初中数学函数知识点归纳.pdf

初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就读于中考中数学成功了一大半，数学成绩自然上高峰，同时函数的思想是学好其他理科类学科的基础。初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。一、一次函数一、一次函数 1.定义：在定义中应注意的问题 ykxb 中，k、b 为常数，且 k0，x 的指数一定为 1。2.图象及其性质 （1）形状、直线 （）时，随 的增大而增大，直线一定过一、三象限时，随 的增大而减小，直线一定过二、四象限200kyxkyx （）若直线：3111222lyk xblyk xb 当时，；当时，与 交于，点。kkllbbbllb121212120/()（4）当 b0 时直线与 y 轴交于原点上方；当 b0，则 x=0 时，y最小=0 若 a0，则 x0 时，y随 x 增大而增大 若 a0 时，y随 x 增大而减小(2)y=ax2+c(0，0)直线 x=0(y 轴)若 a0，则 x=0 时，y最小=0 若 a0，则x0 时，y随 x 的增大而增大 若 a0 时，y随 x 的增大而减小(3)y=a(xh)2(h，0)直线 x=h 若 a0，则 x=h 时，y最小=0 若 a0，则xh 时，y随 x 的增大而增大 若 ah 时，y随 x 的增大而减小 表达式 顶点坐标 对称轴 最大（小）值 y 随 x 的变化情况(4)y=a(xh)2+k(h，k)直线 x=h 若 a0，则 x=h 时，y最小=k 若 a0，则xh 时，y随 x 的增大而增大 若 ah 时，y随 x 的增大而减小(5)y=ax2+bx+c(ba2，442acba)直线 x=ba2 若 a0，则 x=ba2时，y最小=442acba 若 a0，则 xba2时，y 随 x 的增大而增大 若 aba2时，y 随 x 的增大而减小 4.应用：（1）最大面积；（2）最大利润；（3）其它 平面直角坐标系、函数及其图像平面直角坐标系、函数及其图像【知识梳理】一、平面直角坐标系1.坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；2.各象限点的坐标的符号；3.坐标轴上的点的坐标特征 4.点 P（a，b）关于 对称点的坐标原点轴轴yx),(),(),(bababa二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.2.自变量的取值范围：（1）使解析式有意义 （2）实际问题具有实际意义3.函数的表示方法；（1）解析法 （2）列表法（3）图象法【思想方法】数形结合 一次函数图象和性质一次函数图象和性质【知识梳理】1正比例函数的一般形式是 y=kx(k0)，一次函数的一般形式是 y=kx+b(k0).2.一次函数的图象是经过（，0）和（0，b）两点的一条直线.ykxbkb3.一次函数的图象与性质ykxb【思想方法】数形结合 反比例函数图象和性质反比例函数图象和性质【知识梳理】1反比例函数：一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y 或 （k为常数，k0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数2.反比例函数的图象和性质3的几何含义：反比例函数 y(k0)中比例系数 k 的几何意义，即过双曲线 y(k0)kkxkx上任意一点 P 作 x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为 A、B，则所得矩形 OAPB 的面积为 .【思想方法】数形结合 二次函数图象和性质二次函数图象和性质k、b 的符号k0，b0k0，b0k0，b0k0，b0图像的大致位置 经过象限第 象限第 象限第 象限第 象限性质y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而而 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 k 的符号k0k0图像的大致位置经过象限第 象限第 象限性质在每一象限内,y 随 x 的增大而 在每一象限内,y 随 x 的增大而 oyxyxoyxO【知识梳理】1.二次函数的图像和性质2()ya xhk0a0a图 象开 口对 称 轴顶点坐标最 值当 x 时，y 有最 值当 x 时，y 有最 值在对称轴左侧y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 增减性在对称轴右侧y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 锐角三角函数锐角三角函数【思想方法】1.常用解题方法设 k 法2.常用基本图形双直角【例题精讲】例题 1.在ABC 中，C=90（1）若 cosA=，则 tanB=_;（2）若 cosA=，则 tanB=_1245例题 2.（1）已知：cos=，则锐角 的取值范围是（）23 A030 B4560 C3045 D6090 （2）当 45cossin Bsincostan Ctansincos Dsintan cos一次函数一次函数考点回顾考点回顾:1、形如 ykxb（k，b 为常数，且 k0）的函数叫一次函数正比例函数也是一次函数2、一次函数的图象是一条过，（0，b）的直线3、一次函数的性质：当 k0时，y 随 x 的增大而增大；当 k0时，y 随 x 的增大而减小4、会用待定系数法求一次函数的解析式考点精讲精练：考点精讲精练：1、一次函数的图象如图所示，求其解析式 变式练习变式练习1、若直线 ykxb 与直线 y3x 平行，且过点（1，1），求 k，b 的值2、若一次函数 y（12k）xk 的函数值 y 随 x 的增大而增大，且此函数图象过一、三、四象限，则 k 的取值范围是（）AB CD变式练习变式练习2、下列图象中，不可能是关于 x 的一次函数 ymx（m3）的图象的是（）3、如图，设函数 yx4的图象与 y 轴交于点 A，函数 y3x6的图象与 y 轴交于点 B，两个函数的图象交于点 C，求通过线段 AB 的中点 D 及点 C 的一次函数的解析式 变式练习变式练习3、若直线 ykxb 与直线 y3x 平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的解析式4、一个装有进水管与出水管的容器，从某时刻起只打开进水管进水，经过一段时间后，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量 y（升）与时间 x（分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过几分钟，容器中的水恰好放完？5、甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍一副定价为60元，乒乓球每盒定价为10元世乒锦标赛期间，两家商店都进行促销活动：甲商店规定每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球；乙商店规定所有商品9折优惠某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）设该校要买乒乓球 x 盒，所需商品在甲商店购买需用 y1元，在乙商店购买需用 y2元（1）请分别写出 y1，y2与 x 之间的函数关系式（不必注明 x 的取值范围）；（2）试说明在哪一家商店购买所需商品较便宜？反比例函数反比例函数考点回顾：考点回顾：1、一般地，形如 y(k 是常数,k0)的函数叫做反比例函数反比例函数解析式有三种常见的表达形式：（A）y（k0），（B）xy k（k 0），（C）ykx1（k0）.2、反比例函数的图象和性质：（1）反比例函数的图象是双曲线当 k0时，双曲线分别位于第一、三象限；当 k0时，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k0)与反比例函数的图象相交于 A、C 两点，过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于 B，连接 BC，求ABC 的面积 4、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p（kPa）是气体体积 V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应（）变式练习变式练习4某空调厂的装配车间计划组装9000台空调：（1）从组装空调开始，每天组装的台数 m（单位：台/天）与生产的时间 t（单位：天）之间有怎样的函数关系？（2）原计划用2个月时间（每月以30天计算）完成，由于气温提前升高，厂家决定这批空调至少提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？5、如图，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数的图象相交于 A、B 两点.（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.变式练习变式练习5如图，一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，与反比例函数的图象交于 C、D 两点，如果 A 点坐标为（2，0），点 C、D 分别在第一、三象限，且 OAOB，点 C 的横坐标为4.求：（1）一次函数的关系式；（2）点 C 的坐标；（3）反比例函数的关系式；（4）点 D 的坐标；（5）请观察图象回答：当 x 取何值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.二次函数（一）二次函数（一）考点回顾：1、二次函数的概念 一般地，形如 yax2bxc（a，b，c 是常数，a0）的函数叫做二次函数 2、二次函数的图像与性质（1）二次函数 yax2bxc（a0）的图像是一条抛物线，当 a0时，抛物线开口向上；当 a0时，抛物线开口向下；（2）抛物线的顶点坐标为；（3）抛物线的对称轴为；（4）当时，二次函数有最小值；当时，二次函数有最大值；3、二次函数一般有三种形式：（1）一般式：；（2）顶点式：ya(xh)2k，顶点坐标为（h，k）；（3）交点式：，x1、x2为抛物线与 x 轴交点的横坐标解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式4、了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系考点精讲精练：考点精讲精练：1、二次函数 y4x22x的对称轴是直线_变式练习变式练习11、抛物线 y(x2)23的对称轴是（）A直线 x3B直线 x3 C直线 x2D直线 x22、二次函数的顶点坐标是（）A.(2，11)B.（2，7）C.（2，11）D.（2，3）2、将 y3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_变式练习变式练习21、把抛物线 y3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（）Ay3(x3)22 By3(x3)22 Cy3(x3)22Dy3(x3)222、二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则 b _，c_3、已知二次函数的图象如图所示，则点在第_象限变式练习变式练习3在同一坐标系中，一次函数 yaxb 和二次函数 yax2bx 的图象可能为（）4、已知一抛物线与 x 轴的交点是 A（2，0）、B（1，0），且经过点 C（2，8）（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标变式练习变式练习4在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A（1，4），且过点 B（3，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标5、函数 yax2bxc 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 ax2bxc30的根的情况是（）二次函数（二）二次函数（二）考点回顾：考点回顾：二次函数的应用一般可分为：（1）在代数中的应用；（2）在几何中的应用；（3）在实际问题中的应用考点精讲精练：考点精讲精练：1、某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA，O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA的任一平面上，抛物线的形状如图（1）和（2）所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系式是，请回答下列问题（1）柱子 OA 的高度为多少米？（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少？（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外 变式练习变式练习1某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式（0t2），其中重力加速度 g 以10米/秒2计算这种爆竹点燃后以 v020米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 S（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 S 与 t 之间的关系）根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 S（万元）与时间 t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？变式练习变式练习2红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月销售量为45吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元设每吨材料售价为 x（元），该经销店的月利润为 y（元）（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）；（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由