2022版高考数学一轮复习-26-正弦定理与余弦定理训练新人教B版.doc

2022版高考数学一轮复习 26 正弦定理与余弦定理训练新人教B版

2022版高考数学一轮复习 26 正弦定理与余弦定理训练新人教B版

年级：
姓名：

二十六　正弦定理与余弦定理
(建议用时：45分钟)
A组　全考点巩固练
1．(2021·合肥模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.若b＝3，c＝，B＝，则角C＝(　　)
A. B.
C. D.
B　解析：由正弦定理得＝，
所以＝.所以sin C＝.
因为b>c，所以B>C.
又因为C∈(0，π)，所以C＝.故选B.
2．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝
(　　)
A． B．2
C．4 D．8
C　解析：设AB＝c，BC＝a，AC＝b，
则c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋16－2×3×4×＝9.所以c＝3.所以cos B＝＝.所以sin B＝＝.所以tan B＝4.故选C.
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝，A＝，b＝1，则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C. D.
B　解析：由正弦定理得＝＝＝.又A＝，b＝1，则a＝1，B＝，所以△ABC是边长为1的正三角形，所以△ABC的面积为×12×＝.
4．(2020·泉州一模)在△ABC中，BC＝2，D为BC的中点，∠BAD＝，AD＝1，则AC＝(　　)

A．2 B．2
C．6－ D．2
D　解析：在△ABD中，由余弦定理得，
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
即5＝AB2＋1－AB，
解得AB＝2或AB＝－(舍)．
由正弦定理得＝，
所以sin∠ABD＝，cos∠ABD＝.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC
＝(2)2＋(2)2－2×2×2×＝4，
解得AC＝2.故选D.
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
C　解析：因为＝，所以＝，所以b＝c.因为(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝，所以△ABC是等边三角形．
6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.
4　解析：在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accos B及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0，所以b＝4.
7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为________．
2　解析：因为b2sin C＝4sin B，所以b2c＝4b，所以bc＝4，S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2.
8．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，且∠A＝60°.若
S△ABC＝，2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于________．
5＋　解析：因为2sin B＝3sin C，所以由正弦定理得2b＝3c.由S△ABC＝＝bcsin A，得bc＝6，所以b＝3，c＝2.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝7，所以a＝.故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
9．(2020·泰安高三一轮检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且8cos2－2cos 2A＝3.
(1)求A；
(2)若a＝2，且△ABC面积的最大值为，求△ABC周长的取值范围．
解：(1)因为8cos2－2cos 2A＝3，
所以4[1＋cos(B＋C)]－2cos 2A＝3，
整理得4cos2A＋4cos A－3＝0，
解得cos A＝或cos A＝－(舍去)．
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由题意知S△ABC＝bcsin A＝bc≤，
所以bc≤4.
又b2＋c2－a2＝2bccos A，a＝2，所以b2＋c2＝4＋bc，
所以(b＋c)2＝4＋3bc≤16.
又b＋c>2，所以2<b＋c≤4，所以4<a＋b＋c≤6，
所以△ABC周长的取值范围是(4,6]．
10．(2020·潍坊模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，p＝(sin A＋cos C，sin A)，q＝(cos C－sin A，－sin C)．若p·q＝.
(1)求角B；
(2)若b＝3，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意知p·q＝cos2C－sin2A－sin Asin C＝＝cos2B，
所以1－sin2C－sin2A－sin Asin C＝1－sin2B.
即sin2A＋sin2C＋sin Asin C＝sin2B，
由正弦定理得a2＋c2＋ac＝b2，
所以a2＋c2－b2＝－ac＝2accos B，
所以cos B＝－.
因为0<B<π，所以B＝.
(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
所以9＝a2＋c2＋ac≥3ac.
所以ac≤3，当且仅当a＝c时，等号成立．
所以S△ABC＝acsin B＝ac≤.
所以△ABC面积的最大值为.
B组　新高考培优练
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a，b，c成等比数列，且cos B＝，则＋＝(　　)
A. B.
C. D.
D　解析：由已知得b2＝ac，cos B＝，
所以sin B＝＝.
由b2＝ac及正弦定理得
sin2B＝sin Asin C，
所以＋＝＋＝＝＝＝.故选D.
12．(多选题)(2020·山东百师联盟测试三)已知△ABC的三个内角满足＝＝(m∈N*)，则当m取不同值时，关于△ABC的形状，说法正确的是
(　　)
A．当m＝2时，△ABC为锐角三角形
B．当m＝4时，△ABC为钝角三角形
C．当m＝6时，△ABC为等腰三角形
D．当m＝10时，△ABC为直角三角形
BCD　解析：设A，B，C的对边分别为a，b，c.由＝＝⇔＝＝.
令＝＝＝t，则a＝6t，b＝8t，c＝mt.
当m＝2时，a＝6t，b＝8t，c＝2t，a＋c＝b，不能构成三角形，选项A不正确；
当m＝4时，a＝6t，b＝8t，c＝4t，由余弦定理得cos B＝－<0，即B为钝角，选项B正确；
当m＝6时，a＝6t，b＝8t，c＝6t，即a＝c，选项C正确；
当m＝10时，a＝6t，b＝8t，c＝10t，即a2＋b2＝c2，选项D正确．
13．(2020·长沙模拟)在锐角△ABC中，D为BC的中点，满足∠BAD＋∠C＝90°，则∠B，∠C的大小关系是________.
∠B＝∠C　解析：由∠BAD＋∠C＝90°，得∠CAD＋∠B＝90°，由正弦定理得＝＝，＝＝，又D为BC的中点，所以BD＝DC，所以＝，化简得sin Bcos B＝sin Ccos C，即sin 2B＝sin 2C.又△ABC为锐角三角形，所以∠B＝∠C.
14．(2020·青岛一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)．
(1)求角C；
(2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：△ABC的面积S＝4且B>A；
条件②：cos B＝.
解：(1)在△ABC中，由余弦定理得
b2＋c2－a2＝2bccos A，
所以2b2＝2bccos A(1－tan A)．
所以b＝c(cos A－sin A)．
由正弦定理得
sin B＝sin C(cos A－sin A)，
所以sin(A＋C)＝sin C(cos A－sin A)，
即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A－sin Csin A．
所以sin Acos C＝－sin Csin A.
因为sin A≠0，所以cos C＝－sin C，
所以tan C＝－1.
又因为0<C<π，所以C＝.
(2)若选择条件①：△ABC的面积S＝4且B>A.
因为S△ABC＝4＝absin C＝absin ，
所以ab＝8.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
所以a2＋b2＋ab＝40.
联立
解得或
因为B>A，所以b>a，所以
所以CD＝.
在△ACD中，由余弦定理得
AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos C＝26，
所以AD＝.
若选择条件②：cos B＝.
因为cos B＝，所以sin B＝.
所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝.
由正弦定理得＝，
所以a＝＝2.
在△ABD中，由余弦定理得
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B＝26，
所以AD＝.
15．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
cos 2＋cos A＝.
(1)求A；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
(1)解：由已知得sin 2A＋cos A＝，
即cos2A－cos A＋＝0.
所以2＝0，cos A＝.
由于0<A<π，故A＝.
(2)证明：由正弦定理及已知条件得sin B－sin C＝sin A.
由(1)知B＋C＝，
所以sin B－sin＝sin .
即sin B－cos B＝，sin＝，所以B－＝＋2kπ，k∈Z.
由于0<B<，故B＝.从而△ABC是直角三角形．