高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法.doc

一元二次不等式及其解法【知识梳理】1一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)(其中a0)的不等式叫做一元二次不等式2一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式b24ac000)的根有两相异实根x1，x2，(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根二次函数yax2bxc (a0)的图象ax2bxc0(a0)的解集或xx2Rax2bxc0)的解集【常考题型】题型一、一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)2x27x30；(2)x24x50；(3)4x218x0；(4)x23x50；(5)2x23x20.解(1)因为72423250，所以方程2x27x30有两个不等实根x13，x2.又二次函数y2x27x3的图象开口向上，所以原不等式的解集为x|x，或x3(2)原不等式可化为(x5)(x1)0，所以原不等式的解集为x|1x5(3)原不等式可化为20，所以原不等式的解集为.(4)原不等式可化为x26x100，(6)24040，所以方程x26x100无实根，又二次函数yx26x10的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(5)原不等式可化为2x23x20，因为942270，所以方程2x23x20无实根，又二次函数y2x23x2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.【类题通法】解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集【对点训练】1解下列不等式：(1)x25x60；(2)x27x6.(3)(2x)(x3)x(4x)解：(1)方程x25x60的两根为x11，x26.结合二次函数yx25x6的图象知，原不等式的解集为x|x6(2)原不等式可化为x27x60.解方程x27x60得，x11，x26.结合二次函数yx27x6的图象知，原不等式的解集为x|1x0.方程(x2)(x3)0两根为2和3.结合二次函数y(x2)(x3)的图象知，原不等式的解集为x|x2(4)由原不等式得8x28x44xx2.原不等式等价于9x212x40.解方程9x212x40，得x1x2.结合二次函数y9x212x4的图象知，原不等式的解集为x|x.题型二、解含参数的一元二次不等式【例2】解关于x的不等式x2(1a)xa0.解方程x2(1a)xa0的解为x11，x2a，函数yx2(1a)xa的图象开口向上，则当a1时，原不等式解集为x|ax1；当a1时，原不等式解集为；当a1时，原不等式解集为x|1xa【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论【对点训练】2解关于x的不等式：ax2(a1)x10(aR)解：原不等式可化为：(ax1)(x1)0，当a0时，x1，当a0时(x1)0x1.当a1时，x1，当1a0时，(x1)0，x或x1.当a1时，1，x1或x，综上原不等式的解集是：当a0时，x|x1；当a0时，；当a1时，x|x1；当1a0时，.当a1时，题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例3】已知关于x的不等式x2axb0的解集为x|1x2，求关于x的不等式bx2ax10的解集解x2axb0的解集为x|1x2，1,2是x2axb0的两根由韦达定理有得代入所求不等式，得2x23x10.由2x23x10(2x1)(x1)0x或x1.bx2ax10的解集为(1，)【类题通法】1一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端点值是一元二次方程ax2bxc0的根，也是函数yax2bxc与x轴交点的横坐标2二次函数yax2bxc的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化【对点训练】3已知方程ax2bx20的两根为和2.(1)求a、b的值；(2)解不等式ax2bx10.解：(1)方程ax2bx20的两根为和2，由根与系数的关系，得解得a2，b3.(2)由(1)知，ax2bx10可变为2x23x10，即2x23x10，解得x1.不等式ax2bx10的解集为x|x1【练习反馈】1不等式x(2x)0的解集为()Ax|x0Bx|x2Cx|x2或x0Dx|0x2解析：选D原不等式化为x(x2)0，故0x2.2已知集合Mx|x23x280，Nx|x2x60，则MN为()Ax|4x2或3x7Bx|4x2或3x7Cx|x2或x3Dx|x2或x3解析：选AMx|x23x280x|4x7，Nx|x2x60x|x2或x3，MNx|4x2或3x73二次函数yx24x3在y0时x的取值范围是_解析：由y0得x24x30，1x3答案：(1,3)4若不等式ax2bx20的解集为，则实数a_，实数b_.解析：由题意可知，2是方程ax2bx20的两个根由根与系数的关系得解得a2，b3.答案：235解下列不等式：(1)x(7x)12；(2)x22(x1)解：(1)原不等式可化为x27x120，因为方程x27x120的两根为x13，x24，所以原不等式的解集为x|3x4(2)原不等式可以化为x22x20，因为判别式4840，方程x22x20无实根，而抛物线yx22x2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.