基础随机变量及其分布知识点.pdf

随机变量及其分布随机变量及其分布一、离散型随机变量的分布列一、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量 X 可能取的值为，X 取每一12,inx xxx个值的概率，则称以下表格(1,2,)ix in()iiP XxpXx1x2xixnPp1p2pipn为随机变量 X 的概率分布列，简称 X 的分布列.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：（1）0,1,2,iPin（2）121nppp常见的两种分布：常见的两种分布：1 1两点分布两点分布如果随机变量 X 的分布列为X01P1-pp则称 X 服从两点分布，并称为成功概率.=P(X=1)p2 2超几何分布超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有 X 件次品，则事件发生的概率为：Xk(),0,1,2,3,.,kn kMN MnNC CP XkkmC则随机变量 X 的概率分布列如下：X01mP00nMN MnNC CC11nMN MnNC CCmn mMN MnNC CC。*min,mM nnN MN n M NN其中且注：超几何分布的模型是不放回抽样注：超几何分布的模型是不放回抽样二、条件概率二、条件概率一般地，设 A,B 为两个事件,且,称为在事件()0P A()(|)()P ABP B AP AA 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率.0(|)1P B A三、相互独立事件相互独立事件设 A，B 两个事件，如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响(即),则称事件 A 与事件 B 相互独立。()()()P ABP A P B()()()ABP ABP A P B即、相互独立一般地，如果事件 A1,A2,An 两两相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即.1212(.)()().()nnP A AAP A P AP A注：(1)互斥事件互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、四、n n 次独立重复试验次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验.在 次独立重复试验中，记是“第 次试验的结果”，显然，niAi1212()()()()nnP A AAP A P AP A“相同条件下相同条件下”等价于等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响各次试验的结果不会受其他试验的影响注:独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.五、二项分布五、二项分布一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则()(1)0,1,2,kkn knP XkC ppkn，X01knP00nnC p q111nnC p qkkn knC p q0nnnC p q此时称随机变量 X 服从二项分布，记作，并称 p 为成功概率.(,)XB n p六、离散随机变量的均值（数学期望）六、离散随机变量的均值（数学期望）一般地，随机变量 X 的概率分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称1122()iinnE Xx px px px p为 X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.1若，其中 a，b为常数，则 Y 也是变量YaXbY1axb2axbiaxbnaxbPp1p2pipn则，即()EYaE Xb()()E aXbaE Xb2一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么()=10(1)E Xppp 即若 X 服从两点分布，则()E Xp3若，则(,)XB n p()E Xnp七、离散型随机变量取值的方差和标准差七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地,若离散型随机变量 x 的概率分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn2221122()()().nnDXxE XpxE XpxE XpXDXX则称为随机变量的方差并称为随机变量的标准差1若 X 服从两点分布，则()(1)D Xpp2若，则(,)XB n p()(1)D Xnpp32()()D aXba D X8 8、正态分布正态分布1.正态分布一般记为 N(，2)为正态分布的均值；是正态分布的标准差2结合正态曲线，归纳其以下性质：(1)曲线在 x 轴的上方，与 x 轴不相交(2)曲线关于直线 x 对称(3)当 x 时，曲线位于最高点(4)当 x 时，曲线上升(增函数)；当 x 时，曲线下降(减函数)并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向它无限靠近(5)一定时，曲线的形状由 确定 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小，曲线越“高”，总体分布越集中；33 原则：对于正态总体取值的概率：),(2N68.3%2x95.4%4x99.7%6x练习：练习：1.正态分布有两个参数与，()相应的正态曲线的形状越扁平。A越大 B越小 C越大 D越小2在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布，那么)36,100(考试成绩在区间内的概率是112,88A06826 B03174 C09544 D099743若xN(0,1),求P(x2).P(x-1)