高中数学解析几何大题专项练习.doc

解析几何解答题
1、椭圆G：的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知
F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为
（1）求此时椭圆G的方程；
（2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．

2、已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为.
（Ⅰ）求的取值范围，并求的最小值；
（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，那么，是定值吗？证明你的结论.

3、已知抛物线的焦点为F，点为直线与抛物线准线的交点，直线与抛物线相交于、两点，点A关于轴的对称点为D ．
（1）求抛物线的方程。
（2）证明：点在直线上；
（3）设，求的面积。．

4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点（2，3）、在该椭圆上，线段的中点在直线上，且三点不共线．
(I)求椭圆的方程及直线的斜率；
(Ⅱ)求面积的最大值．

5、设椭圆的焦点分别为、，直线：
交轴于点，且．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图所示），若四边形的面积为，求的直线方程．

6、已知抛物线P：x2=2py (p>0)．
（Ⅰ）若抛物线上点到焦点F的距离为．
（ⅰ）求抛物线的方程；
（ⅱ）设抛物线的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线的切线，求此切线方程；
（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．

7、在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论.

8、已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，
求面积的最大值．

9、过抛物线C:上一点作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点。
（1）求证：直线AB的斜率为定值；
（2）已知两点均在抛物线：上，若△的面积的最大值为6，求抛物线的方程。

10、已知椭圆的左焦点是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线轴时，求的值；
（2）求的值。

11、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(a＞b＞0)的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使
．
(i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
(ii)求OA2+OB2．

12、已知圆的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切。
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）（Ⅰ）中轨迹上是否存在一点，使得为钝角？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．

13、已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．
(Ⅰ)求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

14、在平面直角坐标系中，已知圆B：与点，P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C与轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与轴重合的直线与曲线C的交点记为M，N，连结QM，QN，分别交直线为常数，且）于点E，F，设E，F的纵坐标分别为，求的值（用表示）。

答案：
1、解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心 …………………1分
故该椭圆中即椭圆方程可为 ………3分
设H（x,y）为椭圆上一点，则
…………… 4分
若，则有最大值 …………………5分
由（舍去）(或b2+3b+9<27,故无解)…………… 6分
若…………………7分
由∴所求椭圆方程为………………… 8分
（1） 设，则由 两式相减得
……③又直线PQ⊥直线m ∴直线PQ方程为
将点Q（）代入上式得，……④…………………11分
由③④得Q（）…………………12分
而Q点必在椭圆内部，
由此得,故当

时，E、F两点关于点P、Q的直线对称 14分
2、解：（Ⅰ）与圆相切, ……①
由 , 得 ,
,
,故的取值范围为.
由于， 当时，取最小值. 6分
（Ⅱ）由已知可得的坐标分别为，
，

，
由①，得 ， 为定值. 12分
3、解：（1）
设，，，的方程为．
（2）将代人并整理得，
从而
直线的方程为 ，
即 令
所以点在直线上
（3）由①知，
因为 ，

故 ，解得
所以的方程为
又由①知 故
4、解：（I）设椭圆的方程为，
则，得，.
所以椭圆的方程为.…………………3分
设直线AB的方程为(依题意可知直线的斜率存在)，
设，则由，得
,由，得，
，设
,易知，
由OT与OP斜率相等可得，即，
所以椭圆的方程为，直线AB的斜率为.……………………6分
（II）设直线AB的方程为，即，
由
得，
，.………………8分
.．
点P到直线AB的距离为.
于是的面积为
……………………10分
设，，其中.
在区间内，，是减函数；在区间内，，是增函数.所以的最大值为.于是的最大值为18.…………………12分
5、解：（Ⅰ）由题意， -------1分
为的中点------------2分

即：椭圆方程为 ------------3分
（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，此时，
四边形的面积不符合题意故舍掉；------------4分
同理当与轴垂直时，也有四边形的面积不符合题意故舍掉； ------------5分
当直线，均与轴不垂直时，设:，
代入消去得： ------------6分
设 ------------7分
所以 ， ------------8分
所以 ， ------------9分
同理 ------------11分
所以四边形的面积
由， ------------12分
所以直线或
或或 ---------13分
6、解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点到焦点F的距离与到准线距离相等，即到的距离为3；
∴ ，解得．
∴ 抛物线的方程为． 4分
（ⅱ）抛物线焦点，抛物线准线与y轴交点为，
显然过点的抛物线的切线斜率存在，设为，切线方程为．
由， 消y得， 6分
，解得． 7分
∴切线方程为． 8分
（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设：，
设，，
由 消y得 ． 且．
∴ ，；
∵ ， ∴ 直线：，
与联立可得， 同理得． 10分
∵ 焦点，
∴ ，， 12分
∴

∴ 以为直径的圆过焦点． 14分
7、解：（I）由题意可得， 2分
所以，即 4分
即，即动点的轨迹的方程为 5分
（II）设直线的方程为,，则.
由消整理得， 6分
则，即. 7分
. 9分
直线
12分
即
所以，直线恒过定点. 13分
8、解：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，
所以， 1分
又椭圆的离心率为，即，所以， 2分
所以，. 4分
所以，椭圆的方程为. 5分
（Ⅱ）方法一：不妨设的方程，则的方程为.
由得， 6分
设，，因为，所以， 7分
同理可得， 8分
所以，， 10分
， 12分
设，则， 13分
当且仅当时取等号，所以面积的最大值为. 14分
方法二：不妨设直线的方程.
由 消去得， 6分
设，，
则有，. ① 7分
因为以为直径的圆过点，所以 .
由 ，
得 . 8分
将代入上式，
得 .
将 ① 代入上式，解得 或（舍）. 10分
所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），
所以
. 12分
设，
则.
所以当时，取得最大值. 14分
9、解：（1）不妨设
…………………………………5分
（2）AB的直线方程为：
点M到AB的距离。………………………………………7分
……… 9分
又由且
……………………… 11分
设为偶函数，故只需考虑，
所以上递增，
当时，
。 故所求抛物线的方程为……………………13分
10、（Ⅰ）解：由题意椭圆的离心率，，所以，
故椭圆方程为， ┄┄┄┄┄┄3分
则直线，，
故或，
当点在轴上方时，，
所以，
当点在轴下方时，同理可求得，
综上，为所求． ┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)解：因为，所以，，
椭圆方程为,,直线，
设，
由消得，，
所以┄┄┄┄┄┄8分
故 ①
由，及，┄┄9分
得，
将①代入上式得，┄┄10分
注意到，得，┄┄11分
所以为所求． ┄┄┄┄┄┄12分
11、解：(1)依题意，得 c=1．于是，a=，b=1． …………………2分
所以所求椭圆的方程为． ……………………………… 4分
(2) (i)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①，②．
又设M(x，y)，因，故 ……7分
因M在椭圆上，故．
整理得．
将①②代入上式，并注意，得 ．
所以，为定值． ………………………………10分
(ii)，故．
又，故．
所以，OA2+OB2==3． ………………………16分
12、解: （Ⅰ）设动圆P的半径为r,则
两式相加得|PM|+|PN|=4>|MN|
由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为，实轴长为4的椭圆
其方程为 …………6分
（Ⅱ）假设存在，设（x,y）.则因为为钝角，所以
，，
又因为点在椭圆上，所以
联立两式得：化简得：，
解得：13、解：(Ⅰ) 椭圆右焦点的坐标为， ………(1分)
．，
由，得． ………… (2分)
设点的坐标为，由，有，
代入，得． ……… (4分)
（Ⅱ）解法一：设直线的方程为，、，
则，． ………… (5分)
由，得， 同理得． ………… (7分)
，，则． ……(8分)
由，得，． ……… (9分)
则． …………… (11分)
因此，的值是定值，且定值为． ……… (12分)
解法二：①当时， 、，则， ．
由 得点的坐标为，则．
由 得点的坐标为，则．
． …………… (6分)
②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得． … (8分)
由，得，． …………(9分)
则． ………… (11分)
因此，的值是定值，且定值为． ………… (12分)
，所以存在。…… 13分
14、解：(1)连接，由题意得，，，
所以，…………………………………………………2分
由椭圆定义得，点的轨迹方程是.……………………………4分
(2)设，则，的斜率分别为，
则，，……………………………………………6分
所以直线的方程为，直线的方程，8分
令，则，……………………10分
又因为在椭圆，所以，
所以，其中为常数.…14分

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