高中数学《立体几何》大题及答案解析.doc

高中数学立体几何大题及答案解析(理)、(2009全国卷)如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,点在侧棱上,、 (I)证明:就是侧棱得中点;求二面角得大小。 2、(29全国卷)如图,直三棱柱BCAB1C1中,ABC,D、E分别为AA、B1C得中点,DE平面BC()证明:B=AC()设二面角ACBA1B1C1DEDC为60,求B1C与平面BC所成得角得大小3、(20浙江卷)如图,平面,分别为得中点、(I)证明:平面;(II)求与平面所成角得正弦值、(2009北京卷)如图,四棱锥得底面就是正方形,点E在棱PB上、()求证:平面;()当且E为PB得中点时,求AE与平面PD所成得角得大小、5。(2009江西卷)如图,在四棱锥中,底面就是矩形,平面,、以得中点为球心、为直径得球面交于点。(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成得角;(3)求点到平面得距离、6、(2009四川卷)如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,就是等腰直角三角形,(I)求证:;(II)设线段、得中点分别为、,求证: (II)求二面角得大小。7、(2009湖北卷文)如图,四棱锥S-ABD得底面就是正方形,D平面ABCD,DD,点E就是SD上得点,且D(0)。()求证:对任意得(0、1),都有ACE:()若二面角AE-D得大小为600,求得值。(009湖南卷)如图3,在正三棱柱中,B=4, ,点D就是B得中点,点E在A上,且DE。()证明:平面平面;()求直线D与平面所成角得正弦值。9。(29四川卷)如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,就是等腰直角三角形,()求证:;(I)设线段、得中点分别为、,求证: (II)求二面角得大小、1。(2009重庆卷文)如题(18)图,在五面体中,四边形为平行四边形,平面,、求:()直线到平面得距离;()二面角得平面角得正切值。1、如图,四棱锥。ACD中,底面BD为平行四边形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD、()证明:PB; ()设PDAD,求二面角APB-C得余弦值、12(本小题满分12分)如图,已知四棱锥ABCD得底面为等腰梯形,ABC,ABD,垂足为H,H就是四棱锥得高 ,E为D中点（1） 证明:PEC（2） 若A=B=60,求直线PA与平面PEH所成角得正弦值参考答案1、【解析】(I)解法一:作交于,作交于E,连E、,则面,设,则,在中,。在中由解得,从而 M为侧棱得中点M。 解法二:过作得平行线、(II)分析一:利用三垂线定理求解、在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理得方法求作二面角。过作交于,作交于,作交于,则,面,面面,面即为所求二面角得补角、法二:利用二面角得定义、在等边三角形中过点作交于点,则点为AM得中点,取S得中点G,连,易证,则即为所求二面角。解法二、分别以A、D、DS为、y、轴如图建立空间直角坐标系Dyz,则。SABCDMzxy()设,则,由题得,即解之个方程组得即所以就是侧棱得中点。法:设,则又故,即,解得,所以就是侧棱得中点。()由()得,又,设分别就是平面、得法向量,则且,即且分别令得,即,二面角得大小。2、解法一:()取BC中点,连接EF,则E,从而EFDA。连接A,则DEF为平行四边形,从而A/DE。又DE平面,故AF平面,从而AFB,即AF为B得垂直平分线,所以AB=AC。()作BD,垂足为G,连接CG。由三垂线定理知CGD,故AG为二面角A-DC得平面角、由题设知,AGC00、 设C2,则A=。又AB=,BC,故A=。由得2AD=,解得。故ADAF、又ADAF,所以四边形ADEF为正方形。因为BAF,CA,AFAD=,故BC平面DEF,因此平面C平面EF。连接A、F,设EFH,则E,H平面BCD。连接C,则EC为与平面C所成得角。因ADEF为正方形,D=,故=1,又EC=2,所以ECH30,即与平面BCD所成得角为30、解法二:()以A为坐标原点,射线AB为x轴得正半轴,建立如图所示得直角坐标系A-xyz。设(1,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则(,0,2c),(,c)、于就是=(,0),=(1,b,0)、由DE平面知DEB, =0,求得b=1,所以 AC。()设平面BCD得法向量则又=(-1, 0),=(-1,0,c),故令,则y=1,z=,=(1,1, )。又平面得法向量=(0,1,)由二面角为0知,=60,故 ,求得于就是 , , 所以与平面所成得角为0、()证明:连接, 在中,分别就是得中点,所以,又,所以,又平面ACD,C平面ACD, 所以平面ACD()在中,所以 而DC平面AC,所以平面ABC 而平面ABE, 所以平面ABE平面AB, 所以平面B由()知四边形DCP就是平行四边形,所以 所以平面ABE, 所以直线AD在平面ABE内得射影就是AP,所以直线A与平面BE所成角就是 在中, ,所以4、【解法1】()四边形ABD就是正方形,ACBD,PDAC,AC平面PDB,平面。()设ACBD=,连接E, 由()知AC平面DB于O, AEO为AE与平面PDB所得角, O,E分别为、P得中点, OE/D,又, 底面BCD,OEAO, 在RtAOE中, ,即AE与平面P所成得角得大小为、【解法2】如图,以为原点建立空间直角坐标系, 设则,(),ACDP,ACD,AC平面PB,平面。()当且E为P得中点时, 设ABD=O,连接OE, 由()知AC平面P于O, AE为AE与平面PDB所得角, ,即与平面DB所成得角得大小为。多面体BDE得体积为VACD+ECF=5、解:方法(一):(1)证:依题设,在以为直径得球面上,则BM、因为PA平面BC,则AB,又ABA,所以AB平面AD,则APD,因此有D平面M,所以平面ABM平面C、(2)设平面AB与PC交于点,因为CD,所以A平面C,则ABMNCD,由(1)知,P平面A,则MN就是N在平面M上得射影,所以就就是与平面所成得角,且 所求角为(3)因为O就是B得中点,则O点到平面AM得距离等于点到平面AM距离得一半,由(1)知,D平面AB于M,则|就就是D点到平面ABM距离。因为在RtPAD中,所以为中点,则点到平面ABM得距离等于。方法二:(1)同方法一;(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则, ,设平面得一个法向量,由可得:,令,则,即。设所求角为,则,所求角得大小为、(3)设所求距离为,由,得:6、【解析】解法一:因为平面AEF平面AC,BC平面ABCD,BCAB,平面ABEF平面ABCDAB,所以B平面EF、所以CEF。因为AB为等腰直角三角形,AB=A,所以AB=,又因为AEF=45,所以FB=0,即BE、因为BC平面AB, BE平面BCE,BBEB所以 6分(II)取BE得中点N,连结CN,N,则NPC MN为平行四边形,所以PMCN、 N在平面BCE内,PM不在平面BCE内, PM平面BCE、 分(II)由EAA,平面ABEF平面ACD,易知EA平面ABCD、作A,交A得延长线于G,则FGEA、从而G平面ABD,作GB于,连结FH,则由三垂线定理知DFH。 FHG为二面角F-B得平面角、 FAE,AEF45,AE9, FAG45、设B=1,则A=1,F,则在BGH中, B45,BA+AG=1,在RtFGH中, , 二面角得大小为 1分解法二: 因等腰直角三角形,所以又因为平面,所以平面,所以即两两垂直;如图建立空间直角坐标系,() 设,则,从而,于就是, , 平面,平面, (II),从而 于就是 ,又平面,直线不在平面内, 故平面(I)设平面得一个法向量为,并设( 即 取,则,从而(1,1,) 取平面得一个法向量为 故二面角得大小为7、()证发1:连接BD,由底面就是正方形可得CBD、 SD平面B,BD就是E在平面ACD上得射影,由三垂线定理得CBE。(II)解法:S平面ABCD,平面ABC, SDCD、 又底面D就是正方形, CDAD,又A=D,D平面SAD。过点D在平面SAD内做DFAE于,连接CF,则CFAE, 故CF就是二面角C-ED 得平面角,即F=60在RtAE中,AD=, E ,AE 。于就是,F=在RtCDF中,由c60得, 即, 解得=8、解:()如图所示,由正三棱柱得性质知平面、又DE平面ABC,所以DE。而DEE,所以DE平面、又平面,故平面平面。 ()解法 :过点A作A垂直于点,连接F、由()知,平面平面,所以AF平面,故就是直线A与平面所成得角。因为D,所以EC。而ABC就是边长为得正三角形,于就是A=,A=-CE=43。又因为,所以= 4, , 、即直线AD与平面所成角得正弦值为解法2 : 如图所示,设O就是C得中点,以O为原点建立空间直角坐标系,则相关各点得坐标分别就是(2,0,0,), (2,0,), D(, ,0), E(1,0,0)、易知(3,-),=(0,0),=(-,)。设就是平面得一个法向量,则解得、故可取。于就是=由此即知,直线AD与平面所成角得正弦值为所以M与N不共面,它们就是异面直线。 。12分9、【解析】解法一:因为平面AE平面ABD,B平面ABC,BCA,平面ABF平面ABCD=A,所以BC平面ABEF、所以BCEF、因为ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以EB=4,又因为AEF=45,所以FEB=9,即EE、因为C平面AB, B平面E,BCBE=所以 6分(II)取BE得中点N,连结CN,N,则MNC PMN为平行四边形,所以MN、 CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内, P平面BCE。 8分(III)由EAAB,平面ABE平面BCD,易知EA平面ABCD。作FGAB,交BA得延长线于G,则FGEA、从而FG平面BCD,作HD于H,连结H,则由三垂线定理知DFH、 FHG为二面角FBDA得平面角、 FA=F,AF5,AE=90, AG=45、设B1,则AE1,=,则在RGH中,H5,BGAA=+,在RtGH中, , 二面角得大小为12分解法二:因等腰直角三角形,所以又因为平面,所以平面,所以即两两垂直;如图建立空间直角坐标系, (I)设,则,从而,于就是, , 平面,平面, (II),从而 于就是 ,又平面,直线不在平面内, 故平面(III)设平面得一个法向量为,并设=( 即 取,则,从而=(,3) 取平面得一个法向量为 故二面角得大小为0、解法一:()平面, AB到面得距离等于点A到面得距离,过点A作于,因,故;又平面,由三垂线定理可知,故,知,所以AG为所求直线B到面得距离。在中,由平面,得AD,从而在中,、即直线到平面得距离为。()由己知,平面,得A,又由,知,故平面BFE,所以,为二面角得平面角,记为、在中,由得,从而在中, ,故所以二面角得平面角得正切值为、解法二:()如图以点为坐标原点,得方向为得正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0) C(2,2,0) (0,2,) 设可得,由、即,解得 ,面,所以直线AB到面得距离等于点A到面得距离、设A点在平面上得射影点为,则因且,而,此即 解得 ,知点在面上,故G点在上、,故有 联立,解得,为直线AB到面得距离。 而 所以()因四边形为平行四边形,则可设, 、由得,解得、即、故由,因,故为二面角得平面角,又,所以11。解:()因为DAB6,AB=2AD,由余弦定理得。从而B2AD2=A2,故DAD、又D底面AC,可得BDPD、所以BD平面PAD、故PAB、(2)如图,以D为坐标原点,AD得长为单位长,射线DA为轴得正半轴建立空间直角坐标系Dyz、则(,0,0),(,0),(1,0),P(0,0,1)、=(1,0),=(0,),=(1,0,)、设平面PAB得法向量为=(x,z),则即因此可取(,1,)、设平面PBC得法向量为m,则可取=(0,1,),。故二面角A、P。C得余弦值为。12、解:以为原点,分别为轴,线段得长为单位长, 建立空间直角坐标系如图, 则 ()设则 可得 因为所以 ()由已知条件可得 设 为平面得法向量 则 即因此可以取,由,可得 所以直线与平面所成角得正弦值为