沪科版九年级二次函数教案.doc

二次函数
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
2.二次函数的性质
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.
（2）函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.
3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.
4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④顶点式；⑤;⑥两根式
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同, a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. ②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.
（2）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
例：抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是
9.抛物线中，的作用
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线
，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
例：已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是
Ａ．ab＞0，c＞0　Ｂ．ab＞0，c＜0　Ｃ．ab＜0，c＞0　　Ｄ．ab＜0，c＜0

10.二次函数图象的平移
1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2. 平移规律:在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
11.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
（轴）
（0,0）

（轴）
(0, )

(,0)

(,)

()
12.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
13.直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线得交点为(0, ).
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
（3）抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
（4）平行于轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故：

例：抛物线与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 ．
例：已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为.
（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线上，试确定这条抛物线的解析式；
（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线的解析式.
14.一元二次方程与二次函数的关系
一元二次方程与二次函数的关系。（1）一元二次方程（≠0）有两个不相等的实数根，判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴有两个交点为，对应的二次函数（≠0）有两个不同的零点，；
（2）一元二次方程（≠0）有两个相等的实数根=判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴有唯一的交点为（，0）对应的二次函数（≠0）有两个相同零点=；
（3）一元二次方程（≠0）没有实数根判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴没有交点对应的二次函数（≠0）没有零点．
15.二次函数在区间上的最值问题。
设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：

即

图象

最大、最小值

对于开口向下的情况，讨论类似．其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：
（1）若，则，；
（2）若，则，
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．
16.二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
5. 关于点对称:关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
17.二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

抛物线与轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根

抛物线与轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根

抛物线与轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

二次函数考查重点与常见题型
1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是
2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（ ）
y y y y

1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D
3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：
已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。
4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
已知抛物线（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数的图像如图1，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中正确结论的个数为( )
A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个
答案：D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2)
答案：C

例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，
三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、
对称轴.
例5、已知抛物线y=x2+x-．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于，两点，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB．
(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．

(1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)，
则x1·x2=3<0，又∵x1<x2，
∴x2>O，x1<O，∵30A=OB，∴x2=-3x1．
∴x1·x2=-3x12=-3．∴x12=1.
x1<0，∴x1=-1．∴．x2=3．
∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3
∴．二次函数的解析式为y-2x2-4x-6．
(2)存在点M使∠MC0<∠ACO．
(2)解：点A关于y轴的对称点A’(1，O)，
∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)．
∴符合题意的x的范围为-1<x<0或O<x<5．
当点M的横坐标满足-1<x<O或O<x<5时，∠MCO>∠ACO．
例7、 “已知函数的图象经过点A（c，－2），
求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
[解答] （1）根据的图象经过点A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得 解得
所以所求二次函数解析式为图象如图所示。
（2）在解析式中令y=0，得，解得
所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是
令x=3代入解析式，得
所以抛物线的顶点坐标为
所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。
函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。
用二次函数解决最值问题
例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．
例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40．
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元
w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)
( )
A．1．5 m B．1．625 m　　　　　　
C．1．66 m D．1．67 m
分析：本题考查二次函数的应用
答案：B

7.已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为.
（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线上，试确定这条抛物线的解析式；
（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线的解析式.
解：（1）或
将代入，得.顶点坐标为，由题意得，解得.
（2）
8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，且是x的二次函数，已知输入值为,0,时, 相应的输出值分别为5,,．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围.
解：（1）设所求二次函数的解析式为,
y
O
x
则,即 ,解得
故所求的解析式为:.
（2)函数图象如图所示.
由图象可得，当输出值为正数时，
第9题
输入值的取值范围是或．
9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：
⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?
⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?
⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到
22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解
析式．
解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的
体温是上升的
它的体温从最低上升到最高需要12小时
⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃
⑶
10.已知抛物线与x轴交于A、
B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得
△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不
存在，请说明理由．
解：依题意，得点C的坐标为（0，4）．
　　 设点A、B的坐标分别为（，0），（，0），
　 　由，解得　，．
　　 ∴　点A、B的坐标分别为（-3，0），（，0）．
　　 ∴　，，
．
　 　∴　，
　　　　，．
　　〈ⅰ〉当时，∠ACB＝90°．
　 　由，
　　 得．
　　 解得　．
　　 ∴　当时，点B的坐标为（，0），，，．
　　 于是．
　　 ∴　当时，△ABC为直角三角形．
　　〈ⅱ〉当时，∠ABC＝90°．
　　由，得．
　　解得　．
　　当时，，点B（-3，0）与点A重合，不合题意．
　　〈ⅲ〉当时，∠BAC＝90°．
　　由，得．
　　解得　．不合题意．
　　综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当时，△ABC为直角三角形．
11.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.
（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m的值；
（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值.
解: (1)Ａ（x1，0）,B(x2，0) . 则x1 ，x2是方程 x2－mx＋m－2＝0的两根.
∵x1 ＋ x2 ＝m , x1·x2 =m－2 ＜0 即m＜2 ;
又AB＝∣x1 — x2∣＝ ,
∴m2－4m＋3=0 .
N
M
C
x
y
O
解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m的值为1 .
（2）M(a，b)，则N(－a，－b) .
∵M、N是抛物线上的两点,
∴
①＋②得：－2a2－2m＋4＝0 . ∴a2＝－m＋2 .
∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N.
∴ .
这时M、N到y轴的距离均为,
又点C坐标为（0，2－m）,而S△M N C = 27 ,
∴2××（2－m）×=27 .
∴解得m=－7 .
12.已知：抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0）．
　（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
　（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
　（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解法一：
　　（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2．
　　 ∵ 抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），
　　 ∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．
（2）∵ 抛物线与x轴的一个交点为A（－1， 0），
　　 ∴ ．∴ t＝3a．∴ ．
　　∴ D（0，3a）．∴ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线 上，
　　∵ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．
　　∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ ．∴ ．
　　∴ a±1．
　　∴ 所求抛物线的解析式为或．
　　（3）设点E坐标为（，）.依题意，，，
且．∴ ．
　　①设点E在抛物线上，　
∴．
　　解方程组 得
　　∵ 点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，∴ 点E坐标为（，）．
　　设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小．
　　∵ AE长为定值，∴ 要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小．
　　∴ 点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0），
　　∴ 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．
　　设过点E、B的直线的解析式为，
　　∴ 解得
　　∴ 直线BE的解析式为．∴ 把x＝－2代入上式，得．
　　∴ 点P坐标为（－2，）．
　　②设点E在抛物线上，∴ ．
　　解方程组 消去，得．
　　∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．
　　综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2，），使△APE的周长最小．
解法二：
　（1）∵ 抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），
　　∴ ．∴ t＝3a．∴ ．
　　令 y＝0，即．解得 ，．
　　∴ 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．

　（2）由，得D（0，3a）．
　　∵ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线
上，
　　∴ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．
　　∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ ．解得OD＝3．
　　∴ ．∴ a±1．
　　∴ 所求抛物线的解析式为或．

　（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．
　　∴ 如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x轴的交点为F．
　　由PF∥EQ，可得．∴ ．∴ ．
　　∴ 点P坐标为（－2，）．
　　以下同解法一．
13.已知二次函数的图象如图所示．
　（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．
　（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
　（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
　（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．
解：（1）设抛物线的解析式，
　　∴ ．∴ ．∴ ．
　　其顶点M的坐标是．
　 （2）设线段BM所在的直线的解析式为，点N的坐标为N（t，h），
　　∴ ．解得，．
　　∴ 线段BM所在的直线的解析式为．
　　∴ ，其中．∴ ．
　　∴ s与t间的函数关系式是，自变量t的取值范围是．
　（3）存在符合条件的点P，且坐标是，．
　　设点P的坐标为P，则．
，．
　　分以下几种情况讨论：
　　i）若∠PAC＝90°，则．
　　∴
　　解得：，（舍去）．　∴ 点．
　　ii）若∠PCA＝90°，则．
　　∴
　　解得：（舍去）．∴ 点．
　　iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．
　（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2），
　　 以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E，F．

图a 图b
14.已知二次函数的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．
解：根据题意，得a－2＝－1.　　
∴ a＝1． ∴ 这个二次函数解析式是．
　　因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x轴有两个交点．
15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

　（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
　 （2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）．
解：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为
　　．
　　因为点A（，0）（或B（，0））在抛物线上， 所以，得．
　　因此所求函数解析式为．
　（2）因为点D、E的纵坐标为， 所以，得．
　　所以点D的坐标为（，），点E的坐标为（，）．
　　所以．
　　因此卢浦大桥拱内实际桥长为 （米）．
16.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图．二次函数（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．

（1）a、c的符号之间有何关系?
（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证
a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b＝－4，，求a、c的值．
解:
（1）a、c同号． 或当a＞0时，c＞0；当a＜0时，c＜0．　　
（2）证明：设点A的坐标为（，0），点B的坐标为（，0），则．
　　∴ ，，．
　　据题意，、是方程的两个根． ∴ ．
　　由题意，得，即．
　　所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数．
（3）当时，由（2）知，，∴ a＞0．
　　解法一：AB＝OB－OA＝，
　　∴ ．
　　∵ ， ∴ ．得．∴ c＝2.
　　解法二：由求根公式，，
　　∴ ，．
　　∴ ．
∵ ，∴ ，得．∴ c＝2．
例1、求在区间上的最大值和最小值。
［分析］解决这类问题的关键是判别函数的定义域各区间上的单调性，再利用函数的单调性解决问题。
解、，对称轴为.
（1）当时，由图（1）可知，
，

（1） （2）
（2）当时，由图（2）可知，
，

（3）当时，由图（3）可知，
，

（3） （4）
（4）当时，由图（4）可知，
，

［评注］（1）利用单调性求最值或值域应先判断函数在给定区间上的单调性。
（2）求解二次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图象解答。
例2、已知函数在区间上的最大值为1，求实数的值。
分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数是否为零，如果的最大值与二次函数系数的正负有关，也与对称轴的位置有关，但f(x)的最大值只可能在端点或顶点处取得，解答时必须用讨论法。
解、时，，
在上不能取得1，故.
的对称轴方程为
（1）令，解得，
此时，
因为，最大，所以不合适。
（2）令，解得，
此时，
因为，且距右端点2较远，所以最大，合适。
（3）令，得，
验证后知只有才合适。
综上所述，，或
［评注］这里函数的最大值一是与的符号有关。另外也与对称轴和区间的端的远近有关，不分情况讨论就无法确定
题型二、一元二次方程的实根分布问题
例3、（1）关于的方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求的取值范围；
（2）关于的方程有两实根都在内，求的取值范围；
⑶关于x的方程有两实根在外，求m的取值范围
（4）关于的方程有两实根，且一个大于4，一个小于4，求的取值范围.
解（1）令，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于（思考：需要吗？），即
（2）令，原命题等价于

（3）令，原命题等价于
即得
（4）令，依题得
或得
[评注]求解二次方程根的分布问题，结合二次函数图象，主要考虑三个方面的问题（1）判别式（2）对称轴（3）区间端点函数值
题型三、二次函数的综合问题
例4、已知二次函数．
（1）若a>b>c，　且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=－ a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；
（3）若对，方程有2个不等实根，
解:　（1）
的图象与x轴有两个交点.
（2），∴1是的一个根，由韦达定理知另一根为，
∴

在（1，+∞）单调递增，，即存在这样的m使

（3）令，则是二次函数.

有两个不等实根，且方程的根必有一个属于.
例5、（1）已知函数，若有解，求实数的取值范围；
（2）已知，当时，若恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）有解，即有解有解有解所以
（2）当时，恒成立又当时，，所以
【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）恒成立；（2）恒成立;（3）有解；（4）有解
例6:（1）若函数在区间上有意义，求实数的取值范围；
（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围。
解：（1）由题意知，当时，恒有，即恒有
.
又因为在上单调递增，所以 ，所以
（2）由题意知，不等式，即的解是，易解得，，
则，解方程，得
[评注]“有意义”与“定义域”是两个不同的概念。一般地，在某个条件下函数“有意义”，是指在该条件下，使得函数有意义的某个式子总成立；而若某个条件为函数的“定义域”，则是指使得函数有意义的自变量的范围就是该条件。
小结：二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带，函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在此设计的难度远远高于课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解决问题的能力．
习题四
1．设，二次函数的图象为下列之一：

则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．方程的两根都大于2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数是单调函数的充要条件是 （ ）

4、若关于的方程在（0，1）内恰有一解，求实数的取值范围。
5、已知关于的方程，探究为何值时
（1）方程有一根（2）方程有一正一负两根（3）两根都大于1（4）一根大于1一根小于1
6、已知二次函数的两个零点且其图象的顶点恰好在的图象上。
（1）求的解析式。
（2）设在的最小值为，求的表达式
7、设，若0，求证：
（1）方程有实根；（2）；（3）设是方程的两个实根，则
8．已知二次函数设不等式的解集为A，又知集合若，求的取值范围。
9、（1）求的值域
（2）关于的方程有解，求实数的范围。
10、已知函数的最大值为，求的值 ．
11、已知函数与轴非负半轴至少有一个交点，求的取值范围．
12．对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点，已知函数
，
（1）当时，求函数的不动点；
（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值．