高中数学选修2-2第三章复数测试题.doc

精品教育
选修2-2第三章复数测试题

第Ⅰ卷(选择题，共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案

一、选择题(每小题5分，共60分)
1．i为虚数单位，2＝(　　)
A．－1 B．1 C．－i D．i
2．设复数z＝1＋i，则z2－2z等于(　　)
A．－3 B．3 C．－3i D．3i
3．若复数z＝(x2－4)＋(x－2)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)
A．－2 B．0 C．2 D．－2或2
4.如右图，在复平面内，向量对应的复数是1－i，将向左平移一个单位后得到，则P0对应的复数为(　　)
A．1－i B．1－2i C．－1－i D．－i
5．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)
A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i
6．复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝(　　)
A．－2i B．－i C．i D．2i
7.是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(　　)
A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i
8．满足条件|z－1|＝|5＋12i|的复数z在复平面上对应Z点的轨迹是(　　)
A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆
9．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)
A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i
10．已知复数z1＝a＋2i，z2＝a＋(a＋3)i，且z1z2>0，则实数a的值为(　　)
A．0 B．0或－5 C．－5 D．以上均不对
11．复数z满足条件：|2z＋1|＝|z－i|，那么z对应的点的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
12．设z是复数，α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，α(i)等于(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．复数i2(1＋i)的实部是__________．
14．复数z＝(i为虚数单位)，则z对应的点在第________象限．
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
16．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R＋，i是虚数单位)是方程x2－4x＋5＝0的根．复数ω＝u＋3i(u∈R)满足|ω－z|<2，则u的取值范围为________．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
18．(12分)计算：
(1)； (2).
19.(12分)已知复数z＝，ω＝z＋ai(a∈R)，当≤时，求a的取值范围．
20．(12分)在复平面内，复数z1在连结1＋i和1－i的线段上移动，设复数z2在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数z1＋z2在复平面上移动范围的面积．
21.(12分)设复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z·＋(1－2i)·z＋(1＋2i)·≤3，求|z|的最大值和最小值．

22.(12分)关于x的方程x2－(1＋3i)x＋(2i－m)＝0(m∈R)有纯虚根x1.
(1)求x1和m的值；
(2)利用根与系数的关系猜想方程的另一个根x2，并给予证明；
(3)设x1，x2在复平面内的对应点分别为A，B，求|AB|.

答案
1．A　2＝＝＝－1，故选A.
2．A　z2－2z＝z(z－2)
＝(1＋i)(i－1)
＝－2－1＝－3.
3．A　∵z＝(x2－4)＋(x－2)i为纯虚数，
∴⇒x＝－2.
4．D　要求P0对应的复数，根据题意，只需知道，而＝＋，从而可求P0对应的复数．
∵＝，对应的复数是－1，
∴P0对应的复数即对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.
5．D　由a－i与2＋bi互为共轭复数，可得a＝2，b＝1.所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝4＋4i－1＝3＋4i.
6．B　∵z＝1＋i，∴＝1－i.
∴z·＝|z|2＝2.
∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.
7．D　设z＝a＋bi(a∈R，b∈R)，则＝a－bi.
由z＋＝2，得2a＝2，即a＝1；
又由(z－)i＝2，得2bi·i＝2，即b＝－1.
故z＝1－i.
8．C　本题中|z－1|表示点Z到点(1,0)的距离，|5＋12i|表示复数5＋12i的模长，所以|z－1|＝13，表示以(1,0)为圆心，13为半径的圆．注意复数的模的定义及常见曲线的定义．
9．A　由定义，＝zi＋z，所以zi＋z＝4＋2i，所以z＝＝3－i.
10．C　z1z2＝(a＋2i)·[a＋(a＋3)i]＝(a2－2a－6)＋(a2＋5a)i，由z1z2>0知z1z2为实数，且为正实数，因此满足
解得a＝－5(a＝0舍去)．
11．A　设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则|2x＋2yi＋1|＝|x＋yi－i|，
即＝，
所以3x2＋3y2＋4x＋2y＝0，
即2＋2＝.
12．C　∵α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，∴α(i)表示满足in＝1的最小正整数n.
∵i2＝－1，i4＝1.∴α(i)＝4.

13.－1
解析：∵i2(1＋i)＝－1－i，
∴i2(1＋i)的实部为－1.
14．四
解析：∵z＝＝＝＝－i，∴复数z对应点的坐标为，－，为第四象限的点．
15．8
解析：∵a＋bi＝，
∴a＋bi＝＝5＋3i.
根据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3，
故a＋b＝8.
16．(－2,6)
解析：原方程的根为x＝2±i.
∵a，b∈R＋，∴z＝2＋i.
∵|ω－z|＝|(u＋3i)－(2＋i)|＝<2，
∴－2<u<6.
17．解：∴z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，
∴(1)由m2－3m＋2＝0，得m＝1，或m＝2，
即m＝1或2时，z为实数．
(2)由m2－3m＋2≠0，得m≠1，且m≠2，
即m≠1，且m≠2时，z为虚数．
(3)由得m＝－，
即m＝－时，z为纯虚数．
18．解：(1)＝＝＝2.
(2)＝
＝＝＝
＝－＋i.
19．解：∵z＝＝
＝－i(1＋i)＝1－i，
∴ω＝1＋(a－1)i，
∴＝
＝＝.
由≤，得2＋2≤2，
解得1－≤a≤1＋.
故a的取值范围是[1－，1＋]．
20．解：设ω＝z1＋z2，z2＝ω－z1，|z2|＝|ω－z1|，∵|z2|＝1，∴|ω－z1|＝1.
上式说明对于给定的z1，ω在以z1 为圆心，1为半径的圆上运动，
又z1在连结1＋i和1－i的线段上移动，
∴ω的移动范围的面积为：S＝2×2＋π×12＝4＋π.

21.解：z·＋(1－2i)·z＋(1＋2i)·≤3
⇒x2＋y2＋(1－2i)(x＋yi)＋(1＋2i)(x－yi)≤3
⇒(x＋1)2＋(y＋2)2≤8，即|z＋1＋2i|≤2，所以复数z对应的点的集合是以C(－1，－2)为圆心，2为半径的圆面(包括边界)．
又因为|OC|＝<2，所以，原点在圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝8的内部，如下图．

所以，当z＝－－i时，|z|max＝＋2；当z＝0时，|z|min＝0.
22．解：(1)由题意，设x1＝bi(b≠0且b∈R)，代入方程，得(bi)2－(1＋3i)·bi＋(2i－m)＝0，即－b2－bi＋3b＋2i－m＝0，即(－b2＋3b－m)＋(2－b)i＝0，所以
解得所以x1＝2i，m＝2.
(2)由根与系数的关系知x1＋x2＝1＋3i，所以x2＝1＋3i－x1＝1＋3i－2i＝1＋i.
证明：把x2＝1＋i代入原方程的左边，得(1＋i)2－(1＋3i)(1＋i)＋(2i－2)＝2i－(－2＋4i)＋(2i－2)＝0，所以x2＝1＋i是方程x2－(1＋3i)x＋(2i－2)＝0的根．
(3)由(1)，(2)知，A(0,2)，B(1,1)，
所以|AB|＝＝.
-可编辑-