五四版---圆的知识点.pdf

1第第 5 5 章章 圆圆第一节第一节 圆圆1.1.圆的概念圆的概念（1）集合形式的概念：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；（2）轨迹形式的概念：当一条线段 OA 绕着它的一个端点 O 在平面内旋转一周时，它的另一个端点 A 的轨迹叫做圆。这个以点 O 为圆心的圆叫作“圆 O”，记为“O”。补充：1、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；2、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；3、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；4、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。2.2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；drCrddCBAO22、点在圆上 点在圆上；drB3、点在圆外 点在圆外；drA第二节第二节 圆的对称性圆的对称性1 1圆的对称性圆的对称性（1）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。（2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心。2 2圆的认识圆的认识（1）弦弦：连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段 AB、BC、AC 都是圆 O 中的弦弦。经过圆心的弦 AC 为直径，直径是最长的弦。（2）弧弧：圆上任意两点间的部分叫做弧弧。如曲线 BC、BAC 都是圆中的弧，分别记作、。BCBAC像弧这样小于半圆周的圆叫做劣弧劣弧。BC像弧，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧优弧。BAC3（3）圆心角圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如AOB、AOC、BOC 就是圆心角。3 3圆心角定理圆心角定理（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。即：；AOBDOE ABDE；弧弧OCOFBABD4.4.弧的度数弧的度数（1）把整个圆等分成 360 份，每一份这样的弧叫做 1的弧。（2）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。第第 3 3 节节 垂径定理垂径定理垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧FEDCBAO4 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：是直径 弧弧 弧弧ABABCDCEDEBCBDACAD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在中，OABCD 弧弧ACBDOEDCBAOCDAB5第四节第四节 圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系1.1.圆周角圆周角顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。2.2.圆周角定理圆周角定理圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角AOBACBAB2AOBACB 3.3.圆周角定理的推论：圆周角定理的推论：推论 1 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。推论 2 同弧或等弧所对的圆周角相等。即：在中，、都是弧 AB 所对的圆周角OCD CD 推论 3 半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 OAB90C 或 是直径90CABDCBAOCBAOCBAO6推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中，ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。第五节第五节 确定圆的条件确定圆的条件1.1.确定圆的条件确定圆的条件（1）过一点可以画无数个圆；（2）过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；（3）过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆。过在同一直线上的三个点不能作圆。2.2.三角形的外接圆三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形外接圆三角形内切圆CBAO7定义经过三角形三个顶点的圆与三角形三边都相切的圆圆心三条边垂直平分线的交点三个角角平分线的交点圆心名称三角形的外心三角形的内心圆心位置锐角三角形 内部直角三角形 斜边中点上钝角三角形 外部三角形内部半径圆心到顶点的距离圆心到边的距离个数唯一唯一尺规作图3.3.圆内接四边形圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在中，O 四边形是内接四边形ABCDEDCBA8 180CBAD180BD DAEC 9第六节第六节 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系1 1、直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系 直线与圆相离 无交点；dr 直线与圆相切 有一个交点 切点 切线dr 直线与圆相交 有两个交点；drdrd=rrd2 2、切线的性质与判定定理、切线的性质与判定定理（1）性质定理：切线垂直于过切点的半径 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。NMAO10（2）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端MNOAMNOA 是的切线MNO 判定切线时，与圆有交点，则连半径，证垂直 不确定交点，则做垂直，证等于半径3 3、内切圆内切圆三角形外接圆三角形内切圆定义经过三角形三个顶点的圆与三角形三边都相切的圆圆心三条边垂直平分线的交点三个角角平分线的交点圆心名称三角形的外心三角形的内心圆心位置锐角三角形 内部直角三角形 斜边中点上钝角三角形 外部三角形内部半径圆心到顶点的距离圆心到边的距离11个数唯一唯一4 4、圆与圆的位置关系、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点 ；dRr外切（图 2）有一个交点 ；dRr相交（图 3）有两个交点 ；RrdRr内切（图 4）有一个交点 ；dRr内含（图 5）无交点 ；dRr周 1rRd 周 3rRd 第七节第七节 切线长定理切线长定理切线长定理：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。周 2rRd周 4rRd周 5rRdPBAO12即：、是的两条切线PAPB PAPB 平分POBPA补充定理1 1、圆幂定理、圆幂定理（1）相交弦定理相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点，OABCDP PA PBPC PD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径，OABCD 2CEAE BE（3）切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线OPAPBPODCBAOEDCBADECBPAO13 2PAPC PB（4）割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线OPBPE PC PBPD PE2、两圆公共弦定理两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。12OOAB即：、相交于、两点1O2OAB 垂直平分12OOAB3 3、圆的公切线、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；12Rt OO C22221122ABCOOOCOBAO1O2CO2O1BA14（2）外公切线长：是半径之差；内公切线长：是半径之和。2CO2CO4 4、弦切角定理、弦切角定理顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角弦切角。弦切角等于它所夹的弧所对的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角圆周角。第八节第八节 正多边形和圆正多边形和圆1 1、圆的内接正、圆的内接正 n n 边形边形圆内正多边形的计算圆内正多边形的计算15（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：OABCRt BOD；:1:3:2OD BD OB（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，Rt OAE:1:1:2OE AE OA：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.Rt OAB:1:3:2AB OB OA DCBAOECBADOBAO16第第 9 9 节节 弧长及扇形的面积弧长及扇形的面积1、扇形：（1）弧长公式：；180n Rl（2）扇形面积公式：213602n RSlR：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长：扇形面积nRlS2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图 =2SSS侧表底222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h第十节第十节 圆锥的侧面积圆锥的侧面积侧面展开图周 周 周周 周 周 周 周C1D1DCBAB1RrCBAO17（1）=SSS侧表底2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr h圆的记忆口诀：圆的记忆口诀：常把半径直径连，有弦可做弦心距，它定垂直平分弦，直圆周角立上边。常把半径直径连，有弦可做弦心距，它定垂直平分弦，直圆周角立上边。圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆，圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆，直角相对成共弦，试试加一个辅助圆，若是证题打转轴，四点共圆可解难，直角相对成共弦，试试加一个辅助圆，若是证题打转轴，四点共圆可解难，要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连直线与圆未给点，需证半径作垂线，四边形有内切圆，对边和等是条件，直线与圆未给点，需证半径作垂线，四边形有内切圆，对边和等是条件，18如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，圆相切做公切，两圆相交连共弦。如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，圆相切做公切，两圆相交连共弦。