2022高考数学一轮复习-课时规范练27-平面向量的数量积与平面向量的应用北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 课时规范练27 平面向量的数量积与平面向量的应用北师大版

2022高考数学一轮复习 课时规范练27 平面向量的数量积与平面向量的应用北师大版

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课时规范练27　平面向量的数量积与平面向量的应用
基础巩固组
1.(2020河北保定一模,文4,理4)已知a与b均为单位向量,若b⊥(2a+b),则a与b的夹角为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.120°
2.(2019北京,理7)设点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.(2020全国2,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(　　)
A.a+2b B.2a+b
C.a-2b D.2a-b
4.(2020河北唐山一模,理5)已知向量a,b满足|a+b|=|b|,且|a|=2,则b在a方向上的投影是(　　)
A.2 B.-2 C.1 D.-1
5.在△ABC中,若AB=(1,2),AC=(-x,2x)(x>0),则当BC最小时,C=(　　)
A.90° B.60° C.45° D.30°
6.(2020河北邢台模拟,理3)设非零向量a,b满足|a|=3|b|,cos<a,b>=13,a·(a-b)=16,则|b|=(　　)
A.2 B.3 C.2 D.5
7.(2020辽宁大连模拟,文9)已知扇形OAB的半径为2,圆心角为2π3,点C是弧AB的中点,OD=-12OB,则CD·AB的值为(　　)
A.3 B.4 C.-3 D.-4
8.已知平面向量OA,OB满足|OA|=|OB|=1,OA·OB=0,且OD=12DA,E为△OAB的外心,则ED·OB=(　　)
A.-12 B.-16 C.16 D.12
9.(2020全国1,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=　　　　　. 
10.(2020湖南长郡中学四模,理13)已知向量a=(1,2),b=(k,1),且2a+b与向量a的夹角为90°,则向量a在向量b方向上的投影为　　　　　. 
11.(2020山东齐鲁备考联盟校阶段检测)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),c=(-1,0).
(1)求向量b+c的模的最大值;
(2)设α=π4,且a⊥(b+c),求cos β的值.

综合提升组
12.(2020皖豫名校联考,理10)在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AC=23,BM+12CB=0,DC=λDN,若AM·AN=29,则λ=(　　)
A.18 B.17 C.16 D.15
13.

(2020陕西西安中学八模,理7)如图所示,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是(　　)
A.P1P2·P1P3
B.P1P2·P1P4
C.P1P2·P1P5
D.P1P2·P1P6
14.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,则AE·EC=(　　)
A.725 B.14425 C.125 D.1225
15.(2020浙江,17)已知平面单位向量e1,e2满足|2e1-e2|≤2,设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值是　　　　. 
16.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

创新应用组
17.已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A,B两点,O为坐标原点,若AO·AB=32,则实数m=(　　)
A.±1 B.±32 C.±22 D.±12
18.(2020天津,15)

如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且AD=λBC,AD·AB=-32,则实数λ的值为　　　　　,若M,N是线段BC上的动点,且|MN|=1,则DM·DN的最小值为　　　　　. 

参考答案

课时规范练27　平面向量
的数量积与平面向量的应用
1.D　∵b⊥(2a+b),∴b·2a+|b|2=0.又|a|=|b|=1,∴a·b=-12,
∴cos<a,b>=a·b|a||b|=-12,∴a与b的夹角为120°.故选D.
2.C　∵A,B,C三点不共线,∴|AB+AC|>|BC|⇔|AB+AC|>|AB-AC|⇔|AB+AC|2>|AB-AC|2⇔AB·AC>0⇔AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的充要条件,故选C.
3.D　由题意可知,a·b=|a||b|cos60°=12.对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=52≠0,不符合题意;
对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=2≠0,不符合题意;
对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-32≠0,不符合题意;
对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=0,故2a-b与b垂直.故选D.
4.D　∵|a|=2,在等式|a+b|=|b|两边平方并化简,得a2+2a·b=0,∴a·b=-a22=-2,∴b在a方向上的投影为a·ba=-1.故选D.
5.A　由题意BC=AC-AB=(-x-1,2x-2),
∴|BC|=(-x-1)2+(2x-2)2=5x2-6x+5.
令y=5x2-6x+5,x>0,当x=35,ymin=165,此时BC最小,
∴CA=35,-65,CB=85,45,CA·CB=35×85-65×45=0,
∴CA⊥CB,即C=90°.故选A.
6.A　∵|a|=3|b|,cos<a,b>=13,∴a·(a-b)=a2-a·b=9|b|2-|b|2=8|b|2=16,∴|b|=2.故选A.
7.

C　如图,连接CO,∵点C是弧AB的中点,
∴CO⊥AB,∴OC·AB=0,
又OA=OB=2,OD=-12OB,∠AOB=2π3,
∴CD·AB=(OD-OC)·AB=-12OB·AB=-12OB·(OB-OA)=12OA·OB-12OB2=12×2×2×-12-12×4=-3.
8.A　∵OA·OB=0,∴OA⊥OB,
又|OA|=|OB|=1,∴△OAB为等腰直角三角形.
∵E为△OAB的外心,∴E为AB中点,∴|OE|=12|AB|=22且∠BOE=45°.∵OD=12DA,
∴OD=13OA,∴ED·OB=(OD-OE)·OB=13OA·OB-OE·OB=-|OE||OB|cos∠BOE=-22×22=-12.
9.3　∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1,∴a·b=-12,
∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=3.
10.-214529　因为向量a=(1,2),b=(k,1),则2a+b=(2+k,5),
又因为2a+b与向量a的夹角为90°,所以(2a+b)·a=0,即2+k+10=0,解得k=-12,即b=(-12,1),所以向量a在向量b方向上的投影为|a|cos<a,b>=a·b|b|=-10145=-214529.
11.解(1)b+c=(cosβ-1,sinβ),
则|b+c|2=(cosβ-1)2+sin2β=2(1-cosβ).因为-1≤cosβ≤1,所以0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤2.
当cosβ=-1时,有|b+c|=2,
所以向量b+c的模的最大值为2.
(2)若α=π4,则a=22,22.
又由b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0)得
a·(b+c)=22,22·(cosβ-1,sinβ)=22cosβ+22sinβ-22.
因为a⊥(b+c),所以a·(b+c)=0,
即cosβ+sinβ=1,所以sinβ=1-cosβ,平方后化简得cosβ(cosβ-1)=0,
解得cosβ=0或cosβ=1.
经检验cosβ=0或cosβ=1即为所求.
12.D　作出图形,建立如图所示的平面直角坐标系,设N(x,y).因为AC=23,∠ABC=120°,故BO=1,因为BM+12CB=0,所以BM=12BC,即M为BC的中点.

所以A(-3,0),M32,12,D(0,-1),C(3,0),则AM=332,12,DC=(3,1)=λDN=λ(x,y+1),由题可知λ≠0,
故N3λ,1λ-1,AN=3λ+3,1λ-1,所以AM·AN=5λ+4=29,解得λ=15.
13.A　设边长|P1P2|=a,易知∠P2P1P3=π6,|P1P3|=3a,则P1P2·P1P3=a·3a·cosπ6=3a22;易知∠P2P1P4=π3,|P1P4|=2a,则P1P2·P1P4=a·2a·cosπ3=a2;易知P1P2·P1P5=0,P1P2·P1P6<0.所以数量积中最大的是P1P2·P1P3.故选A.
14.B　如图,由AB=3,AD=4得BD=9+16=5,AE=AB·ADBD=125.

又AE·EC=AE·(EO+OC)=AE·EO+AE·OC=AE·EO+AE·AO.∵AE⊥BD,∴AE·EO=0.
又AE·AO=|AE||AO|cos∠EAO=|AE||AO|·|AE||AO|　=|AE|2=14425,
∴AE·EC=14425.故选B.
15.2829　|2e1-e2|≤2⇔(2e1-e2)2≤2,解得e1·e2≥34.又e1·e2≤1,所以34≤e1·e2≤1.
cosθ=a·b|a||b|=(e1+e2)(3e1+e2)(e1+e2)2×(3e1+e2)2
=4+4e1·e22+2e1·e2×10+6e1·e2,
设e1·e2=x,则34≤x≤1.
cos2θ=16(x+1)2(2+2x)(10+6x)=16(x+1)212x2+32x+20=4(x+1)23x2+8x+5
=4(x+1)23(x+1)2+2(x+1)=43+2x+1,
得cos2θ∈2829,1,
所以cos2θ的最小值是2829.
16.解(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-3),a∥b,所以-3cosx=3sinx.
则tanx=-33.
又因为x∈[0,π],所以x=5π6.
(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-3)=3cosx-3sinx=23cosx+π6.因为x∈[0,π],所以x+π6∈π6,7π6,从而-1≤cosx+π6≤32.于是,当x+π6=π6,即x=0时,f(x)取到最大值3;
当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取到最小值-23.
17.C　联立y=x+m,x2+y2=1,消去y可得2x2+2mx+m2-1=0.
由题意知Δ=-2m2+8>0,解得-2<x<2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-m,x1x2=m2-12,
y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2,
∴AO=(-x1,-y1),AB=(x2-x1,y2-y1),∵AO·AB=32,
∴AO·AB=x12-x1x2+y12-y1y2=1-m2-12-m2-12+m2-m2=2-m2=32,解得m=±22.故选C.
18.16　132　∵AD=λBC,∴AD·AB=λBC·AB=λ|BC||AB|·cos120°=λ×6×3×-12=-32,∴λ=16.
令BM=μBC0<μ≤56,
则BN=BM+MN=μBC+16BC=μ+16BC,
DM=DA+AB+BM=-16BC+AB+μBC=μ-16BC-BA,
DN=DA+AB+BN=-16BC+AB+μ+16BC=μBC-BA.
DM·DN=μ-16BC-BA·(μBC-BA)=μμ-16|BC|2-μ+μ-16BA·BC+|BA|2=36μ2-16μ-2μ-16×9+9=36μ2-6μ-18μ+212=36μ2-24μ+212=36μ-132+132.又∵0<μ≤56,∴当μ=13时取最小值132.