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初中函数知识

函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)
平面直角坐标系
1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系
2、各个象限内点的特征:
第一象限：（+，+） 第二象限：（-，+） 第三象限：（-，-） 第四象限：（+，-）

3、坐标轴上点的坐标特征：
x轴上的点，y为零；y轴上的点，x为零；原点的坐标为（0 , 0）。
4、点的对称特征：已知点P(m,n),
关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号
关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号

关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号
5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：
平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；
平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。
6、各象限角平分线上的点的坐标特征：
第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
7、点P（x,y）的几何意义：
点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。
点P（x,y）到坐标原点的距离为
8、两点之间的距离：
X轴上两点为A、B |AB|
Y轴上两点为C、D |CD|
已知A、B AB|=
9、中点坐标公式：已知A、B M为AB的中点,则：M=( , )
10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，
将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（ x-a，y）；
将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；
将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；
将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。
函数的基本知识：
基本概念
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
*判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应
3、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
4、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
5.函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
6、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
7、函数的表示方法:列表法、解析式法、图象法
一次函数图象和性质
【知识梳理】
一、一次函数的基础知识
1、定义：一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数
当b=0时，y=kx＋b即y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式： y=kx+b (k≠0)
说明： ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
2、解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)
3、图像：一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,
4、增减性（单调性）： k>0，y随x的增大而增大（单调增）；k<0，y随x而增大而减小（单调减）
5、必过点：（0，b）和（-，0）：理由如下：y=kx+b中，
⑴当x=o,时，y=？？ 所以，该函数经过（ ， ）点
⑵当y=o,时，x=？？所以，该函数经过（ ， ）点
所以，一次函数的图象是必经过（，0）和（0，b）两点的一条直线.，注：两点确定一条直线。画图时，可通过这两点来确定直线。
6、一次函数图像的画法：两点法
１、计算必过点（0，b）和（-，0）２、描点３、连线（从左到右光滑的直线）
7、增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
8、倾斜度(只与k相关)：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

9、与y轴交点
①当b>0时直线与y轴交于原点上方（即y轴的正半轴）；
②当b<0时，直线与y轴交于原点的下方。（即y轴的负半轴）
10、图像的上下平移（只与b相关）：直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.
上加下减
例如：y=2x+3, 将直线 向 平移 个单位；y=5x-6,将直线 　的图象向 　 平移 个单位
11、一次函数的图象与性质

b>0
b<0
b=0（正比例函数）
k>0
经过：第一、二、三象限
不经过：第四象限
经过：第一、三、四象限不经过：第二象限
经过：第一、三象限
不经过：第二、四象限

增减性（单调性）：图象从左到右上升，y随x的增大而增大，单调增
k<0
经过第一、二、四象限
不经过：第三象限
经过第二、三、四象限
不经过：第一象限
经过第二、四象限
不经过：第一、三象限

增减性（单调性）：图象从左到右下降，y随x的增大而减小，单调减

必过点：经过（，0）和（0，b）两点，正比例函数即是经过原点（0，0）

12、两直线之间的位置关系（平行或相交）：
①平行：
②相交：将两直线方程联立成一个方程组， ，解得结果，即为交点。
13、二元一次方程组与一次函数的关系：两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。
反比例函数图象和性质
【知识梳理】
一、反比例函数的基础知识
1、定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。
还可以写成
2、解析式：（为常数，）
注：反比例函数解析式的特征：
①等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.②比例系数
③自变量的取值为一切非零实数。（反比例函数有意义的条件：分母≠0）
④函数的取值是一切非零实数。
3、增减性（单调性）： k>0，y随x的增大而减小（单调减）；k<0，y随x增大而增大（单调增）

4、反比例函数的图象：双曲线
（1）图像的画法：描点法
① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
② 描点（有小到大的顺序）
③ 连线（从左到右光滑的曲线）

（3）反比例函数（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
（4）比例系数的几何含义（右图）：反比例函数y＝ (k≠0)中比例系数k的
几何意义，即过双曲线y＝ (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分
别为A、B，则所得矩形OAPB的面积(阴影面积)为 .
（由y＝变形可得：k=xy 因为面积为正数，所以k取绝对值。）
5、反比例函数性质如下表：
k的符号
o
y
x
k＞0
y
x
o
k＜0
图像的大致位置

经过象限
第 象限
第 象限
增减性（单调性：单调区间内讨论）

在每一象限内，从左到右看，y随x的增大而减小 ；
（-∞，0）U（0，+∞）区间内，单调减
在每一象限内,从左到右看
y随x的增大而增大
（-∞，0）U（0，+∞）区间内，单调增
图像的对称性
中心称图形，对称中心是原点；
同时，也是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=-x

二次函数图象和性质
【知识梳理】
一、二次函数的基础知识：
1．定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．
二次函数的定义域（x的取值范围）：全体实数，R．
2. 解析式（表达式）：一般式：（，是常数）：
说明：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

补充：⑴二次函数解析式的表示方法（三种）
①一般式：（，，为常数，）；
②顶点式：（，，为常数，）；[抛物线的顶点P（h，k）]

③两根式（交点式）：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
[仅限于与x轴有两个交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线，即△≥0]
其中 (即一元二次方程求根公式)
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
⑵二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
3、二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

4、二次函数图象的画法
五点绘图法：
① 利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标;
② ②然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

3、 二次函数的图像：抛物线
（1）对称性：抛物线是轴对称图形。对称轴：直线,对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
（2）抛物线有一个顶点P，
当=0时，P在y轴上；当Δ= =0时，P在x轴上。
4、 a.b.c与抛物线的关系（是二次项系数，是一次项系数，是常数项）
y=5x2
y=x2
x
y
（1）a决定抛物线的开口方向和大小：
开口方向：a为正(a＞0)，开口朝上，有最小值；
a为负(a＜0)，开口朝下，有最大值；
开口大小：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（2）a、b共同决定
的符号决定对称轴的位置，分两种情况：
①当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；
②当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧。
概括的说就是“左同右异”
（3）常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c），分三种情况：
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
6、抛物线与x轴交点个数
Δ= ＞0时，抛物线与x轴有2个交点。A（x1,0）和B（x2,0）
Δ==0时，抛物线与x轴有1个交点。顶点P
Δ= ＜0时，抛物线与x轴没有交点。
y
△=0
x
△＜0
y
x
△＞0
y
x
A
B
P
配图：开口向上(开口向下，情况类似)

7、类比一元二次方程的根的情况：
特别地，二次函数（以下称函数）
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
8、二次函数的图像和性质

＞0
y
x
O
＜0

图 象

开 口

对 称 轴

顶点坐标

最 值
当x＝ 时，
y有最 值，y
当x＝ 时，
y有最 值，y
增减性
在对称轴左侧
y随x的增大而　
y 随x的增大而　
在对称轴右侧
y随x的增大而　
y随x的增大而　
9. 应用：
（1）最大面积；（2）最大利润；（3）其它
10、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移？

2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
综合练习

（1）下列函数，① ②. ③ ④.⑤⑥ ；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。
（2）函数是反比例函数，则的值是（　　）
　 A．－1　　　　 　B．－2　　　 　C．2　　　 　D．2或－2
（3）如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（ 　）
A．反比例函数 　B．正比例函数 　 C．一次函数 　 D．反比例或正比例函数
（4）如果是的正比例函数，是的反比例函数，那么是的（ ）
（5）如果是的正比例函数，是的正比例函数，那么是的（ ）
（6）反比例函数的图象经过（—2，5）和（， ），
求（1）的值；（2）判断点B（，）是否在这个函数图象上，并说明理由
（7）已知函数，其中与成正比例, 与成反比例，且当＝1时，＝1；＝3时，＝5．求：（1）求关于的函数解析式；　　（2）当＝2时，的值．
（8）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是（　 　）
A、 －1或1; 　 B、小于的任意实数; C、－1;　　 　Ｄ、不能确定

（9）已知，函数和函数在同一坐标系内的图象大致是（ ）

(10)、如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，
过点A作AB⊥轴于点B，连结BC．则ΔABC的面积等于（　　　）
　A．1　　B．2　　C．4　　D．随的取值改变而改变．
11、已知函数，其中成正比例,成反比例,且当
12、（8分）已知,正比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标互为相反数,反比例函数在每一象限内的增大而减小,一次函数过点.
（1）求的值.
（2）求一次函数和反比例函数的解析式.

二次函数提高题:1． 是二次函数，则的值为（ ）
A．0或－3 B．0或3 C．0 D．－3
2．已知二次函数与轴的一个交点A（－2，0），则值为（ ）
A．2 B．－1 C．2或－1　　　　D．任何实数
3．与形状相同的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．关于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则随增大而增大 　　 B．时，随增大而增大。
C．时，随增大而增大 　　　 D．若，则有最小值．
5．函数经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第一、二、四象限
6．已知抛物线，当时，它的图象经过（　　　）
A．第一、二、三象限 　 B．第一、二、四象限　 C．第一、三、四象限　 D．第一、二、三、四象限

7．对的叙述正确的是（ ）
A．当＝1时，最大值＝2 　　B．当＝1时，最大值＝8
C．当＝－1时，最大值＝8 D．当＝－1时，最大值＝2
8．二次函数的图象过点（1，0）、（0，3），对称轴＝－1．
①求函数解析式；
5、 图象与轴交于A、B（A在B左侧），与y轴交于C，顶点为D，求四边形ABCD的面积．
9、抛物线与的形状相同，而开口方向相反，则=（ ）
（A） （B） （C） （D）
10．把二次函数配方成顶点式为（ ）
A． B． C． D．
11．函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

12、若抛物线的开口向下，顶点是（1，3），随的增大而减小，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） (D)
13．抛物线过第二、三、四象限，则 0， 0， 0．
14．抛物线可由抛物线向 平移 个单位得到．
15．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ．
16．对称轴是轴且过点A（1，3）、点B（－2，－6）的抛物线的解析式为 ．
17．已知抛物线与轴交于点A，与轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，则= ，= ．

18、已知二次函数 的图象经过点（1，0）和（-5，0）两点，顶点纵坐标为，求这个二次函数的解析式。
对称轴、顶点、平移：
1.抛物线的顶点坐标为 ．
2.抛物线的顶点坐标是
3.抛物线与轴的一个交点为，则这个抛物线的顶点坐标是 ．
4.二次函数的最小值是
5.已知二次函数的对称轴和轴相交于点，则的值为________．
6.抛物线的对称轴是直线
7.将抛物向左平移1个单位后，得到的抛物线的解析式是 ．
8.把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有a、b、c的值分别是
图像交点、判别式：
9..已知抛物线与轴相交于两点，且线段，则的值为 ．
10.已知二次函数不经过第一象限，且与轴相交于不同的两点，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式 ．
11.若抛物线的顶点在轴的下方，则的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12.已知二次函数，且，，则一定有（ ）
A. B. C. D. ≤0
利用图像：
1．若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图像恒有三个不同的交点， m的取值范围是———。
2.下列图形：

①

②

③

④

其中，阴影部分的面积相等的是（　　）
Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．④①
3.若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　 ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4..二次函数图象上部分点的对应值如下表：

0
1
2
3
4

6
0

0
6
则使的的取值范围为　　　　　．
5.二次函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（　　）
Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

O

6.二次函数的图象如图所示，则直线的图象不经过（　　）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
7.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

8.二次函数的图象如右图，则点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限

9.二次函数的图象如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
第9题
O
x
y
O
y
x
A
O
y
x
B
O
y
x
D
O
y
x
C

1. 已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1或0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或x＞3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3

1. 2.

2.如图，双曲线y=与直线y=kx+b交于点M．N，并且点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为﹣1．根据图象信息可得关于x的方程=kx+b的解为（　　）
A．﹣3，1 B．﹣3，3 C．﹣1，1 D．﹣1，3
3.如图，直线l和双曲线交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、0P，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则（　　）
A、S1＜S2＜S3 B、S1＞S2＞S3 C、S1=S2＞S3 D、S1=S2＜S3
3. 4.

4.如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5.若一次函数的图象经过反比例函数图象上的两点（1，m）和（n，2），则这个一次函数的解析式是　 　．6.若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数的图象没有公共点，则实数k的取值范围是 ．

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