-二次函数压轴题含答案.pdf

ENMDCBAOyx1.已知：如图一次函数 yx1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数 y12x2bxc 的图象与一次函数 yx1 的图象交于 B、C 两点，与 x 轴交于 D、E 两1212点且 D 点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形 BDEC 的面积 S；(3)在 x 轴上是否存在点 P，使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由第 1 题图2如图，RtABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过 B 点，3223yxbxc且顶点在直线上52x（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若DCE 是由ABO 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 M 作 MN 平行于 y 轴交 CD 于点 N设点 M 的横坐标为 t，MN 的长度为 l求 l 与 t 之间的函数关系式，并求 l 取最大值时，点 M 的坐标3.如图是二次函数的图象，其顶点坐标为 M(1,-4).kmxy2)(（1）求出图象与轴的交点 A,B 的坐标；x（2）在二次函数的图象上是否存在点 P，使,若存在，求出 P 点的坐标；MABPABSS45若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一xx个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点)1(bbxy时，的取值范围.b图 9图 14如图,已知抛物线与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、B，点 A 的坐cbxxy221标为（2，0），点 C 的坐标为（0，-1）（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DEx 轴于点 D，连结 DC，当DCE 的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，说明理由5.将直角边长为 6 的等腰 RtAOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 C、A 分别在 x、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点 A、C 及点 B(3，0)(1)求该抛物线的解析式；(2)若点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 AB 的平行线交 AC 于点 E，连接 AP，当APE的面积最大时，求点 P 的坐标；ABCx yo备用图ABCEDx yo题图26(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点 G，使AGC 的面积与（2）中APE 的最大面积相等?若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由6如图，抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0）、B（2，0），与 y 轴交于点 C，顶点为 DE（1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）在直线 EF 上求一点 H，使CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时，EFK 的面积最大？并求出最大面积7如图 7，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1 1，），AOB 的面积是.33（1）求点 B 的坐标；（2）求过点 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使AOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的 坐标；若不存在，请说明理由；（4）在（2）中，轴下方的抛物线上是否存在一点 P，x过点 P 作轴的垂线，交直线 AB 于点 D，线段 ODx把AOB 分成两个三角形.使其中一个三角形面积yxCBOA5 题图CEDGAxyOBFxyA0B与四边形 BPOD 面积比为 2：3？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.8如图，已知直线112yx与y轴交于点 A，与x轴交于点 D，抛物线212yxbxc与直线交于 A、E 两点，与x轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为(1，0)。求该抛物线的解析式；动点 P 在轴上移动，当PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标 P。在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AMMC的值最大，求出点M 的坐标。9.如图在直角坐标系中，已知点 A(01)，B(4)将点 B 绕点 A 顺时针方向旋4转 90得到点 C，顶点在坐标原点的抛物线经过点 B (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标；(2)抛物线上一动点 P设点 P 到 x 轴的距离为，点 P 到点 A 的距离为，试说明1d2d；211dd(3)在-(2)的条件下，请探究当点 P 位于何处时PAC 的周长有最小值，并求出PAC 的周长的最小值。10 已知：如图，直线与轴交于 C 点，与轴交于 A 点，B 点在轴上，33 xyxyxOAB 是等腰直角三角形 （1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；图 7 （2）若直线 CDAB 交抛物线于 D 点，求 D 点的坐标；（3）若 P 点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标和PAB 的最大面积；若没有，请说明理由11（11 分）（2013眉山）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 在 x 轴上，点 C、D 在 y轴上，且 OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过 A、B、C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点 M（1）求这条抛物线的解析式；（2）P 为抛物线上一动点，E 为直线 AD 上一动点，是否存在点 P，使以点 A、P、E 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）请直接写出将该抛物线沿射线 AD 方向平移个单位后得到的抛物线的解析式12如图，已知直线33yx 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线2yaxbxc 经过点A和点C，对称轴为直线l：1x ，该抛物线与x轴的另一个交点为B（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在直线l上，求出使PAC的周长最小的点P的坐标；（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由Ax=1lyxOCB1解：(1)将 B(0，1)，D(1，0)的坐标代入 yx2bxc 得12得解析式 yx2x13 分1,10.2cbc1232(2)设 C(x0，y0)，则有解得C(4，3)6 分00200011,2131.22yxyxx004,3.xy由图可知：SSACESABD又由对称轴为 x可知 E(2，0)32SAEy0ADOB43318 分1212121292(3)设符合条件的点 P 存在，令 P(a，0)：第 1 题图当 P 为直角顶点时，如图：过 C 作 CFx 轴于 FRtBOPRtPFC，即BOOPPFCF143aa整理得 a24a30解得 a1 或 a3所求的点 P 的坐标为(1，0)或(3，0)综上所述：满足条件的点 P 共有二个2解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 （1 分）225()32yxm 2254()32m （3 分）16m 所求函数关系式为：（4 分）22251210()432633yxxx （2）在 RtABO 中，OA=3，OB=4，225ABOAOB四边形 ABCD 是菱形BC=CD=DA=AB=5 （5 分）ENMDCBAOyxC、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）（6 分）当时，5x 2210554433y 当时，2x 2210224033y 点 C 和点 D 在所求抛物线上（7 分）（3）设直线 CD 对应的函数关系式为，则ykxb5420kbkb解得：48,33kb （9 分）4833yxMNy 轴，M 点的横坐标为 t，N 点的横坐标也为 t则，（10 分）2210433Mytt4833Nyt22248210214202734()3333333322NMlyytttttt ，当时，20372t 32l最大此时点 M 的坐标为（，）72123.解;(1)因为 M(1,-4)是二次函数的顶点坐标，kmxy2)(所以 2 分324)1(22xxxy令解之得.,0322 xx3,121xxA，B 两点的坐标分别为 A（-1，0），B（3,0）4 分(2)在二次函数的图象上存在点 P，使5 分MABPABSS45设则，又,),(yxpyyABSPAB2218421ABSMAB.5,8452yy即二次函数的最小值为-4，.5y当时，.5y4,2xx或故 P 点坐标为（-2，5）或（4，5）7 分（3）如图 1，当直线经过 A 点时，可得8 分)1(bbxy.1b 当直线经过 B 点时，可得9 分)1(bbxy.3b由图可知符合题意的的取值范围为10 分b13b4.解：（1）二次函数的图像经过点 A（2，0）C(0,1)cbxxy2211022ccb 解得：b=c=1-2 分21二次函数的解析式为 -3 分121212xxy（2）设点 D 的坐标为（m，0）（0m2）OD=m AD=2-m由ADEAOC 得，-4 分OCDEAOAD122DEmDE=-5 分22mCDE 的面积=m2122m=242mm41)1(412m当 m=1 时，CDE 的面积最大点 D 的坐标为（1，0）-8 分（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为121212xxy设 y=0 则 解得：x1=2 x2=11212102xx点 B 的坐标为（1，0）C（0，1）设直线 BC 的解析式为：y=kxb 解得：k=-1 b=-110bbk直线 BC 的解析式为:y=x1在 RtAOC 中，AOC=900 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC=5点 B(1,0)点 C（0，1）OB=OC BCO=450当以点 C 为顶点且 PC=AC=时，5设 P(k,k1)过点 P 作 PHy 轴于 HHCP=BCO=450CH=PH=k 在 RtPCH 中k2+k2=解得 k1=，k2=25210210P1（，）P2（，）-10 分21012102101210以 A 为顶点，即 AC=AP=5设 P(k,k1)过点 P 作 PGx 轴于 GAG=2k GP=k1在 RtAPG 中 AG2PG2=AP2（2k)2+(k1)2=5解得：k1=1,k2=0(舍)P3(1,2)-11 分以 P 为顶点，PC=AP 设 P(k,k1)过点 P 作 PQy 轴于点 QPLx 轴于点 LL(k,0)QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=k2AL=k-2,PL=k1在 RtPLA 中(k)2=(k2)2(k1)22解得：k=P4(,)-12 分252527综上所述：存在四个点：P1（，）2101210P2（-，）P3(1,2)P4(,)。21012102527EPyxCBOAGHEPyxCBOA5、解：(1)如图，抛物线 y=ax2+bx+c(a 0)的图象经过点 A(0，6)，c=61 分抛物线的图象又经过点(3，0)和(6，0)，2 分0=9a3b+60=36a+6b+6)解之，得 3 分 故此抛物线的解析式为：y=x2+x+64 分13(2)设点 P 的坐标为(m，0)，则 PC=6m，SABC =BCAO=96=275 分1212PEAB，CEPCAB6 分 =()2,即 =()2SCEPSCABPCBCSCEP276m9 SCEP =(6m)2.7 分13 SAPC =PCAO=(6m)6=3(6m)1212SAPE =SAPCSCEP=3(6m)(6m)2 =(m)2+.131332274当 m=时，SAPE有最大面积为；此时，点 P 的坐标为(,0)8 分3227432(3)如图，过 G 作 GHBC 于点 H，设点 G 的坐标为 G(a，b)，9 分连接 AG、GC，S梯形 AOHG=a(b+6),12 SCHG =(6 a)b12 S四边形 AOCG =a(b+6)+(6 a)b=3(a+b)10 分1212 SAGC=S四边形 AOCG SAOC =3(a+b)1811 分274点 G(a，b)在抛物线 y=x2+x+6 的图象上，13 b=a2+a+6.13 =3(a a2+a+6)1827413 化简，得 4a224a+27=0 解之，得 a1=，a2=3292故点 G 的坐标为(,)或(，)12 分32274921546 答案：（1）由题意，得,0424,04416baba 解得21a，b=1所以抛物线的解析式为4212xxy，顶点 D 的坐标为（1，29）（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M因为 EF 垂直平分 BC，即 C 关于直线 EG的对称点为 B，连结 BD 交于 EF 于一点，则这一点为所求点 H，使 DH+CH 最小，即最小为DH+CH=DH+HB=BD=132322 DMBM 而 25)429(122CD CDH 的周长最小值为 CD+DR+CH=21335 设直线 BD 的解析式为 y=k1x+b，则,29,021111bkbk 解得 231k，b1=3所以直线 BD 的解析式为 y=23x+3由于 BC=25，CE=BC2=5，RtCEGCOB，得 CE:CO=CG:CB，所以 CG=2.5，GO=1.5G（0，1.5）同理可求得直线 EF 的解析式为 y=21x+23联立直线 BD 与 EF 的方程，解得使CDH 的周长最小的点 H（43，815）（3）设 K（t，4212tt），xFtxE过 K 作 x 轴的垂线交 EF 于 N则 KN=yKyN=4212tt（21t+23）=2523212tt所以 SEFK=SKFN+SKNE=21KN（t+3）+21KN（1t）=2KN=t23t+5=（t+23）2+429即当 t=23时，EFK 的面积最大，最大面积为429，此时 K（23，835）7.解：（1）由题意得:2.OB33OB21，B（2，0）3 分 （2）设抛物线的解析式为 y=ax(x+2)y=ax(x+2)，代入点 A（1,），得，333a 6 分232 333yxx（3）存在点 C.过点 A 作 AF 垂直于 x 轴于点 F，抛物线的对称轴 x=-1 交 x 轴于点 E.当点 C 位于对称轴与线段 AB 的交点时，AOC 的周长最小.BCEBAF,).33C(-1,.33BFAFBECE.AFCEBFBE 9 分 （4）存在.如图，设 p(x,y)，直线 AB 为 y=kx+b,则CABOyx ，33,320.2 33kkbkbb解得 直线 AB 为，32 333yx=|OB|YP|+|OB|YD|=|YP|+|YD|BODBPOBPODSSS四1212 =.2332 3333xxSAOD=SAOB-SBOD=-2x+=-x+.321333323333=.ODBODSSPA四33233-33-33332xxx32 x1=-,x2=1(舍去).21p(-,-).2143又SBOD=x+,33332=.ODBBODSSP四3323333332332xxx32x1=-,x2=-2.21P(-2,0)，不符合题意.存在，点 P 坐标是（-，-）.21438.1）将 A（0，1）、B（1，0）坐标代入212yxbxc得1102cbc解得321bc yxAODBP抛物线的解折式为213122yxx（2 分）（2）设点 E 的横坐标为 m，则它的纵坐标为 213122mm即 E 点的坐标（m，213122mm）又点 E 在直线112yx上213111222mmm 解得10m（舍去），24m E 的坐标为（4，3）（4 分）（）当 A 为直角顶点时过 A 作 AP1DE 交 x 轴于 P1点，设 P1（a,0）易知 D 点坐标为（2，0）由RtAODRtPOA 得DOOAOAOP即211a，a21 P1（21，0）（5 分）（）同理，当 E 为直角顶点时，P2点坐标为（112，0）（6 分）（）当 P 为直角顶点时，过 E 作 EFx 轴于 F，设 P3（b、3）由OPA+FPE90，得OPAFEP RtAOPRtPFE 由AOOPPFEF得143bb 解得13b，21b 此时的点 P3的坐标为（1，0）或（3，0）（8 分）综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（21，0）或（1，0）或（3，0）或（112，0）（）抛物线的对称轴为32x（9 分）B、C 关于 x23对称 MCMB要使|AMMC最大，即是使|AMMB最大 由三角形两边之差小于第三边得，当 A、B、M 在同一直线上时|AMMB的值最大（10 分）易知直线 AB 的解折式为1yx 由132yxx 得3212xy M（23，21）（11 分）9.（1）略10、解：（1）直线33 xy与x轴交于 C 点，与 y 轴交于 A 点，令 y=0，得 x=1；令 x=0，得 y=3。A（0，3），C（1，0）。OAB 是等腰直角三角形，OB=OA=3。B（3，0）。设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为)3)(1(xxay，把 A（0，3）代入，得)30)(10(3 a，解得1a。过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为)3)(1(xxy，即322xxy。（2）设 AB 所在直线的解析式为bkxy，则033bkb，解得31bk。直线 CDAB，设直线 CD 的解析式为mxy。将 C（1，0）代入得m)1(0，解得1m。直线 CD 的解析式为1xy。联立3212xxyxy，解得0111yx，5422yx。D 点的坐标为（4，5）。（3）有。过点 P 作 PHx 轴于点 H，设)32(2xxxP，则AOBPHBAOHPABPSSSS-梯形3321)3(32213232122xxxxxx827)23(23292322xxx。当23x时，415322xx。当415 23，P时，PAB 的最大面积为827。11：解：（1）根据题意得，A（1，0），D（0，1），B（3，0），C（0，3）抛物线经过点 A（1，0），B（3，0），C（0，3），则有：，解得，抛物线的解析式为：y=x2+2x3（2）存在APE 为等腰直角三角形，有三种可能的情形：以点 A 为直角顶点如解答图，过点 A 作直线 AD 的垂线，与抛物线交于点 P，与 y 轴交于点 FOA=OD=1，则AOD 为等腰直角三角形，PAAD，则OAF 为等腰直角三角形，OF=1，F（0，1）设直线 PA 的解析式为 y=kx+b，将点 A（1，0），F（0，1）的坐标代入得：，解得 k=1，b=1，y=x1将 y=x1 代入抛物线解析式 y=x2+2x3 得，x2+2x3=x1，整理得：x2+x2=0，解得 x=2 或 x=1，当 x=2 时，y=x1=3，P（2，3）；以点 P 为直角顶点此时PAE=45，因此点 P 只能在 x 轴上或过点 A 与 y 轴平行的直线上过点 A 与 y 轴平行的直线，只有点 A 一个交点，故此种情形不存在；因此点 P 只能在 x 轴上，而抛物线与 x 轴交点只有点 A、点 B，故点 P 与点 B 重合P（3，0）；以点 E 为直角顶点此时EAP=45，由可知，此时点 P 只能与点 B 重合，点 E 位于直线 AD 与对称轴的交点上综上所述，存在点 P，使以点 A、P、E 为顶点的三角形为等腰直角三角形点 P 的坐标为（2，3）或（3，0）（3）抛物线的解析式为：y=x2+2x3=（x+1）24抛物线沿射线 AD 方向平移个单位，相当于向左平移 1 个单位，并向上平移一个单位，平移后的抛物线的解析式为：y=（x+1+1）24+1=x2+4x+112.点评：本题考查了二次函数综合题型，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、抛物线与平移、等腰直角三角形等知识点，试题的考查重点是分类讨论的数学思想考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质.分析：（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）过点 O 作 ODAB 于 D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 CO=DO，利用“SAS”证明APE 和OAD 全等，根据全等三角形对应角相等可得AEP=ADO=90，从而得证；（3）设 C0=3k，AC=8k，表示出 AE=CO=3k，AO=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出PE=4k，BC=BD=104k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出 k=1 然后在 RtBDO 中，利用勾股定理列式求解即可解答：（1）证明：C=90，BAP=90CBO+BOC=90，ABP+APB=90，又CBO=ABP，BOC=ABP，BOC=AOP，AOP=ABP，AP=AO；（2）证明：如图，过点 O 作 ODAB 于 D，CBO=ABP，CO=DO，AE=OC，AE=OD，AOD+OAD=90，PAE+OAD=90，AOD=PAE，在AOD 和PAE 中，AODPAE（SAS），AEP=ADO=90PEAO；（3）解：设 AE=OC=3k，AE=AC，AC=8k，OE=ACAEOC=2k，OA=OE+AE=5k由（1）可知，AP=AO=5k如图，过点 O 作 ODAB 于点 D，CBO=ABP，OD=OC=3k在 RtAOD 中，AD=4kBD=ABAD=104kODAP，即AB=10，PE=AD，PE=AD=4K，BD=ABAD=104k，由CBO=ABP，根据轴对称 BC=BD=104k，BOC=EOP，C=PEO=90，BCOPEO，=，即=，解得 k=1BD=104k=6，OD=3k=3，在 RtBDO 中，由勾股定理得：BO=3点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段 DO 并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出 k=1 是解题的关键