圆的知识点(新颖).pdf

实用标准文档文案大全第三章第三章 圆圆一与一与圆相关的概念圆相关的概念1.1.圆：圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径.【圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，圆心和半径确定了，圆就确定了】2.2.圆圆弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，等于半圆的弧叫半圆.等等弧弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.等弧也可以通过它所对的圆心角、圆周角、弦来进行判断，具体地说：a.在同圆或等圆中，所对的圆心角相等的两段弧是等弧。b.在同圆或等圆中，所对的圆周角相等的两段弧是等弧。c.在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧。【温温馨馨提提示示：半圆是弧，半圆形不是弧；弧弧的的度度数数等等于于弧弧所所对对的的圆圆心心角角的的度度数数.】3.弦：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。圆中最长的弦是直径.【温温馨馨提提示示：一条弦对着两条弧，对着两个圆心角（选择题），一般让求“弦所对的圆心角的度数”，指的是“弦所对的小于 180的那个圆心角”（填空题）；一条弧对着一条弦，对着一个圆心角】4 4.圆圆心心角角：顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角.【圆心角AOB 的取值范围是 0AOB360】5 5.圆圆周周角角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.6 6.外外心心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做圆的内接三角形.三三角角形形外外接接圆圆的的圆圆心心（外外心心）到到三三角角形形三三个个顶顶点点的的距距离离相相等等.【温温馨馨提提示示：三角形三边垂直平分线的交点叫三角形外接圆的圆心;三角形有且只有一个外接圆，但圆有无数个内接三角形】以下图为例O为外接圆的圆心，即外心.温温馨馨提提示示：锐角三角形外接圆的圆心（外心）在它的内部；：锐角三角形外接圆的圆心（外心）在它的内部；直角三角形外接圆的圆心（外心）在它斜边的中点直角三角形外接圆的圆心（外心）在它斜边的中点上上(R=(R=)；钝角三角形外接圆的圆心（外心）在它的外部；钝角三角形外接圆的圆心（外心）在它的外部.2c7 7.内内心心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为三角形的内心；这个三角形叫做圆的外切三角形.三三角角形形内内切切圆圆的的圆圆心心（内内心心）到到三三角角形形三三边边的的距距离离相相等等.实用标准文档文案大全【温温馨馨提提示示：三角形三条角平分线的交点叫内切圆的圆心;三角形有且只有一个内切圆，但圆有无数个外切三角形】附附注注：等边三角形 的内切圆和外接圆设等边ABC 的边长为 a，内切圆的半径为 r，则有，外接圆半径 R=aa63r 33直角三角形内切圆设 RtABC 两直角边分别为 a、b，斜边为 c，内切圆半径为 r，则有或，其中)cba(21rcbaabr四四边边形形 I ID DC CB B 为为正正方方形形，边长 ID=r.三三角角形形的的外外接接圆圆和和内内切切圆圆比比较较名名称称确确定定方方法法图图形形性性质质外外心心：三三角角形形外外接接圆圆的的圆圆心心三角形三边中垂线的交点.1.OA=OB=OC(即圆心到三角形三个顶点的距离相等).2.外心不一定在三角形的内部.内内心心：三三角角形形内内切切圆圆的的圆圆心心三角形三条内角平分线的交点.1.圆心到三边的距离相等.2.OA、OB、OC 分别平分BAC、ABC、ACB.3.内心在三角形内部.实用标准文档文案大全等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为 2:12:1（如图 1）直角三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为直角三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为=（如图 2）2cba:2c)cba(:c等腰三角形的内心和外心虽然不同，但都在底边的垂直平分线上.三角形外接圆半径的求法三角形外接圆半径的求法【即三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商】h2abR三角形内切圆半径三角形内切圆半径 r r 的求法的求法r)cba(21ABCScba2rABCS二圆的确定：二圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。过不在同一条直线上的三点作圆的做法：三与圆相关的位置关系三与圆相关的位置关系实用标准文档文案大全1.1.点与圆的位置关系点与圆的位置关系（1）点在圆内 点在圆内；drC（2）点在圆上 点在圆上；drB（3）点在圆外 点在圆外；drA2.2.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系（1）直线与圆相离 无交点；dr（2）直线与圆相切 有一个交点；dr（3）直线与圆相交 有两个交点；drdrd=rrd3 3与圆相关的性质和定理与圆相关的性质和定理1.1.圆的对称性：圆的对称性：圆是轴对称图形,对称轴是任意一条经过圆心的直线（或直径所在的直线）,它有无数条对称轴.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.圆的旋转不变性：圆的旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.2.2.垂径定理垂径定理垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论：推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。3.3.圆心角定理圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。4.4.圆周角定理圆周角定理（1）圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。FEDCBAODCBAO实用标准文档文案大全（2）圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径.推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（3）圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆心角、弧、弦、弦心距关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等（补充）（补充）平行弦定理：平行弦定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.5.5.圆内接四边形圆内接四边形（1 1）性质定理：）性质定理：性质定理 1：圆内接四边形的对角互补即：在中，O 四边形是内接四边形ABCD 180CBAD180BD DAEC 性质定理 2：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角（2 2）判定定理：（很重要）判定定理：（很重要）如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.附注：附注：圆的内接平行四边形是矩形；圆的外切平行四边形是菱形.6.6.切线的判定定理与性质切线的判定定理与性质（1）切线的判定定理切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；EDCBANMAO实用标准文档文案大全 两个条件两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端MNOAMNOA 是的切线MNO（2）性质定理：性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论推论 1 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论推论 2 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。7.7.切线长及切线长定理切线长及切线长定理（1）切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分PAPBPAPBPOBPA（3）圆外切四边形两组对边的和相等.10.10.圆的内正多边形圆的内正多边形（1）正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.（2）正多边形与圆的有关定理正多边形与圆的有关定理把圆分成 n(n3)等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形；任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆.注意：注意：依据正多边形与圆的有关定理、，只要能将一个圆分成 n(n3)等份，就可以得到这个圆的内接正 n实用标准文档文案大全边形及外切正 n 边形.(3)正多边形的其它性质正多边形的其它性质正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.边数相同的正多边形相似，正多边形的内切圆和外接圆是同心圆.(4)正多边形的有关计算 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.正正 n n 边形的有关计算公式边形的有关计算公式每个内角；每个外角nnn360-1802180）（n360正 n 边形边长，内切圆半径，正 n 边形周长nRa180sin.2nRr180cos.a.nP正 n 边形面积n180cos.n180sin.nPr21a.r21.n2RS注意：注意：同一个圆的内接正 n 边形和外切正 n 边形是相似形，相似比是圆的内接正 n 边形边心距与它的半径之比.这样，同一个正 n 边形的内切圆和外接圆的相似比n180cosn180cos常用辅助线：连半径，作边心距，由正多边形的半径、边心距和边长构成的直角三角形集中反映了正多边形21各元素间的关系，是解计算问题的基本图形，并且正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形.附注：附注：（1）正三角形 在中是正三角形（如图 1），有关计算在中进行：OABCRt BOD:1:3:2OD BD OB（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行（如图 2），Rt OAE:1:1:2OE AE OA（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行（如图 3），Rt OAB:1:3:2AB OB OA 11.11.扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式实用标准文档文案大全（1 1）扇形：）扇形：弧长公式：；扇形面积公式：180n Rl213602n RSlR：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长：扇形面积nRlS（2 2）圆柱：）圆柱：圆柱侧面展开图：=2SSS侧表底222rhr圆柱的体积：2Vr h（2）圆锥侧面展开图圆锥侧面展开图:=圆锥的体积：SSS侧表底2Rrr213Vr h实用标准文档文案大全一选择题一选择题1.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是()A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界)2.已知O 的半径为 6cm,P 为线段 OA 的中点,若点 P 在O 上,则 OA 的长()A.等于6cm B.等于 12cm；C.小于 6cm D.大于 12cm3.O 的半径为 5,圆心 O 的坐标为(0,0),点 P 的坐标为(4,2),则点 P 与O 的位置关系是()A.点 P 在O 内；B.点 P 的O 上；C.点 P 在O 外；D.点 P 在O 上或O 外4.下列命题：直径所对的角是 900 ；直角所对的弦是直径；相等的圆周角所对的弧相等；对同一弦的两个圆周角相等.正确的有（）A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个5.下列语句中，正确的是（）直径是弦；弧是半圆；长度相等的弧是等弧；经过圆内任一定点可以作无数条直径；两个半圆是等弧；优弧比劣弧长；面积相等的圆是等圆；菱形的四个顶点在同一个圆上；能够互相重合的弧是等弧；直径是圆中最大的弦，也就是过圆心的直线，其中正确的是（）A.B.C.D.6.下列语句中，不正确的是（）A圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形 B圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C当圆绕它的圆心旋转 8957时，不会与原来的圆重合D圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个7.如果两条弦相等，那么（）A这两条弦所对的弧相等 B这两条弦所对的圆心角相等C这两条弦的弦心距相等 D以上答案都不对8.下列语句中，正确的是（）A.如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等 B.如果两条弦相等，那么它们所对的弧相等C.如果两条弧相等，那么它们所对的圆周角相等D.如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等9.下列命题中错误的命题有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）垂直于弦的直径平分弦；（4）圆的对称轴是直径 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个10.下列说法正确的是（）A顶点在圆上的角是圆周角 B两边都和圆相交的角是圆周角C圆心角是圆周角的 2 倍 D圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半11下列说法错误的是（）A等弧所对圆周角相等 B同弧所对圆周角相等C同圆中，相等的圆周角所对弧也相等 D同圆中，等弦所对的圆周角相等12.下列命题不正确的是()A.三点确定一个圆 B.三角形的外接圆有且只有一个C.经过一点有无数个圆 D.经过两点有无数个圆13.三角形的外心是()A.三条中线的交点 B.三条边的中垂线的交点 C.三条高的交点 D.三条角平分线的交点实用标准文档文案大全14.若ABC 的外接圆的圆心在ABC 的外部，则ABC 是（）A.锐角三角形 B.直角角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形15.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是()A.等腰三角形 B.直角三角形;C.锐角三角形 D.等边三角形16.一个三角形的外心在它一边的中点上,则这个三角形一定是()A.锐角三角形 B.直角角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形17.在三角形内部，有一点 P 到三角形三个顶点的距离相等，则点 P 一定是（）A.三角形三条角平分线的交点 B.三角形三边垂直平分线的交点C.三角形中位线与高线的交点 D.三角形中位线与中线的交点18.如图 1，在半径为 2cm 的圆 O 内有长为 23cm 的弦 AB，则此弦所对的圆心角AOB 为（）A60 B90 C120 D15019.如图 2,A 是半径为 5 的O 内一点,且 OA=3,过点 A 且长小于 8 的弦有()A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.4 条20.如图 3,D 是弧 AC 的中点,则图中与ABD 相等的角的个数是()A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个21.如图 4，AOB=100,则A+B 等于()A.100 B.80 C.50 D.4022.如图 5,A、B、C 三点都在O 上,点 D 是 AB 延长线上一点,AOC=140,CBD 的度数是()A.40 B.50 C.70 D.11023.如图 6,MN 所在的直线垂直平分线段 AB,利用这样的工具,最少使用（）次就可以找到圆形工件的圆心.A.1 B.2 C.3 D.424.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为()A.1 个或 3 个 B.3 个或 4 个 C.1 个或 3 个或 4 个 D.1 个或 2 个或3 个或 4个25.给出下列命题:任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆;任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形,其中真命题共有()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个26.设O 的直径为 m,直线 L 与O 相离,点 O 到直线 L 的距离为 d,则 d 与 m 的关系是()A.d=m B.dm C.d D.d2m2m27.在平面直角坐标系中,以点(-1,2)为圆心,1 为半径的圆必与()A.x 轴相交 B.y 轴相交 C.x 轴相切 D.y 轴相切28.如图 7,AB、AC 为O 的切线,B、C 是切点,延长 OB 到 D,使 BD=OB,连接 AD,如果DAC=78,那么ADO 等于()A.70 B.64 C.62 D.5129.边长分别为 3、4、5 的三角形的内切圆与外接圆半径之比为（）A.1:5 B.2:5 C.3:5 D.4:530.如图 8，O 内切于ABC，切点为 D、E、F，若B500，C600，连结 OE、OF、DE、DF，则EDF 等于（）A.450 B.550 C.650 D.700实用标准文档文案大全31.如图 9，已知O 过边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A、B，且与 CD 边相切，则圆的半径()A34 B45 C25 D132.一个扇形的弧长是 20cm,面积是 240cm2,那么扇形的圆心角是()A.120 B.150 C.210 D.24033.如图 10,在平面直角坐标系中,已知D 经过原点 O,与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,B 点坐标为(0,2),OC3与D 相交于点 C,OCA=30,则图中阴影部分的面积为()A.B.C.;D.22 34342 32334.如图 11,RtABC 中,ABC=90,AB=BC=2,以 BC 为直径的圆交 AC 于点 D,则图中阴影部分的面积为()A.2 B.C.1 D.1224二填空题二填空题 35.已知O 的周长为 8cm,若 PO=2cm,则点 P 在_;若 PO=4cm,则点 P 在_;若 PO=6cm,则点 P 在_.36.平面上有两点 A、B,若线段 AB 的长为 3cm,则以 A 为圆心,经过点 B 的圆的面积为_.37.点 A 的坐标为(3,0),点 B 的坐标为(0,4),则点 B 在以 A 为圆心,6 为半径的圆的_.38.在半径为 5cm 的O 上有一点 P,则 OP 的长为_.39.圆的一条弦把圆分为 5:1 两部分,如果圆的半径是 2cm,则这条弦的长 是_cm.40.如图 12,O 的直径为 10,弦 AB=8,P 是弦 AB 上的一个动点,那么 OP 长的取值范围是_.41.如图 13,D、E 分别是O 的半径 OA、OB 上的点,CDOA,CEOB,CD=CE,则弧 AC 与弧 CB 弧长的大小关系是_.42.如图 14,在O 中,AB、AC 是互相垂直且相等的两条弦,ODAB,OEAC,垂足分别为 D、E,若 AC=2cm,则O 的半径为_cm.43.如图 15，点 A、B、C、D 在O 上，点 O 在D 的内部，四边形 OABC 为平行四边形，则OADOCD=_实用标准文档文案大全44.如图 16,四边形 ABCD 的四个顶点都在O 上,且 ADBC,对角线 AC 与 BC 相交于点 E,那么图中有_对全等三角形;_对相似比不等于 1 的相似三角形.45.如图 17，A、B、C 为O 上三点，若OAB=46,则ACB=_度.46.如图 18,AB 是O 的直径,弧 BC=弧 BD,A=25,则BOD 的度数为_.47.如图 19,AB 是半圆 O 的直径,AC=AD,OC=2,CAB=30,则点 O 到 CD 的距离 OE=_.48.如图 20，PA、PB 是O 的切线，点 A、B 为切点，AC 是O 的直径，BAC200，则P 的大小是_度.49.已知O 的直径为 2,则O 的内接正三角形的边长为_.50.边长为 6cm 的等边三角形的外接圆半径是_.51.等边三角形 ABC 的内切圆面积为 9，则ABC 的周长为_.52.正三角形的内切圆半径等于外接圆半径的_.53.在 RtABC 中,C=90,AC=12cm,BC=5cm,以点 C 为圆心,6cm 的长为半径的圆与直线 AB 的位置关系是_.54.如图 21,在ABC 中,AB=AC,BAC=120,A 与 BC 相切于点 D,与 AB 相交于点 E,则ADE 等于_度.55.已知O 的半径为 4cm,直线 L 与O 相交,则圆心O 到直线 L 的距离 d 的取值范围是_.如图 22,PA、PB 是O 的切线,切点分别为 A、B,且APB=50,点 C 是优弧 AB 上的一点,则ACB 的度数为_.56.如图 23,O 为ABC 的内切圆,D、E、F 为切点,DOB=73,DOE=120,则DOF=_度,C=_度,A=_度.57.正方形 ABCD 的外接圆圆心 O 叫做正方形 ABCD 的_58.正方形 ABCD 的内切圆O 的半径 OE 叫做正方形 ABCD 的_实用标准文档文案大全59.若正六边形的边长为 1，那么正六边形的中心角是_度，半径是_，边心距是_，它的每一个内角是_60.正 n 边形的一个外角度数与它的_角的度数相等61.半径为 9cm 的圆中,长为 12cm 的一条弧所对的圆心角的度数为_;60的圆心角所对的弦的长为_.62.设计一个商标图形(如图 24 所示),在ABC 中,AB=AC=2cm,B=30,以 A 为圆心,AB 为半径作弧 BEC,以 BC 为直径作半圆弧 BFC,则商标图案面积等于_cm2.63.扇形的弧长为 20cm,半径为 5cm,则其面积为_.64.如图 25,在 RtABC 中,C=90,A=60,AC=,将ABC 绕点 B 旋转至A BC的位置,且使点 A,B,C3三点在同一直线上,则点 A 经过的最短路线长是_cm.65.如图 26 是小明制作的一个圆锥形纸帽的示意图，围成这个纸帽的纸（圆锥的侧面）的面积为_cm若从纸帽的底面圆周上点 A 处用一条红线绕纸帽的侧面一圈，那么这样的红线至少要_cm（红线的接头长度忽略不计）66.如图 27 所示，草地上一根长 5 米的绳子，一端拴在墙角的木桩上，另一端拴着一只小羊 R那么，小羊在草地上的最大活动区域的面积是_3 3计算题计算题67.如图 28 所示，CE 是O 的直径，弦 ABCE 于 D，若 CD=2，AB=6，求O 半径的长68.如图 29，AB 是O 的直径，BC 切O 于 B，AC 交O 于 P，E 是 BC 边上的中点，连接 PE，PE 与O 相切吗？若相切，请加以证明；若不相切，请说明理由69.已知：如图 30，直线 PA 交O 于 A、E 两点，PA 的垂线 DC 切O 于点 C，过 A 点作O 的直径 AB（1）求证：AC 平分DAB；（2）若 DC=4，DA=2，求O 的直径70.“五一”节，小雯和同学一起到游乐场玩大型摩天轮，摩天轮的半径为 20m，匀速转动一周需要 12min，小雯所坐最底部的车厢（离地面 0.5m）（1）经过 2min 后小雯到达点 Q，如图 31 所示，此时他离地面的高度是多少？（2）在摩天轮滚动过程中，小雯将有多长时间连续保持在离地面不低于 30.5m 的空中？实用标准文档文案大全71.如图 32 所示，O 半径为 2，弦 BD=2，A 为弧 BD 的中点，E 为弦 AC 的中点，且在 BD 上，求四边形 ABCD3的面积