高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案.pdf

抛物线专题复习抛物线专题复习知识点梳理：知识点梳理：抛物线)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx定义平面内与一个定点和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点Fl叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。Fl=点 M 到直线 的距离MFMl范围0,xyR0,xyR,0 xR y,0 xR y对称性关于轴对称x关于轴对称y(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p焦点焦点在对称轴上顶点(0,0)O离心率=1e2px2px 2py2py 准线方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离2p焦点到准线的距离p焦半径焦半径11(,)A x y12pAFx12pAFx 12pAFy12pAFy xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF焦焦 点弦点弦 长长AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yyp以以为直径的圆必与准线为直径的圆必与准线 相切相切ABl若若的倾斜角为的倾斜角为，则，则AB22sinpAB若若的倾斜角为的倾斜角为，则，则AB22cospAB 2124px x 212y yp 焦点弦的几AB条性质11(,)A x y22(,)B xy112AFBFABAFBFAFBFAFBFp切线方程00()y yp xx00()y yp xx 00()x xp yy00()x xp yy 一直线与抛物线的位置关系一直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；l（2）当 k0 时，0，直线 与抛物线相交，两个不同交点；l =0，直线 与抛物线相切，一个切点；l 0，直线 与抛物线相离，无公共点。l（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法二关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线：抛物线，lbkxy)0(p联立方程法：联立方程法：pxybkxy220)(2222bxpkbxko ox22,B xyF Fy y11,A x y设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出),(11yxA),(22yxB02121,xxxx，bxxkbkxbkxyy2)(2121212212122121)()(bxxkbxxkbkxbkxyy在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如相交弦相交弦 ABAB 的弦长的弦长 2122122124)(11xxxxkxxkABak21或 2122122124)(1111yyyykyykABak21抛物线练习抛物线练习1、已知点 P 在抛物线 y2=4x 上，那么点 P 到点 Q（2，1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为 2、已知点 P 是抛物线上的一个动点，则点 P 到点（0，2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的22yx最小值为 3、直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，3yx24yx,A B,A B,P Q则梯形的面积为 APQB4、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为OF22(0)ypx pAFA x，则为 60OA 5、抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点24yxFlF3x，垂足为，则的面积是 AAKlKAKF6、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则2:8C yxFxKAC2AKAF的面积为 AFK7、已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 22145xy8、在平面直角坐标系中，有一定点,若线段的垂直平分线过抛物线则该抛物xoy(2,1)AOA22(0)ypx p线的方程是 。9、在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点P(2，4)，则该抛物线的方xoyxO程是 10、抛物线上的点到直线距离的最小值是 2yx 4380 xy11、已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则 y12+y22的最小值是 12、已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,11(,)A x y22(,)B xy12(0)x x 22(0)ypx pOOA 满足.设圆的方程为。OB OAOBOAOB C221212()()0 xyxx xyyy(1)证明线段是圆的直径;ABC(2)当圆 C 的圆心到直线 x-2y=0 的距离的最小值为时，求 p 的值。2 55解：(1)证明:，22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB ，222222OAOA OBOBOAOA OBOB 整理得:，(1)0OA OB 12120 xxyy以线段 AB 为直径的圆的方程为，2222121212121()()()()224xxyyxyxxyy展开并将(1)代入得:，221212()()0 xyxx xyyy故线段是圆的直径ABC(2)解:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则121222xxxyyy圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则1212|()|25xxyyd，又因，2211222,2(0)ypx ypxp22121224y yx xp12120 xxyy1212xxyy，22121224y yyyp12120,0 xxyy2124yyp，2212122221212121|()()|24()8|454 5yyyyyyy yp yyppdp2212(2)44 5yyppp当时,d 有最小值,由题设得，.122yyp5p2 555p2p13、已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆OAB22yxOCOAB（点为圆心）C（1）求圆的方程；C（2）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线M22(47cos)(7cos)1xyMPC，切点为，求的最大值和最小值PEPF，EF，CE CF ，（1）解：设两点坐标分别为，由题设知AB，11()xy，22()xy，又因为，可得即22221122xyxy2112yx2222yx22112222xxxx由，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在1212()(2)0 xxxx10 x 20 x 12xxAB，xC轴上设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以xC(0)r，A3322rr，233222rr4r 圆的方程为 C22(4)16xy（2）解：设，则 2ECFa2|cos216cos232cos16CE CFCECF AAA在中，由圆的几何性质得RtPCE4cos|xPCPC，|17PCMC 18|17 16PCMC 所以，由此可得则的最大值为，最小值为12cos231689CE CF ACE CF A169814、如图，已知点，直线，为平面上的动点，(10)F，:1l x P过作直线 的垂线，垂足为点，且PlQQP QFFP FQ AA（1）求动点的轨迹的方程；PC（2）过点的直线交轨迹于两点，交直线 于点，已知，求FCAB，lM1MAAF 12MBBF 的值；12解：（1）设点，则，由得：()P xy，(1)Qy，QP QFFP FQ AA，化简得(10)(2)(1)(2)xyxyyAA，2:4C yx（2）设直线的方程为AB1(0)xmym设，又，11()A xy，22()B xy，21Mm，联立方程组，消去得：241yxxmy，x，故2440ymy2(4)120m Oyx1lFPBQMFOAxy121244yymy y，由，得：1MAAF 2MBBF，整理得：1112yym 2222yym，1121my 2221my 12122112myy 121222yymy y A2 424mm A0