初中数学函数知识点归纳新.doc

初中函数知识 函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 第二象限：（-，+） 第三象限：（-，-） 第四象限：（+，-） 3、坐标轴上点的坐标特征： x轴上的点，y为零；y轴上的点，x为零；原点的坐标为（0 , 0）。4、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。7、点P（x,y）的几何意义：点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。点P（x,y）到坐标原点的距离为8、两点之间的距离：X轴上两点为A、B |AB|Y轴上两点为C、D |CD|已知A、B AB|=9、中点坐标公式：已知A、B M为AB的中点,则：M=( , )10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（ x-a，y）；将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，yb）；将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，yb）。函数的基本知识：基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应3、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。4、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象5.函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。6、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。7、函数的表示方法:列表法、解析式法、图象法一次函数图象和性质【知识梳理】一、一次函数的基础知识1、定义：一般地，形如y=kxb(k,b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数当b=0时，y=kxb即y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的一般形式： y=kx+b (k0) 说明： k不为零 x指数为1 b取任意实数2、解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)3、图像：一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b, 4、增减性（单调性）： k0，y随x的增大而增大（单调增）；k0，y随x的增大而增大；k0时直线与y轴交于原点上方（即y轴的正半轴）；当b0b0经过：第一、二、三象限不经过：第四象限经过：第一、三、四象限不经过：第二象限经过：第一、三象限不经过：第二、四象限增减性（单调性）：图象从左到右上升，y随x的增大而增大，单调增k0，y随x的增大而减小（单调减）；k0，y随x增大而增大（单调增）4、反比例函数的图象：双曲线（1）图像的画法：描点法 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）（3）反比例函数（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。（4）比例系数的几何含义（右图）：反比例函数y (k0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y (k0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积(阴影面积)为 .（由y变形可得：k=xy 因为面积为正数，所以k取绝对值。）5、反比例函数性质如下表：k的符号oyxk0yxok0图像的大致位置经过象限第 象限第 象限增减性（单调性：单调区间内讨论）在每一象限内，从左到右看，y随x的增大而减小 ；（-，0）U（0，+）区间内，单调减 在每一象限内,从左到右看y随x的增大而增大 （-，0）U（0，+）区间内，单调增 图像的对称性中心称图形，对称中心是原点；同时，也是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=-x二次函数图象和性质【知识梳理】一、二次函数的基础知识：1定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域（x的取值范围）：全体实数，R2. 解析式（表达式）：一般式：（，是常数）：说明： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项补充：二次函数解析式的表示方法（三种）一般式：（，为常数，）；顶点式：（，为常数，）；抛物线的顶点P（h，k） 两根式（交点式）：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.仅限于与x轴有两个交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线，即0 其中 (即一元二次方程求根公式)注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中3、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式4、二次函数图象的画法五点绘图法： 利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标; 然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.3、 二次函数的图像：抛物线（1）对称性：抛物线是轴对称图形。对称轴：直线,对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）（2）抛物线有一个顶点P，当=0时，P在y轴上；当= =0时，P在x轴上。4、 a.b.c与抛物线的关系（是二次项系数，是一次项系数，是常数项）y=5x2y=x2xy（1）a决定抛物线的开口方向和大小：开口方向：a为正(a0)，开口朝上，有最小值；a为负(a0)，开口朝下，有最大值；开口大小：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（2）a、b共同决定的符号决定对称轴的位置，分两种情况：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右侧。概括的说就是“左同右异” （3）常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c），分三种情况： 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的6、抛物线与x轴交点个数= 0时，抛物线与x轴有2个交点。A（x1,0）和B（x2,0）=0时，抛物线与x轴有1个交点。顶点P= 0时，抛物线与x轴没有交点。y=0x0yx0yxABP配图：开口向上(开口向下，情况类似)7、类比一元二次方程的根的情况：特别地，二次函数（以下称函数）当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 8、二次函数的图像和性质0yxO0图 象开 口对 称 轴顶点坐标最 值当x 时，y有最 值，y当x 时，y有最 值，y增减性在对称轴左侧y随x的增大而 y 随x的增大而 在对称轴右侧y随x的增大而 y随x的增大而 9. 应用：（1）最大面积；（2）最大利润；（3）其它10、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移？ 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）综合练习（1）下列函数， . . ；其中是y关于x的反比例函数的有：_。（2）函数是反比例函数，则的值是（） A1 B2 C2 D2或2（3）如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（ ） A反比例函数 B正比例函数 C一次函数 D反比例或正比例函数（4）如果是的正比例函数，是的反比例函数，那么是的（ ）（5）如果是的正比例函数，是的正比例函数，那么是的（ ）（6）反比例函数的图象经过（2，5）和（， ），求（1）的值；（2）判断点B（，）是否在这个函数图象上，并说明理由（7）已知函数，其中与成正比例, 与成反比例，且当1时，1；3时，5求：（1）求关于的函数解析式；（2）当2时，的值（8）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是（ ）A、 1或1; B、小于的任意实数; C、1; 、不能确定（9）已知，函数和函数在同一坐标系内的图象大致是（ ）(10)、如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点A作AB轴于点B，连结BC则ABC的面积等于（）A1B2C4D随的取值改变而改变11、已知函数，其中成正比例,成反比例,且当12、（8分）已知,正比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标互为相反数,反比例函数在每一象限内的增大而减小,一次函数过点.（1）求的值.（2）求一次函数和反比例函数的解析式.二次函数提高题:1 是二次函数，则的值为（ ）A0或3B0或3C0D32已知二次函数与轴的一个交点A（2，0），则值为（ ）A2B1C2或1D任何实数3与形状相同的抛物线解析式为（ ）ABCD4关于二次函数，下列说法中正确的是（ ）A若，则随增大而增大B时，随增大而增大。C时，随增大而增大D若，则有最小值5函数经过的象限是（ ）A第一、二、三象限 B第一、二象限 C第三、四象限 D第一、二、四象限6已知抛物线，当时，它的图象经过（）A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第一、三、四象限 D第一、二、三、四象限7对的叙述正确的是（ ）A当1时，最大值2B当1时，最大值8C当1时，最大值8D当1时，最大值28二次函数的图象过点（1，0）、（0，3），对称轴1求函数解析式；5、 图象与轴交于A、B（A在B左侧），与y轴交于C，顶点为D，求四边形ABCD的面积9、抛物线与的形状相同，而开口方向相反，则=（ ）（A） （B） （C） （D）10把二次函数配方成顶点式为（ ）AB CD11函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）AB C D12、若抛物线的开口向下，顶点是（1，3），随的增大而减小，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） (D)13抛物线过第二、三、四象限，则 0， 0， 014抛物线可由抛物线向 平移 个单位得到15顶点为（2，5）且过点（1，14）的抛物线的解析式为 16对称轴是轴且过点A（1，3）、点B（2，6）的抛物线的解析式为 17已知抛物线与轴交于点A，与轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，SABC=3，则= ，= 18、已知二次函数 的图象经过点（1，0）和（-5，0）两点，顶点纵坐标为，求这个二次函数的解析式。对称轴、顶点、平移：1.抛物线的顶点坐标为 2.抛物线的顶点坐标是 3.抛物线与轴的一个交点为，则这个抛物线的顶点坐标是4.二次函数的最小值是 5.已知二次函数的对称轴和轴相交于点，则的值为_6.抛物线的对称轴是直线 7.将抛物向左平移1个单位后，得到的抛物线的解析式是 8.把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有a、b、c的值分别是 图像交点、判别式：9.已知抛物线与轴相交于两点，且线段，则的值为 10.已知二次函数不经过第一象限，且与轴相交于不同的两点，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式 11.若抛物线的顶点在轴的下方，则的取值范围是（）12.已知二次函数，且，则一定有（ ）A. B. C. D. 0利用图像：1若直线ym（m为常数）与函数y的图像恒有三个不同的交点， m的取值范围是。2.下列图形：其中，阴影部分的面积相等的是（）3.若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ）4.二次函数图象上部分点的对应值如下表：012346006则使的的取值范围为5.二次函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（）O6.二次函数的图象如图所示，则直线的图象不经过（）第一象限 第二象限 第三象限第四象限7.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ）8.二次函数的图象如右图，则点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9.二次函数的图象如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）第9题OxyOyxAOyxBOyxDOyxC1. 已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1y2时，x的取值范围是（）Ax1或0x3B1x0或x3 C1x0Dx31.2.2.如图，双曲线y=与直线y=kx+b交于点MN，并且点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为1根据图象信息可得关于x的方程=kx+b的解为（）A3，1 B3，3 C1，1 D1，33.如图，直线l和双曲线交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、0P，设AOC的面积为S1、BOD的面积为S2、POE的面积为S3，则（）A、S1S2S3 B、S1S2S3 C、S1=S2S3 D、S1=S2S33.4.4.如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则ABC的面积为（ ）A3 B4 C5 D65.若一次函数的图象经过反比例函数图象上的两点（1，m）和（n，2），则这个一次函数的解析式是 6.若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数的图象没有公共点，则实数k的取值范围是 15