高中数学解析几何解题方法-.doc

解析几何常规题型及方法（1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点P的轨迹方程。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，为焦点，。 （1）求证离心率； （2）求的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OAOB，求p关于t的函数f(t)的表达式。（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。典型例题已知抛物线y2=2px(p0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|2p（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值。 (2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：（5）求曲线的方程问题1曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。2曲线的形状未知-求轨迹方程典型例题MNQO已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P=M|MN|=|MQ|，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.当=1时它表示一条直线；当1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。（6） 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）典型例题 已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称。 分析：椭圆上两点，代入方程，相减得。 又，代入得。 又由解得交点。 交点在椭圆内，则有，得。（7）两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题 已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图）。 （1）求的取值范围；（2）直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。分析：（1）直线代入抛物线方程得， 由，得。 （2）由上面方程得， ，焦点为。由，得，或B:解题的技巧方面 在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：（1）充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。 典型例题 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。 解： 圆过原点，并且， 是圆的直径，圆心的坐标为 又在直线上， 即为所求。 评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。 评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，求此椭圆方程。 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。 由方程组消去后得 由，得 （1） 又P、Q在直线上， 把（1）代入，得， 即 化简后，得 （4） 由，得 把（2）代入，得，解得或 代入（4）后，解得或 由，得。 所求椭圆方程为 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。三. 充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题 求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。解：设所求圆的方程为： 即， 其圆心为C（） 又C在直线上，解得，代入所设圆的方程得为所求。 评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。四、充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法。典型例题 P为椭圆上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。五、线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，判别式为，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 例 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。 结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。 例 、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，求值 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点A（3，2）为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若取得最小值，求点P的坐标。