二次函数的应用(含答案).pdf

二次函数的应用练习题二次函数的应用练习题1、在一幅长 60cm，宽 40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 ycm2，设金色纸边的宽度为 xcm2，那么 y 关于 x 的函数是（）Ay=（60+2x）（40+2x）By=（60+x）（40+x）Cy=（60+2x）（40+x）Dy=（60+x）（40+2x）2、把一根长为 50cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为 x（cm），它的面积为 y（cm2），则 y 与 x 之间的函数关系式为（）Ay=-x2+50 x By=x2-50 x Cy=-x2+25x Dy=-2x2+253、某公司的生产利润原来是 a 元，经过连续两年的增长达到了 y 万元，如果每年增长的百分数都是 x，那么 y 与 x 的函数关系是（）Ay=x a By=a（x1）Cy=a（1x）Dy=a（1x）22224、如图所示是二次函数y=的图象在 x 轴上方的一部分，2122x对于这段图象与 x 轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（）A4 B C2 D81635、周长 8m 的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）m2A B C4 D 4583566、如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 h（单位：m）与小球运动时间 t（单位：s）之间的关系式为 h=30t-5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（）A6sB4sC3sD2s7、如图，二次函数 y=-x2-2x 的图象与 x 轴交于点 A、O，在抛物线上有一点 P，满足SAOP=3，则点 P 的坐标是（）A（-3，-3）B（1，-3）C（-3，-3）或（-3，1）D（-3，-3）或（1，-3）8、向空中发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a0）、若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A第 8 秒B第 10 秒C第 12 秒D第 15 秒9、将进货单价为 70 元的商品按零售价 100 元/个售出时每天能卖出 20 个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加 1 个，为了获得最大利润，则应降价（）A5 元 B10 元 C15 元 D20 元10、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F 分别是边 BC 和 CD 上的动点（不与正方形的顶点重合），不管 E、F 怎样动，始终保持AEEF设 BE=x，DF=y，则 y 是 x 的函数，函数关系式是（）Ay=x+1By=x-1Cy=x2-x+1 Dy=x2-x-111、如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y=-x2，当水14位线在 AB 位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（）A3m B m C m D9 m2 64 312、如图，隧道的截面是抛物线，可以用 y=表示，21416x13、该隧道内设双行道，限高为 3m，那么每条行道宽是（）A不大于 4mB恰好 4mC不小于 4mD大于 4m，小于 8m13、如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为 40 米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形 ABCD 的边 AB 为 x 米，面积为 S 平方米，要使矩形 ABCD 面积最大，则 x 的长为（）A10 米B15 米C20 米D25 米14、如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径 AB 间，按相同间隔 0.2 米用 5 根立柱加固，拱高 OC 为 0.36 米，则立柱 EF 的长为（）A0.4 米B0.16 米C0.2 米D0.24 米15、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 y=x2+3.5 的一15部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离 l 是（）A3.5m B4m C4.5m D4.6m15、如图，已知P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线上运动，2112yx当P 与 x 轴相切时，圆心 P 的坐标为_16、如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_18、如图，已知等腰直角ABC 的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 20 厘米，AC 与 MN 在同一直线上，开始时点 A 与点 N 重合，让ABC 以每秒 2 厘米的速度向左运动，最终点 A 与点 M 重合，则重叠部分面积 y（厘米2）与时间 t（秒）之间的函数关系式为_19、如图，点 A1、A2、A3、An 在抛物线 y=x2图象上，点B1、B2、B3、Bn在 y 轴上，若A1B0B1、A2B1B2、AnBn-1Bn都为等腰直角三角形（点 B0是坐标原点），则A2015B2014B2015的腰长=_19、如图，在ABC 中，B=90，AB=12mm，BC=24mm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB向 B 以 2mm/s的速度移动（不与点 B 重合），动点 Q 从点 B开始沿边 BC 向 C 以 4mm/s 的速度移动（不与点 C 重合）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过_秒，四边形 APQC 的面积最小21、扎西的爷爷用一段长 30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？22、某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为 18 元，试销过程中发现，每月销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数 y=-2x+100（利润=售价-制造成本）（1）写出每月的利润 z（万元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得 350 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？23、每年六七月份我市荔枝大量上市，今年某水果商以 5 元/千克的价格购进一批荔枝进行销售，运输过程中质量损耗 5%，运输费用是 0.7 元/千克，假设不计其他费用（1）水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本？（2）在销售过程中，水果商发现每天荔枝的销售量 m（千克）与销售单价 x（元/千克）之间满足关系：m=-10 x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润 w 最大？24、某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润 y（元/千度）与电价 x（元/千度）的函数图象如图：（1）当电价为 600 元/千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价 x（元/千度）与每天用电量 m（千度）的函数关系为 x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过 60 千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？参考答案1.答案：A解析：解答：长是：60+2x，宽是：40+2x，由矩形的面积公式得则 y=（60+2x）（40+2x）故选 A分析：挂图的面积=长宽，本题需注意长和宽的求法2.答案：C解析：解答：设这个长方形的一边长为 xcm，则另一边长为（25-x）cm，所以面积 y=x（25-x）=-x2+25x故选 C分析：由长方形的面积=长宽可求解3.答案：D解析：解答：依题意，得 y=a（1+x）2故选 D分析：本题是增长率的问题，基数是 a 元，增长次数 2 次，结果为 y，根据增长率的公式表示函数关系式4.答案：B解析：解答：函数与 y 轴交于（0，2）点，与 x 轴交于（-2，0）和（2，0）两点，则三点构成的三角形面积 S1=4，则以半径为 2 的半圆的面积为 S2=22=2，则阴影部分12的面积 S 有：4S2因为选项 A、C、D 均不在 S 取值范围内故选 B分析：本题不能硬求面积，要观察找一个范围，然后选一个合适的答案由图形可知阴影部分的面积介于一个三角形和一个半圆之间，问题就好解决了5.答案：B解析：解答：设窗户的宽是 x，根据题意得S=832x x=2348()(04)233xx当窗户宽是m 时，面积最大是 m24383分析：根据窗户框的形状可设宽为 x，其高就是，所以窗户面积 S=，再求8-32x832x x出二次函数解析式顶点式即可求出最大面积。6.答案：A解析：解答：由小球高度 h 与运动时间 t 的关系式 h=30t-5t2令 h=0，-5t2+30t=0解得：t1=0，t2=6即：小球从抛出至回落到地面所需要的时间是 6 秒故选 A分析：由小球高度 h 与运动时间 t 的关系式 h=30t-5t2，令 h=0，解得的两值之差便是所要求得的结果7.答案：D解析：解答：设 P 点纵坐标为 m，抛物线的解析式中，令 y=0，得：-x2-2x=0，解得 x=0，x=-2；A（-2，0），OA=2；SAOP=OAm=312|m|=3；m=3；当 P 点纵坐标为 3 时，-x2-2x=3，x2+2x+3=0，=4-120，方程无解，此种情况不成立；当 P 点纵坐标为-3 时，-x2-2x=-3，x2+2x-3=0，解得 x=1，x=-3；P（1，-3）或（-3，-3）；故选 D分析：根据抛物线的解析式，即可确定点 A 的坐标，由于 OA 是定长，根据AOP 的面积即可确定 P 点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得 P 点的坐标8.答案：B解析：解答：由炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，根据抛物线的对称性可知，x=（7+14）/2 时，炮弹所在高度最高，所以 x=10.5题中给的四个选项中 B 第 10 秒最接近 10.5 秒故选 B分析：此题可归纳为：若抛物线 y=ax2+bx+c，当 x=a 与 x=b 时 y 值相等，那么该抛物线的对称轴是直线 x=(a+b)/2.9.答案：A解析：解答：设应降价 x 元，则（20+x）（100-x-70）=-x2+10 x+600=-（x-5）2+625，-10当 x=5 元时，二次函数有最大值为了获得最大利润，则应降价 5 元故选 A分析：设应降价 x 元，表示出利润的关系式为（20+x）（100-x-70）=-x2+10 x+600，根据二次函数的最值问题求得最大利润时 x 的值即可10.答案：C解析：解答：BAE 和EFC 都是AEB 的余角BAE=FECABEECF AB：EC=BE：CF，ABCF=ECBE，AB=1，BE=x，EC=1-x，CF=1-y 1（1-y）=（1-x）x化简得：y=x2-x+1故选 C分析：本题结合了正方形和相似三角形的性质考查了二次函数关系式根据条件得出形似三角形，用未知数表示出相关线段是解题的关键11.答案：D解析：解答：由已知 AB=12m 知点 B 的横坐标为 6把 x=6 代入 y=-x2，14得 y=-9即水面离桥顶的高度为 9m故选 D分析：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题根据题意，把 x=6 直接代入解析式即可解答12.答案：A解析：解答：把 y=3 代入 y=中得：21416xx=4，x=-4（舍去）每条行道宽应不大于 4m故选 A分析：本题考查二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题由题意可知，直接把 y=3 代入解析式求解即可13.答案：A解析：解答：设矩形 ABCD 的边 AB 为 x 米，则宽为 40-2x，S=（40-2x）x=-2x2+40 x要使矩形 ABCD 面积最大，则即 x 的长为 10m故选 A分析：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数 a 的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如 y=-x2-2x+5，y=3x2-6x+1 等用配方法求解比较简单14.答案：C解析：解答：如图，以 C 坐标系的原点，OC 所在直线为 y 轴建立坐标系，设抛物线解析式为 y=ax2，由题知，图象过 B（0.6，0.36），代入得：0.36=0.36aa=1，即 y=x2F 点横坐标为-0.4，当 x=-0.4 时，y=0.16，EF=0.36-0.16=0.2 米故选 C分析：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题由于相同的间距 0.2m 用 5 根立柱加固，则 AB=0.26=1.2，以 C 坐标系的原点，OC 所在直线为 y 轴建立坐标系，由此得到抛物线过（0.6，0.6）、（0，0）、（-0.6，0.6），据此求出解析式把 x=-0.4 代入后求出 y，让 0.36-y 即可15.答案：B解析：解答：如图，把 C 点纵坐标 y=3.05 代入 y=x2+3.5 中得：15x=1.5（舍去负值），即 OB=1.5，所以 l=AB=2.5+1.5=4令解：把 y=3.05 代入 y=x2+3.5 中得：x1=1.5，x2=-1.5（舍去），L=2.5+1.5=4 米故选 B分析：如图，实际是求 AB 的距离而 OA 已知，所以只需求出 OB 即可；而 OB 的长，又是 C 点的横坐标，所以把 C 点的纵坐标 3.05 代入解析式即可解答16.答案：（，2）或（，2）66解析：解答：当P 与 x 轴相切时，P 点纵坐标为2；当 y=2 时，=2，解得 x=21-12x6当 y=-2 时，x 无解；故 P 点坐标为（，2）或（，2）66分析：当P 与 x 轴相切时，P 点的纵坐标为 2，可将其代入抛物线的解析式中，即可求得P 点坐标17.答案：0.5 米解析：解答：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为 x 轴，左边树为 y 轴建立平面直角坐标系，由题意可得 A（0，2.5），B（2，2.5），C（0.5，1）设函数解析式为 y=ax2+bx+c把 C 点代入得出 c=2.5再把 A、B 两点分别代入得422.52.50.250.52.51abab解之得 a=2，b=-4，y=2x2-4x+2.5=2（x-1）2+0.520当 x=1 时，y=0.5 米故答案为：0.5 米分析：根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答18.答案：y=（20-2t）212解析：解答：AM=20-2t，则重叠部分面积 y=AM2=（20-2t）21212分析：根据ABC 是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解19.答案：2015解析：解答：作 A1Cy 轴，A2Ey 轴，垂足分别为 C、EA1BOB1、A2B1B2都是等腰直角三角形B1C=B0C=DB0=A1D，B2E=B1E=A2E设 A1（a，a）将其代入解析式 y=x2得：a=a2解得：a=0（不符合题意）或 a=1，由勾股定理得：A1B0=同理可以求得：A2B1=2A3B2=3A4B3=4A2015B2014=2015A2015B2014B2015的腰长为：2015故答案为：2015分析：本题是一道二次函数规律题，运用由特殊到一般的解题方法，利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方法求出第二个，第三个的腰长，观察其规律，最后得出结果20.答案：3解析：解答：设 P、Q 同时出发后经过的时间为 t 秒，四边形 APQC 的面积为 S 平方毫米，则有：S=SABC-SPBQ=1112 24412222tt（）=4t2-24t+144=4（t-3）2+10840当 t=3s 时，S 取得最小值分析：根据等量关系“四边形 APQC 的面积=三角形 ABC 的面积-三角形 PBQ 的面积”列出函数关系求最小值21.答案：解：设矩形的宽为 xm，面积为 Sm2，根据题意得：S=x（30-2x）=-2x2+30 x=-2（x-7.5）2+112.5，所以当 x=7.5 时，S 最大，最大值为 112.530-2x=30-15=15故当矩形的长为 15m，宽为 7.5m 时，矩形菜园的面积最大，最大面积为 112.5m2解析：分析：设菜园宽为 x，则长为 30-2x，由面积公式写出 y 与 x 的函数关系式，然后利用二次函数的最值的知识可得出菜园的最大面积，及取得最大面积时矩形的长和宽22.答案：解：（1）z=（x-18）y=（x-18）（-2x+100）=-2x2+136x-1800，z 与 x 之间的函数解析式为 z=-2x2+136x-1800；（2）由 z=350，得 350=-2x2+136x-1800，解这个方程得 x1=25，x2=43所以，销售单价定为 25 元或 43 元，将 z-2x2+136x-1800 配方，得 z=-2（x-34）2+512，答：当销售单价为 34 元时，每月能获得最大利润，最大利润是 512 万元；解析：分析：（1）根据每月的利润 z=（x-18）y，再把 y=-2x+100 代入即可求出 z 与 x 之间的函数解析式，（2）把 z=350 代入 z=-2x2+136x-1800，解这个方程即可，将 z-2x2+136x-1800 配方，得z=-2（x-34）2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是多少23.答案：解：（1）设购进荔枝 a 千克，荔枝售价定为 b 元/千克时，水果商才不会亏本，由题意得ba（1-5%）（5+0.7）a，a0，95%b5.7b6所以，水果商要把荔枝售价至少定为 6 元/千克才不会亏本（2）由（1）可知，每千克荔枝的平均成本为 6 元，由题意得w=（x-6）m=（x-6）（-10 x+120）=-10（x-9）2+90，a=-100w 有最大值当 x=9 时，w 有最大值所以，当销售单价定为 9 元/千克时，每天可获利润 w 最大解析：分析：（1）设购进荔枝 a 千克，荔枝售价定为 b 元/千克时，水果商要不亏本，由题意建立不等式求出其值就可以了（2）由（1）可知，每千克荔枝的平均成本为 6 元，再根据售价-进价=利润就可以表示出w，然后化为顶点式就可以求出最值24.答案：解：（1）设购进荔枝 a 千克，荔枝售价定为 b 元/千克时，水果商才不会亏本，由题意得ba（1-5%）（5+0.7）a，a0，95%b5.7b6所以，水果商要把荔枝售价至少定为 6 元/千克才不会亏本（2）由（1）可知，每千克荔枝的平均成本为 6 元，由题意得w=（x-6）m=（x-6）（-10 x+120）=-10（x-9）2+90，a=-100w 有最大值当 x=9 时，w 有最大值所以，当销售单价定为 9 元/千克时，每天可获利润 w 最大解析：分析：（1）设购进荔枝 a 千克，荔枝售价定为 b 元/千克时，水果商要不亏本，由题意建立不等式求出其值就可以了（2）由（1）可知，每千克荔枝的平均成本为 6 元，再根据售价-进价=利润就可以表示出w，然后化为顶点式就可以求出最值