圆的相关知识点.pdf

1圆的相关知识圆的相关知识 最好配以简单的习题掌握最好配以简单的习题掌握 刘蕾老师整合刘蕾老师整合板块一：圆的有关概念板块一：圆的有关概念一、圆的定义：一、圆的定义：1.描述性定义：在一个平面内，线段描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成随之旋转所形成OAOA的图形叫做圆，其中固定端点的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做圆心，叫做半径叫做半径OOA 2.集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径 3.圆的表示方法：通常用符号圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以表示圆，定义中以为圆心，为圆心，为半径的圆记作为半径的圆记作“”，读作，读作“圆圆”OOAOO4.同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等注意：同圆或等圆的半径相等二、弦和弧二、弦和弧 1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦 2.直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍倍2 3.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距4.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以为端点的圆弧记作为端点的圆弧记作，读作弧，读作弧AB、AABAB 5.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 6.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆 7.优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 8.弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形三、圆心角和圆周角三、圆心角和圆周角 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为等份，每一份的弧对应等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称的圆心角，我们也称3601这样的弧为这样的弧为的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等1 2.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 推论推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径90 推论推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 4.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等相等，所对的弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等它们所对应的其余各组量分别相等板块二：圆的对称性与垂径定理板块二：圆的对称性与垂径定理一、圆的对称性一、圆的对称性 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线 2.圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心 3.圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合二、垂径定理二、垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 2.推论推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧2 3.推论推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等：圆的两条平行弦所夹的弧相等板块三：点与圆的位置关系板块三：点与圆的位置关系一、点与圆的位置关系一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定的大小关系决定 设设的半径为的半径为，点，点到圆心到圆心的距离为的距离为，则有：，则有：OrPOd点在圆外点在圆外；点在圆上；点在圆上；点在圆内；点在圆内.drdrdr如下表所示：如下表所示：位置关系位置关系图形图形定义定义性质及判定性质及判定点在圆外点在圆外PrO点在圆的外部点在圆的外部点点在在的外部的外部.drPO点在圆上点在圆上PrO点在圆周上点在圆周上点点在在的圆周上的圆周上.drPO点在圆内点在圆内PrO点在圆的内部点在圆的内部点点在在的内部的内部.drPO二、确定圆的条件二、确定圆的条件1.圆的确定圆的确定 确定一个圆有两个基本条件：确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点）圆心（定点），确定圆的位置；，确定圆的位置；半径（定长）半径（定长），确定圆的大小只有，确定圆的大小只有当圆心和半径都确定时，远才能确定当圆心和半径都确定时，远才能确定2.过已知点作圆过已知点作圆经过点经过点的圆：以点的圆：以点以外的任意一点以外的任意一点为圆心，以为圆心，以的长为半径，即可作出过点的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆，这样AAOOAA的圆有无数个的圆有无数个经过两点经过两点的圆：以线段的圆：以线段中垂线上任意一点中垂线上任意一点作为圆心，以作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的长为半径，即可作出过点AB、ABOOA的圆，这样的圆也有无数个的圆，这样的圆也有无数个AB、过三点的圆：若这三点过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；若共线时，过三点的圆不存在；若三点不共线时，圆心是线三点不共线时，圆心是线ABC、ABC、段段与与的中垂线的交点，而这个交点的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个是唯一存在的，这样的圆有唯一一个ABBCO过过个点的圆：只可以作个点的圆：只可以作个或个或 个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的n4n 01圆心圆心3.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆定理：不在同一直线上的三点确定一个圆 注意：注意：“不在同一直线上不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；“确定确定”一词的含义是一词的含义是“有且只有有且只有”，即，即“唯一存在唯一存在”4.三角形的外接圆三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形三角形外心的性质：三角形外心的性质：三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离3相等；相等；三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合却有无数个，这些三角形的外心重合.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.板块四：直线和圆的位置关系板块四：直线和圆的位置关系一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 设设的半径为的半径为，圆心，圆心到直线到直线 的距离为的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：，则直线和圆的位置关系如下表：OrOld位置关系位置关系图形图形定义定义性质及判定性质及判定相离相离lOdr直线与圆没有公共点直线与圆没有公共点.直线直线 与与相离相离drlO相切相切lOdr直线与圆有唯一公共点，直线叫做直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点圆的切线，唯一公共点叫做切点.直线直线 与与相切相切drlO相交相交lOdr直线与圆有两个公共点，直线叫做直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线圆的割线.直线直线 与与相交相交drlO 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：二、切线的性质及判定二、切线的性质及判定 1.切线的性质：切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2.切线的判定切线的判定 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3.切线长和切线长定理：切线长和切线长定理：切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角的夹角三、三角形内切圆三、三角形内切圆 1.定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形叫做圆的外切三角形 2.多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系相交相交相切相切相离相离公共点个数公共点个数210圆心到直线的距离圆心到直线的距离与半径与半径的关系的关系drdrdrdr公共点名称公共点名称交点交点切点切点无无直线名称直线名称割线割线切线切线无无4板块五：圆和圆的位置关系板块五：圆和圆的位置关系一、圆和圆的位置关系的定义、性质及判定一、圆和圆的位置关系的定义、性质及判定 设设的半径分别为的半径分别为（其中（其中），两圆圆心距为，两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表：，则两圆位置关系如下表：12OO、Rr、Rrd位置关系位置关系图形图形定义定义性质及判定性质及判定外离外离rRO1O2两个圆没有公共点，并且每个圆上两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部的点都在另一个圆的外部两圆外离两圆外离dRr外切外切rRO2O1两个圆有唯一公共点，并且除了这两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部另一个圆的外部两圆外切两圆外切dRr相交相交rRO1O2两个圆有两个公共点两个圆有两个公共点两圆相交两圆相交RrdRr内切内切rRO1O2两个圆有唯一公共点，并且除了这两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部另一个圆的内部两圆内切两圆内切dRr内含内含rRO1O2两个圆没有公共点，并且一个圆上两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例心是两圆内含的一种特例两圆内含两圆内含0dRr说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数来说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数来分，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两分，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况二、两圆的连心线二、两圆的连心线 1.定义：通过两圆圆心的直线叫做连心线定义：通过两圆圆心的直线叫做连心线 2.性质：性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上；如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上；相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦三、两圆的公切线三、两圆的公切线 1.定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线 外公切线：两个圆在公切线同侧时，这样的公切线叫做外公切线；外公切线：两个圆在公切线同侧时，这样的公切线叫做外公切线；内公切线：两个圆在公切线两侧时，这样的公切线叫做内公切线内公切线：两个圆在公切线两侧时，这样的公切线叫做内公切线 2.公切线条数与两圆的位置关系公切线条数与两圆的位置关系 若两圆外离，则外公切线条数为若两圆外离，则外公切线条数为，内公切线条数为，内公切线条数为，公切线总数为，公切线总数为；224 若两圆外切，则外公切线条数为若两圆外切，则外公切线条数为，内公切线条数为，内公切线条数为，公切线总数为，公切线总数为；213 若两圆相交，则外公切线条数为若两圆相交，则外公切线条数为，内公切线条数为，内公切线条数为，公切线总数为，公切线总数为；202 若两圆内切，则外公切线条数为若两圆内切，则外公切线条数为，内公切线条数为，内公切线条数为，公切线总数为，公切线总数为；101 若两圆内含，则外公切线条数为若两圆内含，则外公切线条数为，内公切线条数为，内公切线条数为，公切线总数为，公切线总数为；000 3.性质：性质：若两圆有两条外（内）公切线，并且相交，则两圆的连心线必经过交点且平分这两条公切线若两圆有两条外（内）公切线，并且相交，则两圆的连心线必经过交点且平分这两条公切线的夹角；的夹角；5 若两圆外切，则两圆的连心线垂直两圆的内公切线；若两圆内切，则两圆的连心线垂直两圆若两圆外切，则两圆的连心线垂直两圆的内公切线；若两圆内切，则两圆的连心线垂直两圆的外公切线的外公切线 特别地，若两圆为等圆，则它的两条外公切线均与连心线平行特别地，若两圆为等圆，则它的两条外公切线均与连心线平行4.公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长 5.公切线长定理：两圆的两条外公切线的长相等，两条内公切线的长也相等公切线长定理：两圆的两条外公切线的长相等，两条内公切线的长也相等板块六：与圆有关的计算板块六：与圆有关的计算设设的半径为的半径为，圆心角所对弧长为圆心角所对弧长为，ORnl1.弧长公式：弧长公式：180n Rl 2.扇形面积公式：扇形面积公式：213602nSRlR、3.圆柱体表面积公式：圆柱体表面积公式：222SRRh4.圆锥体表面积公式：圆锥体表面积公式：（为母线）为母线）2SRRll常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：公式法；公式法；割补法；割补法；拼凑法；拼凑法；等积变换法等积变换法