2018高考数学分类理科汇编.docx

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2018 年高考数学真题分类汇编

学大教育宝鸡清姜校区高数组 2018 年 7 月

精品资料
1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z
1+ i
复数
= （ ）

2
A.0 B. 1 C.1 D.
2
2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( )
1 - 2i

A. - 4
- 3 i B. - 4 + 3 i
C. - 3 - 4 i

D. - 3 + 4 i

5 5 5 5 5 5 5 5
3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i)(2 - i) = （ ）

A. -3 - i
B. -3 + i
C. 3 - i
D. 3 + i

4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1
1 - i
的共轭复数对应的点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = .

1+ 2i
6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i × z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ．
7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i)z = 1- 7i（i 是虚数单位），则∣z∣= ．

集合
1.（2018 全国卷 1 理科）已知集合 A = {x | x2 - x - 2 > 0

}则CR A =（ ）

A. {x | -1 < x < 2}
C. {x | x < -1}U {x | x > 2}
B. {x | -1 £ x £ 2}
D. {x | x £ -1}U {x | x ³ 2}

2（2018 全国卷 2 理科）已知集合A= {(x,y) x2
元素的个数为（ ）
+ y2
£ 3,x Î Z，y Î Z}则 中

A.9 B.8 C.5 D.4
3（2018 全国卷 3 理科）已知集合 A = {x | x -1≥ 0} ，B = {0 ，1，2} ，则 A I B =（ ）

A. {0}
B． {1}
C． {1，2}
D． {0 ，1，2}

4（2018 北京卷理科）已知集合 A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则 A I B = ( ) A. {0，1} B.{–1，0，1} C.{–2，0，1，2} D.{–1，0，
1，2}
5（2018 天津卷理科）设全集为 R，集合 A = {x 0 < x < 2} ， B = {x x ³ 1} ，则

A I (CR B) =( )
A.{x 0 < x £ 1}


B. {x 0 < x < 1}


C.{x 1 £ x < 2}


D. {x 0 < x < 2}

6（2018 江苏卷）．已知集合 A = {0,1, 2,8} ， B = {-1,1, 6,8} ，那么 A I B = ．

简易逻辑
1（2018 北京卷理科）设集合 A = {(x, y) | x - y ³ 1, ax + y > 4, x - ay £ 2}, 则（ ）

A.对任意实数 a， (2,1) Î A
C. 当且仅当 a<0 时，（2，1）Ï A
B.对任意实数 a，（2，1）Ï A
D. 当且仅当a £ 3 时，（2，1）Ï A
2

2（2018 北京卷理科）能说明“若 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立， 则 f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是 ．
3（2018 天津卷理科）设 x Î R ，则“| x - 1 |< 1 ”是“ x3 < 1”的 （ ）
2 2

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4（2018 上海卷）已知a Î R ，则“ a﹥1”是“ 1 ﹤1”的（ ）
a
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

统计
1（2018 全国卷 1 理科）某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例，则下面结论中不正确的是
（ ）
A. 新农村建设后，种植收入减少
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C. 新农村建设后，养殖收入增加一倍
D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
2（2018 江苏卷）已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 ．

立体几何
1（2018 全国卷 1 理科）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图。圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对
应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中 A
最短路径的长度为（ ）
B

17
5
A. 2 B. 2 C.3 D.2
2（2018 全国卷 2 理科）．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
3（2018 北京卷理科）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4 4（2018 上海卷）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设 AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为
顶点，以 AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）

A.4 B.8 C.12 D.16

5（2018 全国卷 1 理科）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）

A. 3 3 4
B. 2 3 3
C. 3 2 4
D. 3 2

6（2018 全国卷 2 理科）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为

15
7/8，SA 与圆锥底面所成角为 45 度。若△SAB 的面积为5 为 。
，则圆锥的侧面积

7（2018 全国卷 3 理科）设 A ，B ，C ，D 是问一个半径为 4 的球的球面上四点，

△ABC 为等边三角形且其面积为 9 3 ，则三棱锥 D - ABC 体积的最大值为
（ ）
A．12 3 B．18 3 C． 24 3 D． 54 3
8（2018 天津卷理科）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 1，除面 ABCD 外， 该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥
M - EFGH 的体积为 .

9（2018 江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．

立体几何解答题
1（2018 全国卷 1 理科）如图，四边形 ABCD 为正方形， E, F 分别为 AD, BC 的
中点，以 DF 为折痕把DDFC 折起，使点C 到达点 P 的位置，且 PF ^ BF .
(1) 证明：平面 PEF ^ 平面 ABFD ;
(2) 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值.

2（2018 全国卷 2 理科）.在长方形
3
ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA1= ,则
异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为( )

A. 1
5
B. 5 6
C. 5 5
D. 2 2

3 （ 2018 全国卷 2 理科） 如图， 在三角锥 P - ABC 中，
2
AB = BC = 2 ,
PA = PB = PC = AC = 4 , O 为 AC 的中点.
(1) 证 明 ： PO ^ 平 面 ABC ; (2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M - PA - C 为30° ，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.
4（2018 全国卷 3 理科）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面与半圆弧 CD
所在平面垂直， M 是 CD 上异于C ， D 的点．
⑴证明：平面 AMD ⊥平面 BMC ；
⑵当三棱锥镜 M - ABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值．

4（2018 北京卷理科）如图，在三棱柱 ABC— A1B1C1 中， CC1 ^ 平面 ABC，D，E， F，G 分别为 AA1 ，AC， A1C1 ， BB1 的中点，AB=BC= 5 ，AC= AA1 =2．

（1） 求证：AC⊥平面 BEF；
（2） 求二面角 B-CD-C1 的余弦值；
（3） 证明：直线 FG 与平面 BCD 相交．
5（2018 天津卷理科）如图，AD∥BC 且 AD=2BC，AD ^ CD , EG∥AD 且 EG=AD，
CD∥FG 且 CD=2FG， DG ^ 平面ABCD ，DA=DC=DG=2.

（1） 若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证： MN∥平面CDE ；

（2） 求二面角 E - BC - F 的正弦值；
（3） 若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60°，求线段
DP 的长.

6（2018 江苏卷）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中， AA1 = AB, AB1 ^ B1C1 ． 求证：（1） AB∥平面 A1B1C ；

（2）平面 ABB1 A1 ^ 平面 A1BC

数列

1（2018 全国卷 1 理科）记 Sn 为数列{an }的前 n 项的和，若Sn = 2an +1，则Sn =

精品资料
2（2018 全国卷 1 理科）记Sn 为等差数列{an }的前 n 项和，若3S3 =S 2+S4
则a3 = （ ）
A.-12 B.-10 C.10 D.12
a1 = 2

3（2018 全国卷 2 理科）记 Sn 为等差数列{an }的前 n 项和，已知a1 = -7 ，S1=-15.
(1) 求{an }的通项公式；
(2) 求 Sn 并求 Sn 的最小值。
4（2018 全国卷 3 理科）等比数列{an } 中， a1 = 1，a2 = 4a3 ．
⑴求{an } 的通项公式；
⑵记Sn 为{an } 的前n 项和．若 Sm = 63 ，求m ．
5（2018 北京卷文科）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的
频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 .若第一个单音的频率 f，则第八个单音频率为（ ）
3 2
3 22
C. 12 25 f
D. 12 27 f
A. f B. f

n n
6（2018 北京卷理科）设{an } 是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，则{an } 的通项公式为 ． 7（2018 天津卷理科）设{a } 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 S (n Î N* ) ，
{bn }是等差数列. 已知a1 = 1， a3 = a2 + 2 ， a4 = b3 + b5 ， a5 = b4 + 2b6 .

（1） 求{an} 和{bn }的通项公式；

（2） 设数列{S } 的前 n 项和为T (n Î N* ) （i）求T
n n n

å
n (T + b )b
2n+2 *

（ii） 证明 k k +2 k
k =1 (k +1)(k + 2)
= - 2(n Î N ) .
n + 2

8（2018 江苏卷）．已知集合 A = {x | x = 2n - 1, n Î N*} ，B = {x | x = 2n , n Î N*} ．将 A U B

的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an } ．记Sn 为数列{an } 的前 n 项

和，则使得Sn > 12an +1 成立的 n 的最小值为 ．

9（2018 上海卷）记等差数列{an }
S7= 。
的前几项和为 Sn，若 a3=0，a8+a7=14，则

导数
1（2018 全国卷 1 理科）设函数 f (x) = x3 + (a -1)x2 + ax ，若 f (x) 为奇函数，则

曲线 y = f (x) 在点（0,0）处的切线方程为（ ）

A. y = -2x
B. y = -x
C. y = 2x
D. y = x

2（2018 全国卷 2 理科）曲线 y = 2 ln(x +1) 在点(0, 0) 处的切线方程为 .

3（2018 全国卷 3 理科）曲线 y = (ax + 1)ex 在点(0 ，1) 处的切线的斜率为-2 ，则
a = ．

平面向量
1（2018 全国卷 1 理科）在DABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点， 则( )
A. B.
C. D.
2（2018 全国卷 2 理科）已知向量a, b 满足|a|=1， a =1 ,a×b= -1，则a×(2a-b) =
（ ）
A.4 B.3 C.2 D.0
3（2018 全国卷 3 理科）已知向量a = (1，2) ，b = (2 ，- 2) ，c = (1，l) ．若c ∥(2a + b) ， 则l= ．
4（2018 北京卷理科）设 a，b 均为单位向量，则“ a - 3b = 3a + b ”是“a⊥b”的
（ ）
A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5（2018 天津卷理科）如图，在平面四边形 ABCD 中， AB ^ BC ， AD ^ CD ，

ÐBAD = 120° ， AB = AD = 1 . 若点 E 为边 CD 上的动点，则 AE · BE 的最小

值为 （ ）

A . 21
16

B. 3
2

C. 25
16


D. 3

6（2018 江苏卷）．在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线l : y = 2x 上在第一象限内
uuur uuur
的点， B(5, 0) ，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D．若 AB × CD = 0 ，

则点 A 的横坐标为 .
6（2018 上海卷）.在平面直角坐标系中，已知点 A（-1，0），B（2，0），E，F

是 y 轴上的两个动点，且| EF |=2，则 AE × BF 的最小值为

圆锥曲线
1（2018 全国卷 1 理科）设抛物线C : y2 = 4x 的焦点为 F,过点（-2,0）且斜率为 2
3

的直线与 C 交于两点，则 FM · FN =( )
A.5 B.6 C.7 D.8
x2 2

2（2018 全国卷 1 理科）已知双曲线 C: - y
3
= 1，O 为坐标原点，F 为 C 的右

3
焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M,N.若△OMN 为直角三角形， 则 MN =（ ）

A. 3
2
B.3 C. 2
D.4

2
3（2018 全国卷 2 理科）双曲线 x
a2
线方程为（ ）

y2
- = 1（a>0,b>0）的离心率为，则其渐近
b2

A. y = ± 2x

B. y = ± 3x
C. y = ± 2 x
2
D. y = ± 3 x
2

x2 y2

4（2018 全国卷 2 理科）.已知 F1 、 F2 是椭圆 C: a2 + b2
= 1(a > b > 0) 的左、右焦

点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 3 的直线上， DPF F 为等腰三角
6 1 2
1 2
形， ÐF F P = 120o ,则 C 的离心率为

A. 2
3
B. 1
2
C. 1
3
D. 1
4
2
x2 y2

a b
5（2018 全国卷 3 理科）设 F1 ，F2 是双曲线C： 2 -
= 1（ a > 0 ，b > 0 ）的左，右

6
焦点，O 是坐标原点．过 F2 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若 PF1 =
则C 的离心率为（ ）
OP ，

A． 3 B．2 C． 3 D． 2

6（2018 全国卷 3 理科）已知点M (-1，1) 和抛物线C：y2 = 4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于 A ， B 两点．若∠AMB = 90° ，则k = ．

2
7（2018 北京卷理科）已知椭圆 M : x
a2
+ y2
b2
= 1(a > b > 0) ，双曲线 N : x
2
m2
- y2
n2
= 1，

若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为
．

2
8（2018 天津卷理科）已知双曲线 x
a2
y2
- = 1(a > 0 , b > 0) 的离心率为 2，过右焦
b2

点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点. 设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1 和d2 ，且d1 + d2 = 6 ，则双曲线的方程为 （ ）

- =
x2 y2
A .
x2 y2
1
- =
B.
x2 y2
1
- =
C.
x2 y2
1
1
- =
D.

4 12
12 4
3 9

xOy
9 3
x2 - y2 = > >

9（2018 江苏卷）在平面直角坐标系
中，若双曲线 a2
b2 1(a
0, b
0) 的右

焦点 F (c, 0) 到一条渐近线的距离为 3 c ，则其离心率的值是 ．
2

10（2018 上海卷）双曲线
x2 - 2

y
4

= 1的渐近线方程为 。

11（2018 上海卷）设 P 是椭圆 x ² + y ² =1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点
5 3
3
5
2
的距离之和为（ ）

2
（A）2
（B）2
（C）2
（D）4

函数与基本初等函数
( )
ì ex , x £ 0
1（2018 全国卷 1 理科）已知函数 f x = í
îln x, x > 0
存在 2 个零点，则 a 的取值范围是（ ）

g ( x ) = f (x ) + x + a ，在 g ( x)

A. [-1, 0)
B. [0, +¥)
C.[-1, +¥)
D. [1, +¥)

2（2018 全国卷 1 理科）已知函数 f (x) = 2 sin x + sin 2x ，则 f (x) 的最小值是
.
3（2018 全国卷 2 理科）已知 f ( x) 是定义为(-¥, +¥) 的奇函数，满足
f (1- x) = f (1+ x) 。若 f (1) = 2 ，则 f (1) + f (2) + f (3) +×××+ f (50) = （ ）
A．-50 B.0 C.2 D.50
4（2018 全国卷 3 理科）设a = log0.2 0.3 ， b = log2 0.3 ，则（ ）

A． a + b < ab < 0
C． a + b < 0 < ab
B． ab < a + b < 0
D． ab < 0 < a + b

5（2018 天津卷理科）已知a = log2 e ， b = ln 2 ， c = log
1 ，则 a，b，c 的大小
3
1
2

关系为 （ ）
A. a > b > c

B. b > a > c

C. c > b > a

D. c > a > b

ì x2 + 2ax + a, x £ 0,
î
6（2018 天津卷理科）已知a > 0 ，函数 f (x) = í-x2 + 2ax - 2a, x > 0. 若关于 x 的方程 f (x) = ax 恰有 2 个互异的实数解，则a 的取值范围是 .
log2 x -1
7（2018 江苏卷）函数 f (x) = 的定义域为 ．

8（2018 江苏卷）函数 f (x) 满足 f (x + 4) = f (x)(x Î R) ，且在区间(-2, 2] 上，

ìcos px , 0 < x £ 2,

í
f (x) = ï 2
ï
ï| x + 1
î 2

|, -2 < x £ 0,
则 f ( f (15)) 的值为 ．

9（2018 江苏卷）若函数 f (x) = 2x3 - ax2 + 1(a Î R) 在(0, +¥) 内有且只有一个零点， 则 f (x) 在[-1,1] 上的最大值与最小值的和为 ．
10（2018 上海卷）设常数a Î R ，函数 f (x) = log2 (x + a) 若 f (x) 的反函数的图像

经过点(3，1) 则a = .
11（2018 上海卷）已知α∈{－2,－1,－ 1 , 1 ,1,2,3}，若幂函数 f (x) = xn 为奇函数，

2 2
且在(0,+∞)上递减，则α= .
22


æ 6 ö

12（2018 上海卷）已知常数 a>0，函数 f (x) = (22 + ax) 的图像经过点 p ç p， ÷ 、

Q æ q，- 1 ö ，若2p+q = 36 pq ，则 a=

è 5 ø

ç 5 ÷
è ø

函数图像

ex - e- x
1（2018 全国卷 2 理科）函数 f (x) = 的图像大致为( )
x2

2（2018 全国卷 3 理科）函数 y = -x4 + x2 + 2 的图像大致为（ ）

三角函数

1（2018 全国卷 1 理科）已知函数，则的最小值是
.
2（2018 全国卷 2 理科）若 f ( x) = cos x -sin x 在[-a, a]是减函数，则 a 的最大值是()
A . p B. p C. 3p D.p
4 2 4

3（2018 全国卷 2 理科）已知 sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0 则 sin（α+β）
= 。
4（2018 全国卷 3 理科）若sina= 1 ，则cos 2a= （ ）
3

精品资料
A. 8
9
B. 7
9
C. - 7
9
D. - 8
9

5（2018 北京卷理科）设函数 f（x）= cos(wx - π)(w> 0) ，若 f (x) £ f ( π) 对任意的实
6 4
数 x 都成立，则ω的最小值为 ．

6（2018 天津卷理科）将函数 y = sin(2x + p) 的图象向右平移 p 个单位长度，所
5 10

得图象对应的函数 （ ）

A.在区间[3p , 5p] 上单调递增 B.在区间[3p , p] 上单调递减
4 4 4

C.在区间[5p , 3p] 上单调递增 D.在区间[3p , 2p] 上单调递减
4 2 2
7（2018 江苏卷）已知函数 y = sin(2x + j)(- p < j< p) 的图象关于直线 x = p 对称，
2 2 3
则j的值是 ．

8（2018 江苏卷）已知a,b为锐角， tana= 4 ， cos(a+ b) = - 5 ．
3 5
（1）求cos 2a的值；（2）求tan(a- b) 的值．

解三角形
1（2018 全国卷 1 理科）在平面四边形 ABCD 中，
ÐADC = 90o , ÐA = 45o , AB = 2, BD = 5.
(1) 求cosÐADB ;
(2) 若 DC = 2 2, 求 BC .

2（2018 全国卷 2 理科）在DABC 中， cos C = 5 , BC = 1, AC = 5 则 AB = ( )

2
30
29
A.4 B. C.
2 5

5
D.2

3（2018 全国卷 3 理科）△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC
的面积为 a2 + b2 - c2 ，则C = （ ）
4
A． p B． p C． p D． p
2 3 4 6
4（2018 北京卷理科）在△ABC 中，a=7，b=8，cosB= – 1 ．
7
（1） 求∠A；
（2） 求 AC 边上的高．
5（2018 天津卷理科）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已
知b sin A = a cos(B - p) .
6

（1） 求角 B 的大小；
（2） 设 a=2，c=3，求 b 和sin(2A - B) 的值.

6（2018 江苏卷）在△ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，ÐABC = 120° ，ÐABC

的平分线交 AC 于点 D，且 BD = 1 ，则4a + c 的最小值为

开始
N = 0, T = 0
算法框图
1（2018 全国卷 2 理科） 为计算
是
i < 100
i +1
T = T + 1
N = N + 1
i
i = 1
S = 1- 1 + 1 - 1 +×××+ 1 - 1 ,设计了右侧的程序框

S = N - T

2 3 4 99 100 否
图，则在空白框中应填入（ ）

A.i = i + 1
C.i = i + 3
B.i = i + 2
输出S

结束
D.i = i + 4

2（2018 北京卷理科）设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ） 执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为

A. 1
2
B. 5
6
C. 7
6
D. 7 12

3（2018 天津卷理科）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为
20，则输出 T 的值为 （ ）
A. 1 B. 2 C.3 D. 4

4（2018 江苏卷）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为 ．

不等式与线性规划
ìx - 2 y - 2 £ 0,
í
1（2018 全国卷 1 理科） 若 x ， y 满足约束条件ïx - y + 1 ³ 0,
î
ï y £ 0,


则 z = 3x + 2 y 的

最大值为 .

ìx + 2 y - 5 ³ 0

í
2（2018 全国卷 2 理科） 若 x,y 满足约束条件ïx - 2 y + 3 ³ 0 ，则 z = x + y 的最大
î
ïx - 5 £ 0
值为 .
3（2018 北京卷理科）若 x，y 满足 x+1≤y≤2x，则 2y–x 的最小值是 ．
ì x + y £ 5,
ï2x - y £ 4,

í-x + y £ 1,
4（2018 天津卷理科）设变量 x，y 满足约束条件ï
ï
ïî y ³ 0,
则目标函数 z = 3x + 5y

的最大值为 （ ）
A.6 B. 19 C. 21 C.45

5 （ 2018 天津卷理科） 已知 a , b Î R ， 且 a - 3b + 6 = 0 ， 则 2a + 1
8b


的最小值

为 .

直线与圆
1（2018 全国卷 3 理科）直线 x + y + 2 = 0 分别与 x 轴 y 交于 A ， B 两点，点 P 在圆

( x - 2)2 + y2 = 2 上，则△ ABP 面积的取值范围是（ ）

A． [2 ，6]
B． [4 ，8]
C． é
2 ，3 2 ù
D．é2 2 ，3 2 ù

ë û ë û

2（2018 北京卷理科）在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cosq, sinq) 到直线
x - my - 2 = 0 的距离，当q，m 变化时，d 的最大值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4

概率
1（2018 全国卷 1 理科）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形, 此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC。△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为
Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分别记为 p1, p2 , p3 ,
则 （ ）

A. p1 = p2
B. p1 = p3
C. p2 = p3
D. p1 = p2 + p3

2（2018 全国卷 2 理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如
30=7+23.在不超过 30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 30 的概率是()

A. 1 12
B. 1 14
C. 1 15
D. 1 18

3（2018 全国卷 3 理科）某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，
DX = 2.4 ， P ( X - 4) < P ( X - 6) ，则 p = （ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
4（2018 江苏卷）某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为 ．
5（2018 上海卷）有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为 9 克的概率是
（结果用最简分数表示）

计数原理与二项式定理
1（2018 全国卷 1 理科）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少
有 1 位女生入选，则不同的选法共有 种.(用数字填写答案)

ç
2（2018 全国卷 3 理科） æ x2 +
è
2 ö2
÷ 的展开式中 x4 的系数为（ ）
x ø

A．10 .B．20 C．40 D．80
3（2018 全国卷 3 理科）在(x - 2 1 x )5 的展开式中， x2 的系数为

圆锥曲线解答题
x2 2

1（2018 全国卷 1 理科）设椭圆C : + y
2
= 1 的右焦点为 F ，过 F 得直线l 与C 交

于 A, B 两点，点M 的坐标为(2, 0) .
(1) 当l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；
(2) 设O 为坐标原点，证明： ÐOMA = ÐOMB .
2（2018 全国卷 2 理科）.设抛物线C : y2 = 4x 的焦点为 F，过 F 点且斜率k (k > 0)
的直线l 与C 交于 A, B 两点， AB = 8 .

(1) 求l 的直线方程。（2）求过点 A, B 且与C 的准线相切的圆的方程.

x2
3（2018 全国卷 3 理科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C：
+ y2 = 交于 ， 两

1 A B
点．线段 AB 的中点为M (1，m)(m > 0) ．
⑴证明： k < - 1 ；
2


uuur uur uuur
4 3

uur


uuur


uuur

⑵设 F 为C 的右焦点， P 为C 上一点,且 FP + FA + FB = 0 ．证明： FA ， FP ， FB

成等差数列，并求该数列的公差．
4（2018 北京卷理科）已知抛物线 C： y2 = 2 px 经过点 P （1，2）．过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB
交 y 轴于 N．
（Ⅰ）求直线 l 的斜率的取值范围；
l m
（Ⅱ）设 O 为原点QM = lQO ， QN = mQO 求证： 1 + 1 为定值．

2
5（2018 天津卷理科）设椭圆 x
a2
x2
+ = 1 (a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已
b2

2
知椭圆的离心率为 5 ，点 A 的坐标为(b, 0) ，且 FB × AB = 6 .
3
（1） 求椭圆的方程；

（2） 设直线 l： y = kx(k > 0) 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q.

AQ
PQ
若 = 5 2 sin ÐAOQ (O 为原点) ，求 k 的值.
4
1
6（2018 江苏卷）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点( 3, ) ，焦点
2

F1 (- 3, 0), F2 ( 3, 0) ，圆 O 的直径为 F1F2 ．

（1） 求椭圆 C 及圆 O 的方程；
（2） 设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P．
①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；
②直线 l 与椭圆 C 交于 A