参数方程应用总结.pdf

1参数方程应用专题参数方程应用专题1、圆的参数方程的应用圆的参数方程的应用圆圆的参数方程为的参数方程为 （为参数为参数）222()()xaybRcossinxaRybR1、求最值求最值为圆上一点为圆上一点yxP,（1）求求的最值（的最值（2）求）求的最值的最值22CyBxyAxByAx（3）A,B 为定点，求为定点，求的最值。的最值。22PBPA 例例 1 已知点已知点 P（x，y）在圆）在圆上，上，221xy（1）求求的最大值和最小值。的最大值和最小值。（2）求）求的最值的最值 (3)2223xxyyyx2的最值。的最值。22220,24,10,121PDPCPBPADCBA求及和和，点 练习练习 1、已知实数、已知实数满足满足，求，求的最值。的最值。yx,252122yxyxyx2,22 2 2、在、在ABCABC 中，中，A,B,CA,B,C 所对的边分别为所对的边分别为 a a、b b、c c，且，且 c=10,，P 为为ABC 的内切圆的动点，求点的内切圆的动点，求点 P 到顶点到顶点 A、B、C 的距的距离离34coscosabBA的平方和的最大值和最小值。的平方和的最大值和最小值。2二、求轨迹二、求轨迹例例 2 在圆在圆上有定点上有定点 A（2，0），224xy及两个动点及两个动点 B、C，且，且 A、B、C 按逆时针方向按逆时针方向排列，排列，BAC=，求，求ABC 的重心的重心3G（x，y）的轨迹方程。）的轨迹方程。三、求范围三、求范围例例 3 已知点已知点 P（x，y）是圆）是圆上任意一点，欲使不等式上任意一点，欲使不等式22(1)1xyx+y+c0 恒成立，求恒成立，求 c 的取值范围。的取值范围。四、求斜率四、求斜率例例 4 求函数求函数的最大值和最的最大值和最sin1()cos2f小值。小值。CxyOAB图 1Oxy(2,1)图 232、椭圆的参数方程的应用椭圆的参数方程的应用的参数方程为的参数方程为（为参数）为参数）22221xyabcossinxayb一、求椭圆的内接多边形的周长及面积一、求椭圆的内接多边形的周长及面积例例 1 求椭圆求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值。的内接矩形的面积及周长的最大值。)0ba(1byax2222二、求轨迹二、求轨迹例例 2 已知点已知点 A 在椭圆在椭圆上运动，点上运动，点 B（0，9）、点、点 M 在线段在线段 AB136y144x22上，且上，且，试求动点，试求动点 M 的轨迹方程。的轨迹方程。21MBAM3、求最值求最值 P(X,Y)为椭圆上一点为椭圆上一点（1）求）求的最值（的最值（2）求）求的最值的最值22CyBxyAxByAx（3）P为椭圆上一点，为椭圆上一点，A,B 为定点，求为定点，求的最值。的最值。),(yx22PBPA 点的坐标。距离最值，和圆上与为椭圆外一定点，求椭AAA4(5)的距离的最值。求椭圆上的点到直线已知直线lCByAxl,0:4例例 3 设点设点 P（x，y）在椭圆）在椭圆，19y16x22（1）试求点试求点 P 到直线到直线的距离的距离 d 的最大值和最小值。的最大值和最小值。05yx（2）已知已知，求，求的最值。的最值。（3）求）求的最值。的最值。），（86APAyx32 （4）已知）已知求求的最值。的最值。2,12,12,12,1DCBA2222PDPCPBPA3、已知椭圆、已知椭圆有一内接矩形有一内接矩形 ABCD，求矩形，求矩形 ABCD 的最大面积。的最大面积。22110064xy221(,)23122P x yxyxy例、设是椭圆上的一个动点，求的取值范围。221942100 xyMMxy例2、在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求出最小距离54.动点动点 P(x,y)在曲线在曲线 上变化上变化，求，求 2x+3y 的最大值和最小值的最大值和最小值22y194x5设 是椭圆上的一个动点，则的最大值是，最小值是。Pxyxy23122226，xyP2294110 上一点 与定点（，）之间距离的最小值7，设直线，设直线，交椭圆，交椭圆于于 A、B 两点，在椭圆两点，在椭圆 C 上上022:yxl149:22yxC找一点找一点 P，使，使面积最大。面积最大。ABP 3,直线的参数方程直线的参数方程6过定点、倾斜角为的直线 的参数方程为（t 为参数）),(000yxMlsincos00tyytxx（1）的几何意义是直线上点 M 到 M0的距离。（2）若 t=0,则点与点 M 重合.由此，易得参数 t 具有如下 的性质：若直线 上两点 A、B 所对应的参数分别为l，则BAtt,性质一：A、B 两点之间的距离为，特别地，A、B 两点到的距离|BAttAB0M分别为.|,|BAtt性质二：A、B 两点的中点所对应的参数为，2BAtt 若是线段 AB 的中点，则，反之亦然。0M0BAtt一一 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离例例 1 1.设直线 经过点(1,5),倾斜角为,1)求直线 和直线的交点到点的距离;2)求直线 和圆的两个交点到点的距离的和与积.二 求直线与曲线相交的弦长求直线与曲线相交的弦长7例例 2 2 过抛物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于 A、B 两点，求|AB|.例例 3 已知直线 L:x+y-1=0 与抛物线 y=交于 A,B 两点,求线段 AB 的长和点 M(-1,2)到A,B 两点的距离之积.点评:本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点 M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数 t 的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.3、求解中点问题求解中点问题 例例 1,已知经过点 P(2,0),斜率为的直线和抛物线相交于 A,B 两点,设线段 AB的中点为 M,求点 M 的坐标.点评:在直线的参数方程中,当 t0,则的方向向上;当 t0,则的方向向下,所以 A,B中点的 M 所对应的 t 的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同.例例 2经过点 P(1，2)，倾斜角为 的直线 l 与圆 x2+y2=9 相交于 A，B 两点，求 PA 48+PB 和 PA PB 的值。点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。练习一、1 已知：直线 过点，斜率为，直线 和抛物线相交于两点，设线l)0,2(P34lxy22BA,段的中点为，ABM求（1）两点间的距离。（2）点的坐标。（3）线段的长。MP,MABAB2.直线（为参数）被双曲线上截得的弦长为。xtyttxy231223.直线，则 AB 的中点坐标为xtyttxyAB 1123 3321622（为参数）与圆交于、两点_。4.(1)写出经过点，倾斜角是的直线 l 的参数方程；)5,1(0M3/(2)利用这个参数方程，求这条直线 l 与直线的交点到点 M0的距离。032 yx(3)求这条直线 l 和圆的两个交点到点 M0的距离的和与积。1622 yx5 求经过点(1，1)，倾斜角为 135的直线截椭圆所得的弦长。1422 yx96.已知双曲线 G 的中心在原点，它的渐近线方程是过点作斜率为xy214,0P 的直线，使得 和交于两点，和轴交于点，并且点在线段上，又满14llG,A ByCPAB足求双曲线的方程；2PAPBPCG7.已知 ll,l2是过点 P()的两条互相垂直的直线,且 ll,l2与双曲线 y2x2=1 各有两个交点,2 0,分别为 A1,B1和 A2,B2.若|A1B1|A2B2|,求 ll,l2的方程.58.已知直线 过点,且与轴轴的正半轴分别交于 A,B 两点,求的值为最l2,3PxyPBPA 小值时的直线 的方程.l9.下表是一条直线上的点和对应参数的统计值参数22622横坐标2212320纵坐标2562357根据数据,可知直线的参数方程为 ,直线被圆截得85222yx的弦长为 练习二、10 的最大值为则满足、实数并求出最小距离。的距离最小，到直线使上求一点在椭圆课本原题、的取值范围。恒成立，求的取值范围。求上的动点是、设的最值。的距离到直线点的最值。的最值。上的一点，求是圆、已知的最小值。的最大值。，求满足、如果实数yxyxyxyxMMyxccyxyxyyxyxPdyxPyxyxyxyxyxPxyyxxyxyx32,1243,50102,149402212,30132101246,221014,122222222222211的最值。上任意一点，求为圆上任意一点，为椭圆、的坐标。并求此时点？的距离的最大值是多少到直线上，则在椭圆、点距离的最小值上的点到直线、求椭圆最值求满足、已知实数AByxByxAMyxMyxyxMyxyxyxzyxyx1119259041412,8.04214972,11625,6222222222212练习三轨迹问题练习三轨迹问题 轨迹方程。的中点上运动，求线段在圆端点的端点、线段什么曲线。轨迹方程，并指出它是点的变化时，求的中点，当为的垂线，垂足为作过坐标原点的交点坐标。、时，求当为参数，圆为参数直线、，求、异于极点的交点分别为、与射线的方程求点的轨迹为足点满上的动点，是，为参数的参数方程为曲线、的轨迹方程。作匀速圆周运动时，求绕的中点，当是轴上的动点，是，是圆上的动点，的半径为课本原题、的轨迹方程。的重心求在该椭圆上运动，点的右顶点和上顶点，动分别为椭圆、的轨迹是否经过原点。的函数，并判断点表示为到坐标原点的距离将的轨迹方程。求中点为，上，对应参数分别为为参数都在曲线、已知、MAByxABABPOAPACOCCyxCttytxCABBACCCCPOMOPPCMyxCMOPPQMxQGABCCyxBAMdMMPQMyxCQP41,3,46,231sincos:sincos1:20105.32.1,2sin22cos22011406P2o31936221.202sin2cos220131221212121221122