圆的知识点总结.pdf

1圆的知识点总结圆的知识点总结（一）圆的有关性质（一）圆的有关性质知识归纳知识归纳 1.1.圆的有关概念：圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。2.2.圆的对称性圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。圆具有旋转不变性。3.3.圆的确定圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。不在同一条直线上的三点确定一个圆。4.4.垂直于弦的直径垂直于弦的直径 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论推论 1 1 （1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。垂径定理及推论垂径定理及推论 1 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：可推出另外三个：过圆心；过圆心；垂直于弦；垂直于弦；平分弦（不是直径）平分弦（不是直径）；平分弦所对的优弧；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。平分弦所对的劣弧。2 推论推论 2 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。圆的两条平行弦所夹的弧相等。5.5.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。弦心距相等。推论推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：推出另外三个：两个圆心角相等；两个圆心角相等；两个圆心角所对的弧相等；两个圆心角所对的弧相等；两个圆两个圆心角或两条弧所对的弦相等；心角或两条弧所对的弦相等；两条弦的弦心距相等。两条弦的弦心距相等。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。6.6.圆周角圆周角 定理定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论推论 1 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；相等；推论推论 2 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；9090的圆周角所对的弦是直径；的圆周角所对的弦是直径；推论推论 3 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。7.7.圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。8.8.轨迹轨迹 轨迹轨迹 符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。（1 1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；径的圆；（2 2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；（3 3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。例题分析例题分析 例例 1.1.已知：如图已知：如图 1 1，在，在O O 中，半径中，半径 OMOM弦弦 ABAB 于点于点 N N。图图 1 1 若若 ABAB，ONON1 1，求，求 MNMN 的长；的长；若半径若半径 OMOMR R，AOBAOB120120，求，求 MNMN 的长。的长。解解：ABAB，半径半径 OMABOMAB，ANANBNBN ONON1 1，由勾股定理得由勾股定理得 OAOA2 2 MNMNOMOMONONOAOAONON1 13 半径半径 OMABOMAB，且且AOBAOB120120 AOMAOM6060 ONONOAcosAONOAcosAONOMcos60OMcos60 说明说明：如图如图 1 1，一般地一般地，若若AOBAOB2n2n，OMABOMAB 于于 N N，AOAOR R，ONONh h，则则 ABAB2Rsin2Rsin nn2htan2htan nn 例例 2.2.已知：如图已知：如图 2 2，在，在ABCABC 中，中，ACBACB9090，B B2525，以点，以点 C C 为圆心、为圆心、ACAC 为半为半径作径作C C，交，交 ABAB 于点于点 D D，求，求的度数。的度数。图图 2 2分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。解法一：（用垂径定理求）如图解法一：（用垂径定理求）如图 2 21 1，过点，过点 C C 作作 CECEABAB 于点于点 E E，交，交于点于点 F F。图图 2 21 1 又又ACBACB9090，B B2525，FCAFCA2525 的度数为的度数为 2525，的度数为的度数为 5050。解法二：（用圆周角求）如图解法二：（用圆周角求）如图 2 22 2，延长，延长 ACAC 交交C C 于点于点 E E，连结，连结 EDED4图图 2 22 2 AEAE 是直径，是直径，ADEADE9090 ACBACB9090，BB2525，EEBB2525 的度数为的度数为 5050。解法三：（用圆心角求）如图解法三：（用圆心角求）如图 2 23 3，连结，连结 CDCD图图 2 23 3 ACBACB9090，B B2525，A A6565 CACACDCD，ADCADCAA6565 ACDACD5050，的度数为的度数为 5050。例例 3.3.已知：如图已知：如图 3 3，ABCABC 内接于内接于O O 且且 ABABACAC，O O 的半径等于的半径等于 6cm6cm，O O 点到点到 BCBC 的距的距离离 ODOD 等于等于 2cm2cm，求，求 ABAB 的长。的长。析：因为不知道析：因为不知道A A 是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。外部，所以需分两种情况进行讨论。略解：（略解：（1 1）假若）假若A A 是锐角，是锐角，ABCABC 是锐角三角形。如图是锐角三角形。如图 3 3，由，由 ABABACAC，可知点，可知点 A A 是优是优弧弧的中点，因为的中点，因为 ODODBCBC 且且 ABABACAC，根据垂径定理推论可知，根据垂径定理推论可知，DODO 的延长线必过点的延长线必过点 A A，连，连结结 BOBO BOBO6 6，ODOD2 2 在在 RtADBRtADB 中中，ADADDODOAOAO6 62 28 8 5 图图 3 3 图图 3 31 1（2 2）若）若A A 是钝角，则是钝角，则ABCABC 是钝角三角形，如图是钝角三角形，如图 3 31 1 添加辅助线及求出添加辅助线及求出，在在 RtRtADBADB 中，中，ADADAOAODODO6 62 24 4ABAB综上所述综上所述 ABAB小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。角形的位置关系，防止丢解或多解。例例 4.4.已知：如图已知：如图 4 4，ABAB 是是O O 的直径，弦的直径，弦 CDCDABAB，F F 是是 CDCD 延长线上一点，延长线上一点，AFAF 交交O O于于 E E。求证：。求证：AEAEEFEFECECEDED图图 4 4分析：求证的等积式分析：求证的等积式 AEAEEFEFECECEDED 中，有两条线段中，有两条线段 EFEF、EDED 在在EDFEDF 中，另两条线段中，另两条线段AEAE、ECEC 没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线 ACAC，设法证明，设法证明FEDFEDCEACEA 即可。即可。证明：连结证明：连结 ACAC 四边形四边形 DEACDEAC 内接于圆内接于圆 FDEFDECAECAE，FEDFEDDCADCA 直径直径 ABABCDCD，DCADCACEACEA，FEDFEDCEACEA FEDCEAFEDCEA ，AEEFAEEFECEDECED小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。例例 5.5.已知：如图已知：如图 5 5，AMAM 是是O O 的直径，过的直径，过O O 上一点上一点 B B 作作 BNBNAMAM，垂足为，垂足为 N N，其延长线，其延长线交交O O 于点于点 C C，弦，弦 CDCD 交交 AMAM 于点于点 E E。6图图 5 5（1 1）如果）如果 CDCDABAB，求证：，求证：ENENNMNM；（2 2）如果弦如果弦 CDCD 交交 ABAB 于点于点 F F，且且 CDCDABAB，求证求证 CECE2 2EFEDEFED；（3 3）如果弦）如果弦 CDCD 绕点绕点 C C 旋转，并且与旋转，并且与 ABAB 的延长线交于点的延长线交于点 F F，且，且 CDCDABAB，那么（，那么（2 2）的结）的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。证明：（证明：（1 1）连结）连结 BMBM（如图（如图 5 51 1）图图 5 51 1 AMAM 是直径，是直径，ABMABM9090 CDABCDAB，BMCDBMCD ECNECNMBNMBN，又又 AMBCAMBC，CNCNBNBN RtCENRtBMNRtCENRtBMN，ENENNMNM （2 2）连结）连结 BDBD，BEBE，ACAC（如图（如图 5 52 2）图图 5 52 2 点点 E E 是是 BCBC 垂直平分线垂直平分线 AMAM 上一点，上一点，BEBEECEC CDCDABAB，ACDACDBDCBDC，又又 ABABACAC，AEAEAEAE ABEACEABEACE，ABEABEACDACDBDCBDC BEDBED 是公共角是公共角，BEDFEBBEDFEB BEBE2 2EFEDEFED，CECE2 2EFEDEFED （3 3）结论成立。如图）结论成立。如图 5 53 37图图 5 53 3 证明：仿（证明：仿（2 2）可证）可证ABEABEACEACE BEBECECE，且且ABEABEACEACE 又又ABABCDCD，ACBACBDBCDBC，BDACBDAC BDEBDEACEACE180180 而而FBEFBEABEABE180180 BDEBDEFBEFBE，而而BEDBED 是公共角是公共角 BEDFEBBEDFEB BEBE2 2EFEDEFED，CECE2 2EFEDEFED（二）直线与圆的关系（二）直线与圆的关系 1.1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线和圆的位置直线和圆的位置相离相离相切相切相交相交公共点的个数公共点的个数0 01 12 2公共点名称公共点名称无无切点切点交点交点直线名称直线名称无无切线切线割线割线圆心到直线的圆心到直线的距离距离 d d 与半径与半径 r r 的的关系关系 2.2.切线的判定切线的判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。3.3.切线的性质切线的性质 （1 1）圆的切线垂直于经过切点的半径；）圆的切线垂直于经过切点的半径；（2 2）推论）推论 1 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（3 3）推论）推论 2 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：垂直于切线；垂直于切线；经过切点；经过切点；经过圆心。经过圆心。4.4.切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。夹角。5.5.弦切角定理弦切角定理（1 1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2 2）推论）推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3 3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。8 6.6.和圆有关的比例线段和圆有关的比例线段（1 1）相交弦定理）相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2 2）推论）推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；中项；（3 3）切割线定理）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；条线段长的比例中项；（4 4）推论）推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。的积相等。7.7.三角形的内切圆三角形的内切圆（1 1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；圆的外切多边形；（2 2）作图：作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。）作图：作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。例题分析例题分析 例例 6.6.已知：如图已知：如图 6 6，ABAB 是是O O 的直径，的直径，C C 是是 ABAB 延长线上一点，延长线上一点，CGCG 切切O O 于于 D D，DEDEABAB 于于 E E。图图 6 6 求证：求证：CDBCDBEDBEDB。分析：由分析：由 ABAB 是是O O 的直径，联想到直径的三个性质：的直径，联想到直径的三个性质：图图 6 61 1 图图 6 62 2 图图 6 63 3（1 1）直径上的圆周角是直角。若连结）直径上的圆周角是直角。若连结 ADAD，则得，则得 RtRtABDABD；（2 2）垂径定理。如图）垂径定理。如图 6 62 2，若延长，若延长 DEDE 交交O O 于于 F F，则可得，则可得 DEDEEFEF，；（3 3）过直径外端的切线与直径垂直。如图）过直径外端的切线与直径垂直。如图 6 63 3，若过，若过 B B 点作点作O O 的切线的切线 BMBM，则，则ABABBMBM。由由 CDCD 是是O O 的切线，联想到切线的三个性质：的切线，联想到切线的三个性质：（1 1）过切点的半径垂直于切线。如图）过切点的半径垂直于切线。如图 6 61 1，若连结，若连结 ODOD，则，则 ODODCDCD；（2 2）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。若连结）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。若连结 ADAD，则，则CDBCDBA A；（3 3）切割线定理。如图）切割线定理。如图 6 6，CDCD2 2CBCBCACA。由由 DEDEABAB 于于 E E，联想到以下一些性质：，联想到以下一些性质：（1 1）RtRtDEBDEB 中两锐角互余，即中两锐角互余，即EDBEDBEBDEBD9090；9（2 2）垂径定理。如图）垂径定理。如图 6 62 2，只要延长，只要延长 DEDE 交交O O 于于 F F，则可得到相等的线段，相等的弧；，则可得到相等的线段，相等的弧；（3 3）构造与射影定理相关的基本图形。即连结）构造与射影定理相关的基本图形。即连结 ADAD，则可得到，则可得到ADBADB 是直角三角形，是直角三角形，DEDE是斜边上的高，又可得到两对相等的锐角，三个相似的三角形，还可运用射影定理、勾股定是斜边上的高，又可得到两对相等的锐角，三个相似的三角形，还可运用射影定理、勾股定理、面积公式等。理、面积公式等。证明：连结证明：连结 ADAD，如图，如图 6 6，ABAB 是直径，是直径，ADBADB9090。DEABDEAB，EDBEDBAA CDCD 是是O O 的切线，的切线，CDBCDBA A，CDBCDBEDBEDB此例题还有许多证法，比如连结此例题还有许多证法，比如连结 ODOD，如图，如图 6 61 1，利用切线的定义；又比如延长，利用切线的定义；又比如延长 DEDE 交交O O 于于 F F，连结，连结 BFBF，如图，如图 6 62 2，利用垂径定理；还可以过点，利用垂径定理；还可以过点 B B 作作O O 的切线交的切线交 CDCD 于点于点 M M，如，如图图 6 63 3，利用切线长定理，等等，这诸多证法，读者不妨试证之。，利用切线长定理，等等，这诸多证法，读者不妨试证之。小结：此例题证明小结：此例题证明CDBCDBEDBEDB，即证明，即证明 BDBD 是是CDECDE 的平分线，由此证明可以联想到的平分线，由此证明可以联想到ADAD 也是也是GDEGDE 的平分线。的平分线。另外，通过对此例题的分析和证明可知，图另外，通过对此例题的分析和证明可知，图 6 64 4 中隐含着很多图形的性质，如相等的中隐含着很多图形的性质，如相等的锐角、相等的线段、相等的弧及相似三角形等等，为此可将图锐角、相等的线段、相等的弧及相似三角形等等，为此可将图 6 64 4 分解成三个基本图形。分解成三个基本图形。如图如图 6 65 5，以利于进一步理解线段之间的比例关系。，以利于进一步理解线段之间的比例关系。图图 6 64 4图图 6 65 5 例例 7.7.已知：如图已知：如图 7 7，点，点 P P 是半圆是半圆 O O 的直径的直径 BABA 延长线上的点，延长线上的点，PCPC 切半圆于切半圆于 C C 点，点，CDCDABAB于于 D D 点，若点，若 PAPA：PCPC1 1：2 2，DBDB4 4，求，求 tantanPCAPCA 及及 PCPC 的长。的长。10图图 7 7 证明：连结证明：连结 CBCB PCPC 切半圆切半圆 O O 于于 C C 点，点，PCAPCAB B PPPP，PACPCBPACPCB ACAC：BCBCPAPA：PCPC ABAB 是半圆是半圆 O O 的直径，的直径，ACBACB9090 又又CDABCDAB ABABADADDBDB5 5 例例 8.8.已知：如图已知：如图 8 8，在，在 RtRtABCABC 中，中，B B9090，A A 的平分线交的平分线交 BCBC 于点于点 D D，E E 为为 ABAB上的一点，上的一点，DEDEDCDC，以，以 D D 为圆心，为圆心，DBDB 长为半径作长为半径作D D。图图 8 8求证：（求证：（1 1）ACAC 是是D D 的切线；的切线；（2 2）ABABEBEBACAC分析：（分析：（1 1）欲证）欲证 ACAC 与与D D 相切，只要证圆心相切，只要证圆心 D D 到到 ACAC 的距离等于的距离等于D D 的半径的半径 BDBD。因此。因此要作要作 DFDFACAC 于于 F F（2 2）只要证）只要证 ACACAFAFFCFCABABEBEB，证明的关键是证，证明的关键是证 BEBEFCFC，这又转化为证，这又转化为证EBDEBDCFDCFD。证明：（证明：（1 1）如图）如图 8 8，过，过 D D 作作 DFDFACAC，F F 为垂足为垂足 ADAD 是是BACBAC 的平分线，的平分线，DBDBABAB，DBDBDFDF 点点 D D 到到 ACAC 的距离等于圆的距离等于圆 D D 的半径的半径 ACAC 是是D D 的切线的切线 （2 2）ABABBDBD，D D 的半径等于的半径等于 BDBD，ABAB 是是DD 的切线的切线，ABABAFAF 在在 RtBEDRtBED 和和 RtFCDRtFCD 中中，EDEDCDCD，BDBDFDFD11 BEDFCDBEDFCD，BEBEFCFC ABABBEBEAFAFFCFCACAC 小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作过圆心作垂线，证垂线段等于半径垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类的方法。此例题属于后一类 例例 9.9.已知：如图已知：如图 9 9，ABAB 为为O O 的弦，的弦，P P 为为 BABA 延长线上一点，延长线上一点，PEPE 与与O O 相切于点相切于点 E E，C C为为中点，连中点，连 CECE 交交 ABAB 于点于点 F F。图图 9 9 求证：求证：分析：由已知可得分析：由已知可得 PEPE2 2PAPAPBPB，因此要证，因此要证 PFPF2 2PAPAPBPB，只要证，只要证 PEPEPFPF。即证。即证PFEPFEPEFPEF。证明一：如图证明一：如图 9 9，作直径，作直径 CDCD，交，交 ABAB 于点于点 G G，连结，连结 EDED，CEDCED9090 点点 C C 为为的中点，的中点，CDCDABAB，CFGCFGD D PEPE 为为O O 切线，切线，E E 为切点为切点 PEFPEFDD，PEFPEFCFGCFG CFGCFGPFEPFE，PFEPFEPEFPEF，PEPEPFPF PEPE2 2PAPBPAPB，PFPF2 2PAPBPAPB 证明二：如图证明二：如图 9 91 1，连结，连结 ACAC、AEAE图图 9 91 1 点点 C C 是是的中点，的中点，CABCABAECAEC PEPE 切切OO 于点于点 E E，PEAPEACC PFEPFECABCABCC，PEFPEFPEAPEAAECAEC PFEPFEPEFPEF，PEPEPFPF PEPE2 2PAPBPAPB，PFPF2 2PAPBPAPB 例例 10.10.（1 1）如图）如图 1010，已知直线，已知直线 ABAB 过圆心过圆心 O O，交，交O O 于于 A A、B B，直线，直线 AFAF 交交O O 于于 F F（不（不12与与 B B 重合），直线重合），直线l l交交O O 于于 C C、D D，交，交 BABA 延长线于延长线于 E E，且与，且与 AFAF 垂直，垂足为垂直，垂足为 G G，连结，连结ACAC、ADAD 图图 1010 图图 10101 1 求证：求证：BADBADCAGCAG；ACADACADAEAFAEAF （2 2）在问题（）在问题（1 1）中，当直线）中，当直线l l向上平行移动，与向上平行移动，与O O 相切时，其它条件不变。相切时，其它条件不变。请你在图请你在图 10101 1 中画出变化后的图形，并对照图中画出变化后的图形，并对照图 1010 标记字母；标记字母；问题（问题（1 1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。说明理由。证明：（证明：（1 1）连结连结 BDBD ABAB 是是O O 的直径，的直径，ADBADB9090 AGCAGCADBADB9090 又又ACDBACDB 是是O O 内接四边形内接四边形 ACGACGBB，BADBADCAGCAG 连结连结 CFCF BADBADCAGCAG，EAGEAGFABFAB DAEDAEFACFAC 又又ADCADCFF，ADEAFCADEAFC ，ACADACADAEAFAEAF （2 2）见图见图 10101 1 两个结论都成立，证明如下：两个结论都成立，证明如下：连结连结 BCBC，ABAB 是直径，是直径，ACBACB9090 ACBACBAGCAGC9090 GCGC 切切OO 于于 C C，GCAGCAABCABC BACBACCAGCAG（即即BADBADCAGCAG）连结连结 CFCF CAGCAGBACBAC，GCFGCFGACGAC，GCFGCFCAECAE，ACFACFACGACGGFCGFC，EEACGACGCAECAE ACFACFEE，ACFAECACFAEC，ACAC2 2AEAFAEAF（即即 ACADACADAEAFAEAF）说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。13 例例 11.11.如图如图 1111，ABAB 是是O O 的直径，的直径，O O 过过 ACAC 的中点的中点 D D，DEDEBCBC，垂足为，垂足为 E E。图图 1111（1 1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求，不再标注其它字母，找结论的过）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求，不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出 4 4 个结论即可）。个结论即可）。（2 2）若）若ABCABC 为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。并画出图形。分析：（分析：（1 1）若连结）若连结 DODO，可证得，可证得 DEDE 是是O O 的切线。的切线。若连结若连结 DBDB，由直径，由直径 ABAB 和点和点 D D 是是 ACAC 的中点，可得的中点，可得 ABABBCBC，A AC C 等。而且等。而且 DEDEBCBC 于于点点 E E，又由双垂图形，可得，又由双垂图形，可得，等。等。（2 2）连结）连结 DODO、OBOB。方法同上。方法同上。答：下列结论可供选择，如图答：下列结论可供选择，如图 11111 1图图 11111 1 （1 1）DEDE 是是OO 的切线的切线 ABABBCBC AACC DEDE2 2BECEBECE CDCD2 2CECBCECB CCCDECDE9090 （2 2）CECEBEBE DEDEBEBE DEDECECE DEABDEAB CBCB 是是OO 的切线的切线 B B AACDECDE4545 CCCDECDE4545 CBCB2 2CDCACDCA (11)(11)(12)(12)说明：本题是结论开放的探索性问题，答案不唯一。寻找结论的关键是抓住命题的条件说明：本题是结论开放的探索性问题，答案不唯一。寻找结论的关键是抓住命题的条件及其特点（尤其是利用特殊几何图形的判定和性质），在几何中诸如：相等关系、特殊图形、及其特点（尤其是利用特殊几何图形的判定和性质），在几何中诸如：相等关系、特殊图形、两图形的关系等。两图形的关系等。（三）圆和圆的位置关系（三）圆和圆的位置关系知识归纳知识归纳 1.1.基本概念基本概念 （1 1）两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义。）两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义。（2 2）两圆的公切线、外公切线、内公切线、公切线长的定义。）两圆的公切线、外公切线、内公切线、公切线长的定义。（3 3）两圆的连心线、圆心距、公共弦。）两圆的连心线、圆心距、公共弦。14 2.2.圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系两圆的位置两圆的位置圆心距圆心距 d d 与两圆的与两圆的半径半径 R R、r r 的关系的关系外公切外公切线条数线条数内公内公切线切线条数条数公切线公切线条数条数外离外离2 22 24 4外切外切2 21 13 3相交相交2 20 02 2内切内切1 10 01 1内含内含0 00 00 0 3.3.相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 4.4.相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。例题分析例题分析例例 12.12.已知两圆外切时，圆心距为已知两圆外切时，圆心距为 10cm10cm，两圆内切时，圆心距为，两圆内切时，圆心距为 4cm4cm，求两圆半径的长。，求两圆半径的长。解：设两圆的半径分别为解：设两圆的半径分别为 RcmRcm 和和 r r cmcm。依题意，得。依题意，得 答：大圆的半径为答：大圆的半径为 7cm7cm，小圆的半径为，小圆的半径为 3cm3cm。例例 13.13.已知：如图已知：如图 1212，两圆相交于，两圆相交于 A A、B B，过点，过点 A A 的直线交两圆于的直线交两圆于 C C、D D，过点，过点 B B 的直线的直线交两圆于交两圆于 E E、F F。图图 1212 求证：求证：CECEFDFD。分析：要证分析：要证 CECEFDFD，可通过角的关系证平行，即只要证，可通过角的关系证平行，即只要证E EBFDBFD 或证或证ECDECDD D180180，若证，若证E EBFDBFD，只需将，只需将BFDBFD 转化成与转化成与O O1 1有关的圆周角，或圆内接有关的圆周角，或圆内接四边形的外角，只要连结四边形的外角，只要连结 ABAB 即可；若要证即可；若要证ECDECDD D180180，也需连结，也需连结 ABAB，得，得EBAEBAD D，EBAEBAECDECD180180，则也可得证。，则也可得证。证明一：（用同位角证）连结证明一：（用同位角证）连结 ABAB 四边形四边形 EBACEBAC 内接于内接于OO1 1，BADBADEE 又又BFDBFDBADBAD，BFDBFDEE CECEFDFD 证明二：（用同旁内角证）连结证明二：（用同旁内角证）连结 ABAB15 四边形四边形 EBACEBAC 内接于内接于O O1 1，CCBB180180，又又BBDD，CCDD180180，ECFDECFD 小结：两圆相交时，常添的辅助线是作两圆的公共弦。小结：两圆相交时，常添的辅助线是作两圆的公共弦。（四）正多边形和圆（四）正多边形和圆知识归纳知识归纳1.1.基本概念基本概念正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角以及平面镶嵌等。以及平面镶嵌等。2.2.正多边形的判定与性质正多边形的判定与性质（1 1）把圆分成）把圆分成等份：等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n n 边形；边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n n 边形。边形。（2 2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。3.3.正多边形的有关计算正多边形的有关计算 正正 n n 边形的半径和边心距把正边形的半径和边心距把正 n n 边形分成边形分成 2n2n 个全等的直角三角形。个全等的直角三角形。如图如图 1616 所示，设正所示，设正 n n 边形的中心角为边形的中心角为，半径为，半径为 R R，边长为，边长为，边心距为，边心距为 r rn n，周长为，周长为P Pn n，面积为，面积为 S Sn n，则由有关图形的性质可以推得：，则由有关图形的性质可以推得：图图 1616 （1 1）（2 2）；（3 3）；（4 4）；（5 5）；（6 6）；4.4.与圆有关的计算与圆有关的计算 （1 1）圆的周长）圆的周长；（2 2）弧长）弧长；（3 3）圆的面积）圆的面积；（4 4）扇形面积）扇形面积；（5 5）弓形面积）弓形面积（如图（如图 1616）5.5.与圆有关的作图与圆有关的作图（1 1）过不在同一条直线上的三点作圆；）过不在同一条直线上的三点作圆；16（2 2）作三角形的内切圆；）作三角形的内切圆；（3 3）等分圆周（三、六、十二、四、八、五等分），作正三角形、正四边形、正六边）等分圆周（三、六、十二、四、八、五等分），作正三角形、正四边形、正六边形。形。6.6.圆柱和圆锥的侧面展开图圆柱和圆锥的侧面展开图（1 1）圆柱的侧面积：）圆柱的侧面积：（r r：底面半径，：底面半径，h h：圆柱高）：圆柱高）（2 2）圆锥的侧面积：）圆锥的侧面积：（L L2R2R，R R 是圆锥母线长，是圆锥母线长，r r 是底面半径）。是底面半径）。（n n 为侧面展开图扇形的圆心角的度数，为侧面展开图扇形的圆心角的度数，R R 为母线长）。为母线长）。例题分析例题分析 例例 14.14.已知：如图已知：如图 1717，在两个同心圆中，大圆的弦，在两个同心圆中，大圆的弦 ABAB 与小圆相切于点与小圆相切于点 C C，ABAB 的长为的长为12cm12cm，求两个圆所围成的环形面积。，求两个圆所围成的环形面积。图图 1717 解：连结解：连结 OCOC、OBOB 设大圆半径设大圆半径 OBOBR R，小圆半径，小圆半径 O