高等代数2学期06-07A[1].答案doc.doc

北 京 交 通 大 学 2006-2007学年第二学期高等代数（II）期末考试（A卷）答案一、填空题(每题3分,共30分)1、设W1和W2是Rnn的两个子空间，其中W1是由全体n阶实反对称矩阵构成，W2是由全体n阶实下三角矩阵构成, 则 W1+W2的维数等于2. 设e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1), h1 = (0,0,2), h2 = (0,3,0), h3 = (4,0,0) 是线性空间P3的两组基, 则从基h1, h2, h3到基e1, e2, e3的过渡矩阵是 。3、线性空间中，矩阵在基，下的坐标为： .4、设P3的线性变换T为：T(x1, x2, x3) = (x1, x2, x1 + x2)，取P3的一组基：e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)，则T在该基下的矩阵是.5、设欧氏空间R3x的内积为则一组基1, x, x2的度量矩阵为6、已知三阶矩阵A满足，则 6 7、已知矩阵A的初等因子组为l2，(l)2，则其Jordon标准形矩阵为8、欧氏空间中两个向量满足，则与的夹角是9、3维欧氏空间R3 (取标准内积)中的向量(2, 3,1), (1, 1, 0),(0, 1,1)生成的子空间的正交补空间的维数是 1 10、设是数域上的3维线性空间的一组基，是上的一个线性函数。若，则=二、(15分)给定线性空间P4中的两组向量如下: a1 = ( 1, 1, 0, 0 ), a2 = ( 0, 1, 1, 1 ); b1 = ( 0, 0, 1, 1 ), b2 = (2, 3, 1, 1).令W1 = L(a1, a2 )，W2 = L(b1,b2).（1） 求W1 + W2 的维数和一组基；（2） 求W1W2 的维数和一组基。解 （1）因为， 所以的一个极大线性无关组是，从而是W1 + W2的一组基，这样W1 + W2维数是3。 7分 （2）任取则从而是W1W2一个基，W1W2的维数为1。 15分三、（15分）设A是线性空间P的一个线性变换, 已知A(1,-1,1) = (2,-1,4)A(1,-2,-1)= (1,7,-1)A(1,1,-1) = (1,2,1)（1）求A在基(1,-1,1), (1,-2,-1), (1,1,-1) 下的矩阵;（2）求A的值域的维数与一组基;（3）求A的核的维数与一组基.解 1111四、（15分）设是数域上n阶方阵全体构成的线性空间，是中一个取定的方阵。设 （1）证明是的一个子空间；（2）设，求，并求的维数和一组基。证明 （1） 任取 ， 则从而。这样W是V的子空间。 7分（2） 当时， .11分易知是W的一组基，从而W的维数是2。.15分五、（15分）设e1, e2, e3, e4是欧氏空间V的一组标准正交基, A是V的线性变换, 使得Ae1 = e1 e2e3e4 ，Ae2 = e1e2e3e4 ，Ae3 = e1e2e3e4 ，Ae4 = e1 e2e3e4求V的一组标准正交基,使A在这组基下的矩阵是对角矩阵。解 A 在基e1, e2, e3, e4下的矩阵为 相应于特征值0，解齐次线性方程组得基础解系（1，1，0，0），（1，0.1，0），（-1.0，0，1）。相应于特征值4，解齐次线性方程组六、证明题（三题任选做两题）（每小题5分，共10分）1.设是数域上的线性空间，是其真子空间。证明2设阶方阵满足，证明相似于对角阵.3.设是欧氏空间中的两个不同的单位向量。证明证明 1.若或，则结论显然成立。2分假设，则有。这样，因此 .5分2. 因为，所以A的最小多项式整除，从而是互素的一次因式的乘积，从而A可以对角化。3. 因为是不同的单位向量，所以。.2分这样。 .4分从而 .5分