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2022高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第1讲 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式试题2

2022高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第1讲 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式试题2

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第四章　三角函数、解三角形
第一讲　三角函数的基本概念、同角三角函数的
基本关系与诱导公式

1.[2021江西红色七校联考]“θ为第一或第四象限角”是“cos θ>0”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.[2021蓉城名校联考]已知tan(α+π2)=-12,则2sInα+cosαcosα-sInα=(　　)
A.-4 B.4 C.5 D.-5
3.[2021陕西百校联考]已知α是第四象限角,且sIn(α+π4)=35,则tan(α-π4)=(　　)
A.16 B.13 C.-43 D.23
4.[2020重庆市二检]已知点P(sIn2π3,cos 2π3)落在角θ的终边上,且θ∈(0,2π),则θ的值为(　　)
A.π3 B.2π3 C.5π3 D.11π6
5.[2021贵阳市摸底测试]若sIn(π-α)=13,且π2≤α≤3π2,则sIn 2α的值为(　　)
A.-429 B.-229 C.229 D.429
6.[2020四川五校联考]已知sInα+3cos α=2,则tan α=(　　)
A.33 B.3 C.-33 D.-3
7.[2020合肥市模拟]已知tan α=3,则sIn(π2-α)·cos(π2+α)的值为(　　)
A.310 B.-310
C.35 D.-35
8.[2021湖南四校联考]已知sIn(θ-π6)=12,且θ∈(0,π2),则cos(θ-π3)=　　　　. 
9.[2020长春市第一次质量监测]已知sInα2-cos α2=15,则sInα=　　　　. 
10.[2020南昌三模]已知sInα=13,则cos(α-π)tan(π2-α)=　　　　. 

11.[2021安徽省示范高中联考]已知α∈(0,π),2sIn(π-2α)=cos 2α-1,则sInα=(　　)
A.15 B.55 C.-55 D.255
12.[2020长春市第一次质量监测]中国传统扇文化有着极其深厚的文化底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中沿圆的半径剪下的扇形面制作而成的,设扇形面的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为5-12时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇面的圆心角的弧度数为(　　)
A.(3-5)π B.(5-1)π
C.(5+1)π D.(5-2)π
13.[2020湖北武汉模拟]若角α满足sInα1-cosα=5,则1+cosαsInα=(　　)
A.15 B.52 C.5或15 D.5
14.[2020四川树德中学三模]为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图4-1-1所示的平面直角坐标系,设秒针针尖的坐标为P(x,y).若针尖的初始坐标为P0(32,12),当秒针从过点P0的位置(此时t=0)开始走时,点P的纵坐标y与时间t(单位:秒)的函数关系为(　　)
A.y=sIn(π30t+π6) 　　　　　　B.y=sIn(-π60t-π6)
C.y=sIn(-π30t+π6) 　　　　　　D.y=sIn(-π30t-π3)

答 案
第一讲　三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式

1.A　当θ为第一或第四象限角时,cos θ>0,当θ=2kπ(k∈Z)时,cos θ=1>0,(易错警示:忽略θ的终边在x轴正半轴上的情形)
所以“θ为第一或第四象限角”是“cos θ>0”的充分不必要条件,故选A.
2.D　因为tan(α+π2)=-1tanα=-12,所以tan α=2,所以2sinα+cosαcosα-sinα=2tanα+11-tanα=2×2+11-2=-5.
3.C　由题意,得sin(α+π4)=sin[(α-π4)+π2]=cos(α-π4)=35,因为2kπ+3π2<α<2kπ+2π(k∈Z),所以2kπ+5π4<α-π4<2kπ+7π4(k∈Z).从而sin(α-π4)=-1-cos2(α-π4)=-45,因此tan(α-π4)=sin(α-π4)cos(α-π4)=-43.故选C.
4.D　由sin2π3>0,cos2π3<0知角θ是第四象限角.因为tan θ=cos2π3sin2π3=-33,θ∈(0,2π),所以θ=11π6,故选D.
5.A　由题意得sin(π-α)=sin α=13,又π2≤α≤3π2,所以cos α=-1-sin2α=-223,所以sin 2α=2sin αcos α=2×13×(-223)=-429,故选A.
6.A　解法一　由sinα=2-3cosα,sin2α+cos2α=1得4cos2α-43cos α+3=(2cos α-3)2=0,得cos α=32,则sin α=12,所以tan α=sinαcosα=33,故选A.
解法二　sin α+3cos α=2(12sin α+32cos α)=2sin(α+π3)=2,故sin(α+π3)=1,可得α+π3=2kπ+π2,k∈Z,即α=2kπ+π6,k∈Z,所以tan α=tan(2kπ+π6)=tanπ6=33,故选A.
7.B　解法一　因为tan α=3,所以sin(π2-α)·cos(π2+α)=-cos αsin α=-cosαsinαcos2α+sin2α=-tanα1+tan2α=-310,故选B.
解法二　因为tan α=3,所以sin α=3cos α,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=110,所以sin(π2-α)·cos(π2+α)=-cos αsin α=-3cos2α=-310,故选B.
8.1　因为θ∈(0,π2),所以θ-π6∈(-π6,π3).由sin(θ-π6)=12,得θ-π6=π6,所以θ=π3,则cos(θ-π3)=cos(π3-π3)=1.
9.2425　由题意得(sin α2-cos α2)2=(15)2,整理得1-2sin α2·cos α2=125,即sin α=2425.
10.-13　cos(α-π)tan(π2-α)=-cosαsin(π2-α)cos(π2-α)=-sinαcosαcosα=-sin α=-13.

11.D　原式化简为2sin 2α=cos 2α-1,由二倍角公式得4sin αcos α=-2sin2α,又α∈(0,π),所以sin α>0,所以2cos α=-sin α,因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α+14sin2α=1,解得sin2α=45,则sin α=255,故选D.
12.A　设扇面的圆心角的弧度数为θ,其所在圆的半径为r,则S1S2=12r2θπr2-12r2θ=5-12,解得θ=(3-5)π,故选A.
13.D　解法一　由sinα1-cosα=5,得1+cosαsinα=(1+cosα)(1-cosα)sinα(1-cosα)=sin2αsinα(1-cosα)=sinα1-cosα=5.故选D.
解法二　因为sinα1-cosα·sinα1+cosα=sin2α1-cos2α=sin2αsin2α=1,
所以1+cosαsinα=sinα1-cosα=5.故选D.
14.C　解法一　t时刻,秒针针尖经过的圆弧对应的角为t60×2π=πt30,以x轴正半轴为始边,P(x,y)所在射线为终边,得P0对应的角为π6,
则P(x,y)对应的角为π6-πt30,
由P0(32,12)可知P(x,y)在单位圆上,所以t时刻P(x,y)的纵坐标y=sin(-πt30+π6),故选C.
解法二　t=0时,纵坐标y=12,排除BD;t=10时,观察图形,此时P不可能位于y轴正半轴,即纵坐标y≠1,排除A.选C.