F1M|＝2a＋b，又·＝0，∴⊥，又|F1F2|＝2c，∴(2a＋b)2＋b2＝4c2，∴b＝2a，e＝＝，故选A.
答案：A
8．解析：设双曲线C的右焦点为F′，连接PF′，QF′，如图所示．由对称性可知，P，Q关于原点对称，则|OP|＝|OQ|.又|OF′|＝|OF|，所以四边形PFQF′为平行四边形，所以|PF|＝|QF′|，则|QF|－|PF|＝|QF|－|QF′|＝2a＝8，所以a＝4.因为虚轴的上端点B(0，b)在圆x2＋(y－3)2＝1内，所以02＋(b－3)2＜1，解得2＜b＜4，则2＜＜4，即2＜＜4，得2＜c＜4，所以e＝∈，故选C.

答案：C
考点三
例5　解析：(1)由题意知a＝2，
∴一条渐近线为y＝ x.
即bx－2y＝0，∴＝，
∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
若＋＝t，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程得
x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.
∴∴
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
变式练
9．解析：(1)依题意，b＝，＝2⇒a＝1，c＝2，
∴双曲线的方程为x2－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)知F2(2,0)．
易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，故可设直线l：y＝k(x－2)，
由
消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，
k≠±时，x1＋x2＝，
x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，
△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|
＝2|k|·
＝12|k|·＝6.
得k4＋8k2－9＝0，则k＝±1.
所以直线l的方程为y＝x－2或y＝－x＋2.