初中数学圆知识点归纳.pdf

圆整章知识点复习 -1-圆圆章节知识点复习章节知识点复习名词解释：名词解释：1.弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。2.弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。3.半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，第一条弧都叫做半圆。4.等圆能够重合的两个圆叫做等圆。5.等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。6.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。7.圆周角顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。8.圆内接多边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。9.外心外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形外心外心。10.内心三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心内心。11.内切圆与三角形各边相切的圆叫做三角形的内切圆。12.割线直线和圆有两个公共点（直线和圆相交），这条直线叫做圆的割线割线。13.切线直线和圆只有一个公共点（直线和圆相切），这条直线叫做圆的切线切线，这个点叫做切点切点。14.切线长经边圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长切线长。15.圆心距两个圆圆心的距离叫做圆心距。16.中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。17.中心角正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。18.边心距中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。19.扇形由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。20.母线连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。一、圆的概念一、圆的概念集合形式的概念：集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；（补充）3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；圆整章知识点复习 -2-rddCBAOOEDCBAdrd=rrd周 2rRd周 1rRd5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系1 1、点在圆内、点在圆内 点点在圆内；在圆内；drC2 2、点在圆上、点在圆上 点点在圆上；在圆上；drB3 3、点在圆外、点在圆外 点点在圆外；在圆外；drA三、直线与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系1 1、直线与圆相离、直线与圆相离 无交点；无交点；dr2 2、直线与圆相切、直线与圆相切 有一个交点；有一个交点；dr3 3、直线与圆相交、直线与圆相交 有两个交点；有两个交点；dr四、圆与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系外离（图外离（图 1 1）无交点无交点 ；dRr外切（图外切（图 2 2）有一个交点有一个交点 ；dRr相交（图相交（图 3 3）有两个交点有两个交点 ；RrdRr内切（图内切（图 4 4）有一个交点有一个交点 ；dRr内含（图内含（图 5 5）无交点无交点 ；dRr 五、垂径定理五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论推论 1 1：（1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共以上共 4 4 个定理，简称个定理，简称 2 2 推推 3 3 定理：此定理中共定理：此定理中共 5 5 个结论中，只要知道其中个结论中，只要知道其中 2 2 个即个即可推出其它可推出其它 3 3 个结论，即：个结论，即：是直径是直径 弧弧弧弧 弧弧弧弧ABABCDCEDEBCBDACAD周 4rRd周 5rRd周 3rRd 圆整章知识点复习 -3-CBAODCBAO中任意中任意 2 2 个条件推出其他个条件推出其他 3 3 个结论。个结论。推论推论 2 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在即：在中，中，OABCD 弧弧弧弧ACBD六、圆心角定理六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。心距相等。此定理也称此定理也称 1 1 推推 3 3 定理，即上述四个结论中，定理，即上述四个结论中，只要知道其中的只要知道其中的 1 1 个相等，则可以推出其它的个相等，则可以推出其它的 3 3 个结论，个结论，即：即：；AOBDOE ABDE；弧弧弧弧OCOFBABD七、圆周角定理七、圆周角定理1 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。半。即：即：和和是弧是弧所对的圆心角和圆周角所对的圆心角和圆周角AOBACBAB 2AOBACB 2 2、圆周角定理的推论：、圆周角定理的推论：推论推论 1 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；圆周角所对的弧是等弧；即：在即：在中，中，、都是所对的圆周角都是所对的圆周角OCD CD 推论推论 2 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在即：在中，中，是直径是直径 或或OAB90C 是直径是直径90CAB推论推论 3 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。角形是直角三角形。即：在即：在中，中，ABCOCOAOB 是直角三角形或是直角三角形或ABC90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。OCDABFEDCBAOCBAOCBAO 圆整章知识点复习 -4-EDCBAPBAOPODCBA八、圆内接四边形八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。它的内对角。即：在即：在中，中，O 四边形四边形是内接四边形是内接四边形ABCD 180CBAD180BD DAEC 九、切线的性质与判定定理九、切线的性质与判定定理（1 1）切线判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切）切线判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：即：且且过半径过半径外端外端MNOAMNOA 是是的切线的切线MNO（2 2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论推论 1 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论推论 2 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：以上三个定理及推论也称二推一定理：即：即：过圆心；过圆心；过切点；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。后一个。十、切线长定理十、切线长定理切线长定理：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。切线的夹角。即：即：、是的两条切线是的两条切线PAPB PAPB 平分平分POBPA推论推论 1 1：圆的外切四边形的两组对边的和相等：圆的外切四边形的两组对边的和相等十一、圆幂定理十一、圆幂定理（1 1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。乘积相等。即：在即：在中，中，O弦弦、相交于点相交于点，ABCDPPA PBPC PDNMAOOEDCBA 圆整章知识点复习 -5-DECBPAO（2 2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。比例中项。即：在即：在中，中，直径直径，OABCD 2CEAE BE（3 3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。的两条线段长的比例中项。即：在即：在中，中，O是切线，是切线，是割线是割线PAPB 2PAPC PB（4 4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）条线段长的积相等（如上图）。即：在即：在中，中，O、是割线是割线PBPEPC PBPD PE（5 5）弦切角定理：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论推论 1 1：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等十二、两圆公共弦定理十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：如图：垂直平分垂直平分。12OOAB即：即：、相交于相交于、两点两点1O2OAB 垂直平分垂直平分12OOAB十三、圆的公切线十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：两圆公切线长的计算公式：（1 1）外公切线长：）外公切线长：CDCD2 2 =L L2 2 +(R-r)(R-r)2 2（2 2）内公切线长：）内公切线长：ABAB2 2 =L L2 2 +(R+r)(R+r)2 2十四、圆内正多边形的计算十四、圆内正多边形的计算BAO1O2 圆整章知识点复习 -6-BAOSlBAOBAOBAO定理：把圆分成定理：把圆分成 n(n3):n(n3):依次连结各分依次连结各分点所得的多边点所得的多边形是这个圆的内接正形是这个圆的内接正 n n 边边形形经过各分点经过各分点作圆的切线，作圆的切线，以相邻切线的交点为顶以相邻切线的交点为顶点的多边形是这点的多边形是这个圆的外切个圆的外切正正 n n边形边形推论推论 1 1：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆推论推论 2 2：正：正 n n 边形的每个内角都等于（边形的每个内角都等于（n-2n-2）180180n n 推论推论 3 3：正：正 n n 边形的半径和边心距把正边形的半径和边心距把正 n n 边形分成边形分成 2n2n 个全等的直角三角形个全等的直角三角形推论推论 4 4：正：正 n n 边形的面积边形的面积 S Sn n=p=pn nr rn n2 2 p p 表示正表示正 n n 边形的周长边形的周长推论推论 5 5：如果在一个顶点周围有：如果在一个顶点周围有 k k 个正个正 n n 边形的角，由于这些角的和应为边形的角，由于这些角的和应为 360360，因此因此 k k (n-2)180(n-2)180n=360n=360化为（化为（n-2n-2）(k-2)=4(k-2)=4 特例：特例：（1 1）正三角形）正三角形 在在中中是正三角形，有关计算在是正三角形，有关计算在中进行：中进行：；OABCRt BOD:1:3:2OD BD OB 正三角形面积正三角形面积3a3a2 24 4 ，a a 表示边长表示边长（2 2）正四边形）正四边形同理，四边形的有关计算在同理，四边形的有关计算在中进行，中进行，：Rt OAE:1:1:2OE AE OA（3 3）正六边形）正六边形同理，六边形的有关计算在同理，六边形的有关计算在中进行，中进行，.Rt OAB:1:3:2AB OB OA 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1 1、扇形：（、扇形：（1 1）弧长公式：）弧长公式：；180n RlDCBAOECBADO 圆整章知识点复习 -7-（2 2）扇形面积公式：）扇形面积公式：213602n RSlR：圆心角：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长：扇形弧长 ：扇形面积：扇形面积nRlS2 2、圆柱：、圆柱：（1 1）圆柱侧面展开图）圆柱侧面展开图 =2SSS侧表底222rhr（2 2）圆柱的体积：）圆柱的体积：2Vr h3 3、圆锥侧面展开图、圆锥侧面展开图（1 1）=SSS侧表底2Rrr（2 2）圆锥的体积：）圆锥的体积：213Vr h周 周 周周 周 周 周 周C1D1DCBAB1RrCBAO