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换元法在解题中的应用哈尔滨师范大学教师教育学院邹佳珊摘要:换元法是在解题时引入新变量,借助新变量进行解题的方法换元思想的本质是把复杂、不熟悉的问题转化为简单、解决起来顺手的问题“难题”并非无本之木,借助于换元法,总可以寻到蛛丝马迹,将难题转变为熟悉的形式本文中结合几个典型案例,从“为何换元”“如何换元”“求解步骤”三个方面介绍了换元法在解题中的应用关键词:换元法;解题;整体换元;三角换元换元法又称辅助元素法、变量代换法,是在解题的过程中引进新的变量,把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来,变为熟悉的形式,把复杂的计算和推理论证过程简化换元法是高中数学解题中的一类重要而巧妙的解题方法在数学中,“元”是未知数的意思,我们在解题中经常遇到含有未知数的情形,例如方程、不等式、函数等利用换元法来解决这类问题,不仅有利于快速找到解题思路,而且解题过程方便灵活,掌握换元法的基本思想及方法对提升数学解题能力大有益处常见的换元方法有整体换元、三角换元等,下面以具体的习题为例,探究何时可以利用换元法解题整体换元法的应用当某个代数式作为“整体”反复多次出现,为了简化计算,可以将重复出现的部分进行“换元”处理例解方程:xxxx为何“换元”:此题如果直接去分母进行求解,会得到一个四次方程通过观察可以发现xx既在等式左边出现,又是等式右边的分母,把这一部分替换成另一个未知数,可以达到降幂的效果,将难解的高阶方程化为熟悉的一元二次方程如何“换元”:将xx设为a,原方程就可以转化为aa(a)这时再去分母,解关于a的一元二次方程,可以得出a,a,再根据xxa,解出x,x例已知函数fx()x,则函数f(x)的解析式为 为何“换元”:我们很难直接想出x是由x经过怎样的变换得到的,既不容易找对变换思路,计算也较为困难如何“换元”:直接将本该是未知数的x设为t,可解出xt(),t把x(t)代入原解析式中,则f(t)tt(t)我们知道,对应关系与自变量取哪个字母无关,故f(x)xx(x)例求y s i nx,x,的值域为何“换元”:根据三角函数的相关知识,已知x的取值范围可以求出ys i nx的值域,利用换元法,可以将s i nx转化为我们熟悉的s i nx的形式如何“换元”:设tx,t的取值范围随x的变化而变化,则t,结合图象可知y s i nt的取值范围为,理解换元法的本质进而用换元法来求函数的值域是高中数学的重要知识点本题比较简单,虽然也可以利用其他方法来求解,但是对学生理解换元法的内涵有启发作用例已 知 函 数f(x)s i n x,若 方 程f(x)在区间,()内的解为x,x(xx),则s i n(xx)的值为如何“换元”:仿照例,此题仍然可以将复合函数的内部进行换元,转化为我们熟悉的s i nx的形式,令tx,t,为何“换元”:题干中的方程转化为s i nt,虽然我们仍不知道哪个特殊的角其正弦值为,但已经达到了化简条件的目的图如图,平行于横轴的直线y与函数图象的交点横坐标分别为t,t根据tx,可以利用t来表示x,x,则xt,xt 年 月上半月 争鸣探索教育纵横由xx,可知tt,且对称轴为t,可得tt,则s i n(xx)s i ntts i ntts i nt ts i ntc o st因为tt,所以t,于是c o st s i nt 故s i n(xx)例(年高考浙江理数)已知ab,若l o gab l o gba,abba,则a,b 为何“换元”:根据对数的性质,l o gab和l o gba互为倒数,即一个数与它的倒数之和为,为了解题方便,可以利用“换元法”如何“换元”:不妨将l o gab设为t,则原方程变为tt,解得t或因为ab,所以t,则ab代入abba中,得bbbb故b,a三角换元法的应用三角换元常用于去根号,或者将代数式变换为三角形式更易求解主要利用已知代数式与三角知识的某种联系进行换元例求函数yxx的值域为何“换 元”:不 难 发 现x的 取 值 范 围 是xx,恰好是正弦函数ys i nx值域的子集,我们又有去根号的需要,希望可以通过换元将被开方数的次数变为如何“换元”:不妨设xs i na,a,恰好可以消去两个“根号”如此一来,问题就转变成了求ys i nac o sa,a,的值域利用辅助角公式,将ys i nac o sa转化为y s i na,a,根据函数图象,不难发现其值域为,如变量x,y适合条件xyr时,也可以作三角代换:xrc o s,yrs i n例(年清华大学强基计划)若xy,则xx yy的取值范围是为何“换元”:前面已经提到了xyr的换元方法,此题不过是对r的取值范围做了限制如何“换元”:,若设xrc o s,yrs i n,)根据题意可知r,则xx yyrc o src o ss i nrs i nrc o ss i n(c o s)r(c o ss i n)r(s i n),其中c o s,s i n根据(s i n),可得xx yy的取值范围为,例(年复旦大学强基计划)已知实数x,y满足xx y,求xy的最小值为何“换元”:看到xyr,依然是三角换元法的常见形式,可以先换元,再检验是否可行如何“换 元”:设xrc o s,yrs i n,),代入xx y中,可以得到rc o srs i nc o s由于我们要求的是r,因此整理得rc o ss i n根据辅助角公式,可得r所以xy的最小值为本题启发我们,xyr无论是在题干中出现,还是求它的取值范围,都可以考虑利用三角换元法来求解孔子曰:“举一隅不以三隅反,则不复也”经过以上几道例题的分析,可以总结得出何时应用换元法解题:若题目中有重复出现的部分,则常常可以对重复出现的部分进行换元,利用整体换元法求解;而三角换元法则往往是被换元部分的取值范围与三角函数值的范围,或(,)等相关,或有“去根号”的需要,合理利用同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、辅助角公式等进一步化简求值参考文献:董良换元法在数学解题中的应用J课程教材教学研究(中教研究),(Z):杨建奇,朱雯婷中学数学教学中换元法思想的培养J科技风,():王弟成把握本质精心设计J数学通报,():Z教育纵横争鸣探索 年 月上半月