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概率与统计大题总结一、知识点汇编：1.线性回归分析线性回归分析（1）函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法（2）线性回归分析：方法是画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率R2越接近于 1，表示回归的效果越好如果对某组数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析，也可以通过比较几个 R2，选择 R2大的模型作为这组数据的模型说明：r 只能用于线性模型，R2则可用于任一种模型.对线性回归模型来说，.22Rr3、独立性检验独立性检验（1）对于性别变量，其取值为男和女两种这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量分类变量（2）假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的值域分别为和其样本频数列联11x,y12y,y表称为 22 列联表：y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd（3）构造随机变量22 abcdadbcK,abcdacbd利用 K2的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，这种方法称为如：如果 k7.879，就有 99.5的把握认为“X 与 Y 有关系”.4、概率事件的关系：事件的关系：事件 B 包含事件 A：事件 A 发生，事件 B 一定发生，记作；BA 事件 A 与事件 B 相等：若，则事件 A 与 B 相等，记作 A=B；ABBA,并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件 A 发生或 B 发生，记作（或BA）；BA并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件 A 发生且 B 发生，记作（或BA）；AB事件 A 与事件 B 互斥：若为不可能事件（），则事件 A 与互BA BA斥；对立事件：为不可能事件，为必然事件，则 A 与 B 互为对立事件。BABA概率公式：概率公式：古典概型：；基本事件的总数包含的基本事件的个数AAP)(几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件AAP)(；5、统计案例抽样方法：抽样方法：简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为 N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为 n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。注：每个个体被抽到的概率为；Nn常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。注：步骤：编号；分段；在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；按预先制定的规则抽取样本。分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数Nn注注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等频率分布直方图与茎叶图：频率分布直方图与茎叶图：用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。总体特征数的估计：总体特征数的估计：样本平均数；niinxnxxxnx1211)(1样本方差；)()()(1222212xxxxxxnSn 21)(1xxnnii样本标准差=)()()(122221xxxxxxnSn 21)(1xxnnii大题训练1(本小题满分 12 分)某中学准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试在待测试的某一个小组中有男、女生共 10 人(其中女生人数多于男生人数)，如果从中随机选 2 人参加测试，其中恰为一男一女的概率为.815(1)求该小组中女生的人数；(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率为，每个男生34通过的频率为.现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙 3 个人进行测试，记这 3 个人中通23过测试的人数为随机变量，求 的分布列和数学期望解析(1)设该小组有 n 个女生，根据题意，得，(3 分)C1 nC110nC 2 10815解得 n6 或 n4(舍去)(5 分)该小组中有 6 个女生(6 分)(2)由题意知，的所有可能取值为 0,1,2,3，P(0)，(7 分)131314136P(1)C ()2，(8 分)1 22313141334736P(2)C ()2 ，(9 分)1 2231334231449P(3)()2 .(10 分)233413 的分布列为(11 分)E()012 3.(12 分)136736491325122(2014江西红色六校二次联考)(本小题满分 12 分)某企业招聘工作人员，设置 A，B，C 三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加 A 组测试，丙、丁两人各自独立参加 B 组测试已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为，丙、丁两人各自通过测试的概率均为.1312戊参加 C 组测试，C 组共有 6 道试题，戊会其中 4 题戊只能且必须选择 4 题作答，至少答对 3 题则竞聘成功(1)求戊竞聘成功的概率；(2)求参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数的概率；(3)记 A、B 组测试通过的总人数为，求 的分布列和期望解析(1)设戊竞聘成功为 A 事件，则 P(A).(3 分)C4 4C3 4C1 2C4 6181535(2)设参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数为 B 事件，则 P(B)C ()2 ()2 C()2.(6 分)1 213231213131213131 212736(3)的所有可能取值为 0,1,2,3,4，P(0)，2323121219P(1)C C ，1 21323121223231 2121213P(2)C C ，13131212232312121 213231 212121336P(3)C C ，13131 212121 213231212160123P1367364913P(4).(10 分)13131212136所以 的分布列为01234P1913133616136E()0 1 23 4.(12 分)1913133616136533(2014石家庄一模)(本小题满分 12 分)现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目非你莫属，若甲应聘成功的概率为，12乙、丙应聘成功的概率均为(0t0，P(2)P(0)0，P(2)t12t24t24P(3)0.2tt24又因为 0t2，所以 t 的取值范围是 1t2.(11 分)所以 E().(12 分)32524(本小题满分 12 分)周先生的船舱中装有 6 条小鱼和 1 条大鱼，由于在海上漂流，他计划从当天开始，每天从该船中捕捉 1 条鱼(每条鱼被抓到的概率相同)并吃掉来维持生计若大鱼未被捕捉，则它每天要吃掉 1 条小鱼(1)求这 7 条鱼中至少有 6 条被周先生吃的概率；(2)以 表示这 7 条鱼中被周先生吃掉的条掉，求 的分布列及其数学期望解析(1)设周先生能吃到的鱼的条数为，若周先生要吃到 7 条鱼，则必须在第一天吃掉大鱼，P(7)，17若周先生要吃到 6 条鱼，则必须在第二天吃掉大鱼，P(6).6715635故周先生至少吃掉 6 条鱼的概率是 P(6)P(6)P(7).(4 分)1135(2)周先生能吃到的鱼的条数 可取 4,5,6,7，最坏的情况是只能吃到 4 条鱼：前 3 天各吃掉 1 条小鱼，其余 3 条小鱼被大鱼吃掉，第 4 天吃掉大鱼，其概率为P(4)，(6 分)6745231635P(5)，674513835由(1)知 P(6)，P(7).(8 分)63517所以 的分布列为4567P163583563517(10 分)故 E()5.(12 分)4 16355 8356 6357 175(2014北京)(每小题满分 13 分)李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场 12212客场 1188主场 21512客场 21312主场 3128客场 3217主场 4238客场 41815主场 52420客场 52512(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率；(3)记 为表中 10 个命中次数的平均数从上述比赛中随机选择一场，记 X 为李明在这x场比赛中的命中次数比较 E(X)与 的大小(只需写出结论)x思路(1)利用古典概型求概率；(2)利用互斥事件和独立事件概率计算公式求概率；(3)直接利用数学期望公式求解解析(1)根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 场，分别是主场 2，主场 3，主场 5，客场 2，客场 4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5.(3 分)(2)记事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6”则 CA B，A，B 独立(5 分)BA根据投篮统计数据，P(A)，P(B).3525P(C)P(A)P(B)BA 35352525.(8 分)1325所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率为.(9 分)1325(3)E(X).(13 分)x6(本小题满分 12 分)我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在 A，B 两城市之间开通高速列车，假设列车在试运行期间，每天在 8：009：00,9：0010：00 两个时间段内各发一趟由 A 城开往B 城的列车(两车发车情况互不影响)，A 城发车时间及概率如下表所示：发车时间8：108：308：509：109：309：50概率161312161312若甲、乙两位旅客打算从 A 城到 B 城，他们到达 A 城火车站的时间分别是周六 8：00和周日 8：20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)(1)求甲、乙两人候车时间相等的概率；(2)设乙候车所需时间为随机变量，求 的分布列和数学期望 E()解析(1)由题意得，甲、乙两人的候车时间分别是 10 分钟，30 分钟，50 分钟的概率为 P甲(10)，P甲(30)，P甲(50)；P乙(10)，P乙(30)，P乙(50).(416131213121616136分)所以甲、乙两人候车时间相等的概率 P .(6 分)16131312121361772(2)的所有可能取值为 10,30,50,70,90，(单位：分钟)所以 的分布列为1030507090P1312136118112数学期望 E()10 30 507090.(12 分)131213611811228097(本小题满分 12 分)考古工作人员在某遗址经过全面勘探、调查和试掘，判定该遗址有A，B，C，D，E，F 六件珍贵物件，且这六件珍贵物件呈如图所示的位置在地底埋藏着，考古工作人员需挖掘出上面的某个物件后才能挖掘其相应位置下面的物件(1)若要求先挖掘物件 A，B，C，E，求物件 E 第 3 次被挖掘到的概率；(2)设物件 E 第 X 次被挖掘到，求随机变量 X 的分布列与数学期望解析(1)由题意，可将上述问题转化为：挖掘 4 个物件 A，B，C，E 进行了 4 个步骤，且挖掘 B 步骤一定在挖掘 E 步骤前，物件 E 可在第 2 步、第 3 步或第 4 步被挖掘到方法一分类列举(不考虑 D，F)：若 E 在第 2 步被挖掘到，则 B 必在第 1 步被挖掘到，故有 A 2 种情况；(1 分)2 2若 E 在第 3 步被挖掘到，则 B 在 E 前选 1 步被挖掘到，故有 C A 4 种情况；(3 分)1 2 2 2若 E 在第 4 步被挖掘到，则有 A 6 种情况(4 分)3 3故物件 E 第 3 次被挖掘到的概率 P.(5 分)41213方法二排组计数(考虑了 D，F)：因为 B 必在 E 前，即 B，E 步骤顺序一定，故总的可能情况有 C A A 24 种(2 分)2 4 2 2 2 2若 E 在第 3 步被挖掘到，则 B 在 E 前选 1 步被挖掘到，故有 C A A 8 种情况，(41 2 2 2 2 2分)故物件 E 第 3 次被挖掘到的概率 P.(5 分)82413(2)由题意，可将上述问题转化为：挖掘 6 个物件 A，B，C，D，E，F 进行了 6 个步骤，且要求 A 在 D 前，B 在 E 前，C 在 F 前则物件 E 可在第 2 步、第 3 步、第 4 步、第 5 步、第 6 步被挖掘到，即 X 的所有可能取值为 2,3,4,5,6.P(X2)，P(X3)，C2 4C2 2C2 6C2 4C2 2115C1 2C2 4C2 2C2 6C2 4C2 2215P(X4)，P(X5)，C1 3C2 4C2 2C2 6C2 4C2 215C1 4C2 4C2 2C2 6C2 4C2 2415P(X6).C1 5C2 4C2 2C2 6C2 4C2 213随机变量 X 的分布列为X23456P1152151541513(10 分)所以 E(X)234 56.(12 分)11521515415131438(2014成都二次诊断)(本小题满分 12 分)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于 6 千小时的产品为优质品现用 A，B 两种不同型号的节能灯做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示：以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率(1)现从大量的 A，B 两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率；(2)已知 A 型节能灯的生产厂家对使用时间小于 6 千小时的节能灯实行“三包”通过多年统计发现，A 型节能灯每件产品的利润 y(单位：元)与其使用时间 t(单位：千小时)的关系如下表：使用时间 t(单位：千小时)t44t3.841.300 45 60165 30275 225 210 9010021所以有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”(12 分)探究知识：分层抽样、频率分布直方图、独立性检验能力：根据频率分布直方图求概率、分层抽样计算女生的人数以及根据 K2进行独立性检验，考查运算求解能力、分析解决问题的能力、数据处理能力以及逻辑思维运算能力试题难度：中等10(2014山东六校联考)(本小题满分 12 分)为改善城市雾霾天气造成的空气污染，社会各界掀起净化、美化环境的热潮某单位计划在办公楼前种植 A，B，C，D 四棵风景树，受本地地理环境的影响，A，B 两棵树种成活的概率均为，另外两棵树种的成活率都为 a(0a1)12(1)若出现 A，B 有且只有一棵成活的概率与 C，D 都成活的概率相等，求 a 的值；(2)当 a 时，记 为最终成活的树的数量，求 的分布列和数学期望 E()23思路本题以社会热点问题为命题背景，考查概率的计算、随机变量 的分布列和数学期望 E()的计算(1)根据 A，B 有且只有一棵成活的概率与 C，D 都成活的概率相等列出等式即可求出a 的值；(2)考查离散型随机变量的期望值，求解离散型随机变量的问题，首先根据题意分别求出随机变量 的可能取值对应的概率，列出 的分布列，再根据期望公式计算 E()的值解析(1)由题意，得 2(1)a2，解得 a.(4 分)121222(2)依题意，随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，则 P(0)C(1)2C(1)2，0 2120 223136P(1)C (1)C(1)2C(1)2C (1)，1 212120 2230 2121 2232316P(2)C()2C(1)2C (1)C (1)C(1)2 2120 2231 212121 223230 2122C()2，2 2231336P(3)C()2C (1)C (1)C()2，2 2121 223231 212122 22313P(4)C()2C()2.(9 分)2 2122 22319所以 的分布列为01234P1361613361319E()01 23 4 .(12 分)13616133613197311(2014南昌二模)(本小题满分 12 分)某公司生产产品 A，产品质量按测试指标分为：指标大于或等于 90 为一等品，大于或等于 80 小于 90 为二等品，小于 80 为三等品，生产一件一等品可盈利 50 元，生产一件二等品可盈利 30 元，生产一件三等品亏损 10 元现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各 100 件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70,75)75,80)80,85)85,90)90,95)95,100)甲3720402010乙515353573现将根据上表统计得到甲、乙两人生产产品 A 为一等品、二等品、三等品的频率分别估计为他们生产产品 A 为一等品、二等品、三等品的概率(1)计算新工人乙生产三件产品 A 给工厂带来盈利大于或等于 100 元的概率；(2)记甲、乙两人分别生产一件产品 A 给工厂带来的盈利和为 X，求随机变量 X 的概率分布和数学期望解析甲生产一件产品 A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为，(3 分)310610110乙生产一件产品 A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为，.(6 分)110710210(1)记“新工人乙生产三件产品 A 给工厂带来盈利大于或等于 100 元”为事件 D，则 D包含的情况有：三件都是一等品；两件是一等品，一件是二等品或一件是一等品，两件是二等品故 P(D)()33()23()2.(8 分)1101107101107101691 000(2)随机变量 X 的所有可能取值为 100,80,60,40,20，20.P(X100)，3101103100P(X80)，31071011061027100P(X60)，610710421002150P(X40)，3102101101107100P(X20)，61021011071019100P(X20).1102102100150所以随机变量 X 的概率分布为X1008060402020P3100271002150710019100150(10 分)E(X)56.(12 分)3002 1602 5202803804010012(本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人参加某次招聘会、假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被25聘用的概率是，乙、丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独625310立(1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率；(2)设 表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求 的分布列与数学期望解析(1)记甲、乙、丙各自能被聘用的事件分别为 A1，A2，A3，由已知 A1，A2，A3相互独立，且满足Error!(3 分)解得 P(A2)，P(A3).1235所以乙、丙两人各自能被聘用的概率分别为，.(6 分)1235(2)的所有可能取值为 1,3.因为 P(3)P(A1A2A3)P()A1 A2 A3P(A1)P(A2)P(A3)1P(A1)1P(A2)1P(A3)，(8 分)251235351225625所以 P(1)1P(3)1.6251925所以 的分布列为所以 E()13.(12 分)1925625372513P1925625