高中数学选修2-2主要内容.doc

第一章 导数及其应用

1.1 变化率与导数

问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)则平均变化率为

在前面我们解决的问题：
1、求函数在点（2，4）处的切线斜率。
，故斜率为4
2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是，求时的瞬时速度。
，故斜率为4
二、知识点讲解
上述两个函数和中，当()无限趋近于0时，()都无限趋近于一个常数。
归纳：一般的，定义在区间（，）上的函数，，当无限趋近于0时，无限趋近于一个固定的常数A，则称在处可导，并称A为在处的导数，记作或，

函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

我们称它为函数在出的导数，记作或，即

说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
（2），当时，，所以
当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，
即
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，
即: 。
函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数
3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是 求函数在点处的导数的方法之一。
1．函数的导数
根据导数定义，因为
所以
函数
导数

表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数的导数
因为
所以
函数
导数

表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数的导数
因为

所以
函数
导数

表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．
4．函数的导数
因为

所以
（2）推广：若，则

1.2 导数的计算

函数
导数

导数的运算法则
导数运算法则
1．
2．
3．

复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。
复合函数的导数 复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
若，则

1．3 导数在研究函数中的应用

在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．
特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．
求解函数单调区间的步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．

一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．
“最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求在内的极值；
⑵将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值

1.4 生活中的优化问题举例

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

1.5 定积分的概念

回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：
分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）
定积分的概念
一般地，设函数在区间上连续，用分点

将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：

如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，
其中积分号，－积分上限，－积分下限，－被积函数，－积分变量，－积分区间，－被积式。
说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）记为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功

定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分的几何意义。
说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号。
分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。
考察和式
不妨设
于是和式即为
阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）
思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？

3．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1；
性质2（定积分的线性性质）；
性质3（定积分的线性性质）；
性质4（定积分对积分区间的可加性）
(1) ； (2) ；
说明：①推广：

②推广:
③性质解释：
性质4
性质1

第二章 推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理

●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：（部分—整体，个别—一般）
通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）

类比推理的一般步骤：（特殊—特殊）
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即
观察、比较
联想、类推
猜想新结论

归纳推理和类比推理是常用的合情推理。

演绎推理的定义（一般—特殊）：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
１．演绎推理是由一般到特殊的推理；
２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括　
　⑴大前提---已知的一般原理；　　　　　　　　
⑵小前提---所研究的特殊情况；　　　　　　　
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

2.2 直接证明与间接证明

分析法和综合法（直接证明）：是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
     反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

2.3 数学归纳法

第3章 数系的扩充与复数的引入

3.1数系的扩充和复数的概念

因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数
讲解新课：
1.虚数单位:
(1)它的平方等于-1，即　;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2. 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－!　
3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1
4.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*　
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d　

几何意义：复平面、实轴、虚轴：
复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系　由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i
非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
复平面内的点平面向量

3.2复数代数形式的四则运算

复数代数形式的加减运算
１．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
2. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R).
∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.
z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.
又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.
∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.
4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)
=［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i
=［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i
=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.
z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］
=(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］
=［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i
=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i
∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).
∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律
复数加法的几何意义：
设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，
∴= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i
复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量就与复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i对应由于，所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

１．乘法运算规则：
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
2.乘法运算律：
(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，
z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.
又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.
∴z1z2=z2z1.
(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)
=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i
=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，
同理可证：
z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，
∴(z1z2)z3=z1(z2z3).
(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］
=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i
=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.
z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)
=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i
=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i
=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i
∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)
解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.
例2计算：
（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.
解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25;
(2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.
3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
通常记复数的共轭复数为。
4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者
5.除法运算规则：
①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.
∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.
由复数相等定义可知
解这个方程组，得
于是有:(a+bi)÷(c+di)= i.
②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将的分母有理化得：
原式=
.
∴(a+bi)÷(c+di)=.
点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法