高等代数2学期06-07A[1].答案doc.doc

北 京 交 通 大 学
2006-2007学年第二学期高等代数（II）
期末考试（A卷）答案

一、填空题(每题3分,共30分)
1、设W1和W2是Rn´n的两个子空间，其中W1是由全体n阶实反对称矩阵构成，W2是由全体n阶实下三角矩阵构成, 则 W1+W2的维数等于．
2. 设e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1), h1 = (0,0,2), h2 = (0,3,0), h3 = (4,0,0) 是线性空间P3的两组基, 则从基h1, h2, h3

到基e1, e2, e3的过渡矩阵是 。
3、线性空间中，矩阵在基，，，下的坐标为： 　　　
.4、设P3的线性变换T为：T(x1, x2, x3) = (x1, x2, x1 + x2)，取P3的一组基：e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)，则T在该基下的矩阵

是．
.5、设欧氏空间R3[x]的内积为

则一组基1, x, x2的度量矩阵为．
6、已知三阶矩阵A满足，则
6 ．
7、已知矩阵A的初等因子组为l2，(l－１)2，则其Jordon标

准形矩阵为
8、欧氏空间中两个向量满足，则与的夹角是．
9、3维欧氏空间R3 (取标准内积)中的向量(2, 3,－1), (1, 1, 0),
(0, 1,－1)生成的子空间的正交补空间的维数是 1 ．
10、设是数域上的3维线性空间的一组基，是上的一个线性函数。若，则=．

二、(15分)给定线性空间P4中的两组向量如下:
a1 = ( 1, 1, 0, 0 ), a2 = ( 0, 1, 1, 1 );
b1 = ( 0, 0, 1, 1 ), b2 = (2, 3, 1, 1).
令W1 = L(a1, a2 )，W2 = L(b1,b2).
（1） 求W1 + W2 的维数和一组基；
（2） 求W1ÇW2 的维数和一组基。

解 （1）因为， 所以的一个极大线性无关组是，从而是W1 + W2的一组基，这样W1 + W2维数是3。 ………7分
（2）任取
则从而是W1ÇW2一个基，W1ÇW2的维数为1。 ………15分

三、（15分）设A是线性空间P的一个线性变换, 已知
A(1,-1,1) = (2,-1,4)
A(1,-2,-1)= (1,7,-1)
A(1,1,-1) = (1,2,1)
（1）求A在基(1,-1,1), (1,-2,-1), (1,1,-1) 下的矩阵;
（2）求A的值域的维数与一组基;
（3）求A的核的维数与一组基.

解 1111

四、（15分）设是数域上n阶方阵全体构成的线性空间，是中一个取定的方阵。设
（1）证明是的一个子空间；
（2）设，，求，并求的维数和一组基。

证明 （1） 任取 ， 则

从而。这样W是V的子空间。 …7分
（2） 当时， ..11分
易知
是W的一组基，从而W的维数是2。..15分

五、（15分）设e1, e2, e3, e4是欧氏空间V的一组标准正交基, A是V的线性变换, 使得
Ae1 = e1－ e2－e3＋e4 ，
Ae2 = －e1＋e2＋e3－e4 ，
Ae3 = －e1＋e2＋e3－e4 ，
Ae4 = e1－ e2－e3＋e4
求V的一组标准正交基,使A在这组基下的矩阵是对角矩阵。

解 A 在基e1, e2, e3, e4下的矩阵为

相应于特征值0，解齐次线性方程组

得基础解系（1，1，0，0），（1，0.1，0），（-1.0，0，1）。

相应于特征值4，解齐次线性方程组

六、证明题（三题任选做两题）（每小题5分，共10分）
1.设是数域上的线性空间，是其真子空间。证明
2．设阶方阵满足，证明相似于对角阵.
3.设是欧氏空间中的两个不同的单位向量。证明

证明 1.若或，则结论显然成立。………2分
假设，则有。这样，因此 ……..5分
2. 因为，所以A的最小多项式整除，从而是互素的一次因式的乘积，从而A可以对角化。
3. 因为是不同的单位向量，所以。………..2分
这样。 ………..4分
从而 …….5分