基于Coxian-2的相依风险模型的Gerber-Shiu惩罚函数.pdf

第4 6卷3期2 0 2 3年9月 辽宁师范大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fL i a o n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)V o l.4 6 N o.3S e p.2 0 2 3 收稿日期:2 0 2 3-0 5-2 0基金项目:教育部人文社会科学研究一般项目(2 0 Y J A 9 1 0 0 0 1)作者简介:包振华(1 9 7 6-),男,辽宁大连人,辽宁师范大学教授.E-m a i l:z h h b a o 1 2 6.c o m 文章编号:1 0 0 0-1 7 3 5(2 0 2 3)0 3-0 3 0 7-0 6 D O I:1 0.1 1 6 7 9/l s x b l k 2 0 2 3 0 3 0 3 0 7基于C o x i a n-2的相依风险模型的G e r b e r-S h i u惩罚函数包振华,李凤娟(辽宁师范大学 数学学院,辽宁 大连 1 1 6 0 2 9)摘 要:考虑一类具有相依结构的风险过程,索赔额与索赔间隔时间之间的相依关系由F GM联结函数确定,而索赔间隔时间服从C o x i a n-2分布.首先研究了广义L u n d b e r g方程根分布的情况,然后得到了G e r b e r-S h i u惩罚函数满足的微积分方程、拉普拉斯变换以及瑕疵更新方程.最后,在指数索赔的条件下获得破产概率的解析表达式并做数值分析.关键词:G e r b e r-S h i u惩罚函数;拉普拉斯变换;瑕疵更新方程;破产概率中图分类号:O 2 1 1.6 7 文献标识码:A在保险精算文献中,经典的复合泊松风险模型已得到广泛而深入的研究,参见文献1以及文中所引文献.然而,为了数学上处理的方便,经典风险模型中加入很多限制性条件,如索赔额和索赔间隔时间假设是相互独立的.然而,索赔间隔时间和索赔额之间具有相依性在保险实践中普遍存在.例如:对于油田事故险,如果发生了一次比较严重的生产事故,则经营者就会采取相关措施防止类似事故的再次发生,从而导致随后的事故发生次数减少.从数学的角度看,经典的风险过程中一般假设索赔间隔时间Wi,i1和索赔额Xi,i1为两个独立同分布的随机变量序列,并且假设这两个过程之间相互独立.而在时间相依索赔模型中假设(Xi,Wi)i=1是独立同分布的随机向量序列,但是随机序列(Xi,Wi)的分量之间具有一定的相依关系.近年来,对具有时间相依索赔模型的研究也是风险理论中的一个热点问题2-5.本文假设索赔额和索赔间隔时间的相依关系由F GM联结函数确定,而索赔间隔时间服从C o x i a n-2分布.以G e r b e r-S h i u惩罚函数为研究对象,获得G e r b e r-S h i u惩罚函数满足的微积分方程、拉普拉斯变换以及瑕疵更新方程,最后对理论结果做数值分析.1 模型构建假设保险公司的资本盈余过程U(t),t0定义为U(t)=u+c t-N(t)i=1Xi,其中,U(0)=u表示初始盈余,c0为单位时间的保险费率,索赔额Xii=1是非负的独立同分布的随机变量序列,假设其概率密度函数为fX,累积分布函数为FX.索赔次数过程N(t),t0 是由索赔间隔时间Wii=1定义的更新过程,Wii=1是独立同分布的随机变量序列,并服从C o x i a n-2分布,其概率密度函数、累积分布函数分别为fW(t)=(1-p)e-t+2p te-t,FW(t)=1-e-t(1+p t).3 0 8 辽宁师范大学学报(自然科学版)第4 6卷假设(Xi,Wi)i=1是独立同分布的向量序列,(X,W)是其遗传向量,并且X和W可能是相依的.(X,W)的联合分布利用F GM联结函数定义,其联合分布函数FX,W和密度函数fX,W分别为FX,W(x,t)=CF GM(FX(x),FW(t)=FX(x)FW(t)+FX(x)F-X(x)FW(t)F-W(t),fX,W(x,t)=cF GM(FX(x),FW(t)fX(x)fW(t)=fX(x)fW(t)+h(x)fW(t)2F-W(t)-1,其中,h(x)=fX(x)1-2FX(x),在C o x i a n-2分布的假设条件下,有fX,W(x,t)=fX(x)(1-p)e-t+2p te-t+h(x)(1-p)e-t+2p te-t 2 e-t(1+p t)-1.(1)破产时间定义为T=i n ft0t:U(t)0,G e r b e r-S h i u惩罚函数为m(u)=Ee-Tw(U(T-),U(T)I(T0且w(x,y)=1时m(u)就退化为破产时间的拉普拉斯变换;如果=0且w(x,y)=1则m(u)退化为破产概率(u).为确保破产不是必然事件,假设安全负载条件Ec W-X0成立.在下文中,约定函数g(x)的拉普拉斯变换记为g(s).2 拉普拉斯变换首先讨论广义L u n d b e r g方程根的情况.考虑在索赔发生时刻嵌入的离散时间过程.令U0=u,在第k次索赔后的盈余过程为Uk=u+ki=1(c Wi-Xi),k=1,2,.当s0时,过程e-ki=1Wi+s Uk,k=0,1,2,是鞅当且仅当Ee-Wes(c W-X)=1,(2)称式(2)为广义L u n d b e r g方程,经计算得式(2)等价于fX(s)-h(s)(1-p)c l1(s)+p 2(c l1(s)2+2 h(s)(1-p)c l2(s)+23p2(c l2(s)3+2(2-p)p(c l2(s)2=1,(3)其中,l1(s)=+c-s,l2(s)=+2c-s.完全类似于文献6,应用R o u c h 定理有下面的结果:引理1 当0时,广义L u n d b e r g方程有5个实部为正数的根i(),i=1,5,以下简记为i.当=0时,方程(2)有一个平凡的根1(0)=0,在右半复平面有4个根i(0),i=2,5.下面研究G e r b e r-S h i u惩罚函数m(u)满足的微积分方程.以第一次索赔发生的时间和索赔额为条件用全概率公式得 m(u)=0e-tu+c t0m(u+c t-x)fX,W(x,t)dx+u+c tw(u+c t,x-u-c t)fX,W(x,t)dxdt=0e-tfW(t)1,(u+c t)-2,(u+c t)dt+20e-tfW(t)F-W(t)2,(u+c t)dt,其中,1(u)=uw(u,x-u)fX(x)dx,2(u)=uw(u,x-u)h(x)dx,1,(u)=u0m(u-x)fX(x)dx+1(u),2,(u)=u0m(u-x)h(x)dx+2(u).第3期包振华等:基于C o x i a n-2的相依风险模型的G e r b e r-S h i u惩罚函数3 0 9 令y=u+c t,则上式可改写为m(u)=ue-(y-u)c1cfW(y-uc)1,(y)-2,(y)+2cfW(y-uc)F-W(y-uc)2,(y)dy.(4)令I和D分别表示恒等算子和微分算子,则l1(D)=+cI-D,l2(D)=+2cI-D.用算子(l1(D)2(l2(D)3作用式(4)两边,整理得到G e r b e r-S h i u惩罚函数m(u)满足如下的微积分方程(l1(D)2(l2(D)3m(u)=c(1-p)l1(D)(l2(D)3+cp(l2(D)3(1,(u)-2,(u)+c2(1-p)(l1(D)2(l2(D)2+2cp(2-p)(l1(D)2l2(D)+4p22c2(l1(D)22,(u).(5)对式(5)两侧求拉普拉斯变换,经过计算整理得m(s)=1,(s)+2,(s)h1,(s)-h2,(s),(6)其中,h1,(s)=(l1(s)2(l2(s)3,h2,(s)=c(1-p)l1(s)(l2(s)3+cp(l2(s)3(fX(s)-h(s)+c2(1-p)(l1(s)2(l2(s)2+2cp(2-p)(l1(s)2l2(s)+4p22c2(l1(s)2h(s),1,(s)=c(1-p)l1(s)(l2(s)3+cp(l2(s)3(1(s)-2(s)+c2(1-p)(l1(s)2(l2(s)2+2cp(2-p)(l1(s)2l2(s)+4p22c2(l1(s)22(s),而2,(s)是次数不超过4的多项式.由于m(s)在R e(s)0是解析的,因此式(6)分母的根一定是分子的根.注意到方程(3)等价于h1,(s)-h2,(s)=0,故有2,(i)=-1,(i),i=1,2,5.应用拉格朗日插值公式最终得到2,(s)可以写成2,(s)=-5j=11,(j)5k=1,kjs-kj-k.(7)3 瑕疵更新方程本节研究G e r b e r-S h i u惩罚函数m(u)满足的瑕疵更新方程.对于可积函数g(x),定义算子Tr为Trg(x)=xe-r(y-x)g(y)dy,x0,rC.关于该算子的相关性质参见文献7.利用算子Tr,有如下结果:引理2 G e r b e r-S h i u惩罚函数m(u)的拉普拉斯变换可以写成如下形式3 1 0 辽宁师范大学学报(自然科学版)第4 6卷m(s)=TsT1T51,(0)1-TsT1T5h2,(0),(8)其中,1,(u)和h2,(u)分别为1,(s)和h2,(s)的原函数.证 定义5(s)=5i=1(s-i),由式(7)和算子Tr的性质得到1,(s)+2,(s)=5(s)1,(s)5(s)-5j=11,(j)(s-j)5(j)=-5(s)TsT1T51,(0).(9)对h1,(s)应用拉格朗日插值公式得h1,(s)=h1,(0)5k=1s-k(-k)+s5j=1h1,(j)j5k=1,kjs-kj-k,从而有h1,(s)-h2,(s)=5(s)h1,(0)5(0)-5j=1h2,(j)(-j)5(j)+5j=1h2,(j)(s-j)5(j)-h2,(s)5(s).(1 0)由文献6中式(4 1)得h1,(0)5(0)+5j=1h1,(j)j 5(j)=(+)2(+2)3c55i=1(-i)+5j=1(l1(j)2(l2(j)3j5k=1,kj(j-k)=-1.(1 1)将式(1 1)代入方程(1 0)中整理得到h1,(s)-h2,(s)=-5(s)1-TsT1T5h2,(0).(1 2)最后将式(9)和式(1 2)代入到式(6)中即得式(8).定理1 G e r b e r-S h i u惩罚函数m(u)满足如下的瑕疵更新方程m(u)=u0m(u-y)(y)dy+G(u),(1 3)其中,(y)=T1T5h2,(y),G(u)=T1T51,(u).(1 4)证 利用引理2,反演拉普拉斯变换即得式(1 3),因此只需要证明更新方程是瑕疵的.由于0(y)dy=T0T1T5h2,(0)=-(h2,(0)5i=1i+5j=1h2,(j)j 5(j),根据式(1 1),上式可进一步化简为0(y)dy=1-h1,(0)-h2,(0)5i=1i=1-(2+(1+p)(+2)3c55i=1i.当0时,由于(2+(1+p)(+2)3c55i=1i0,所以0(y)dy0,因此0(y)dy0(i=1,2).于是Q(s)可写成下式Q(s)=c5(s+R1)(s+R2)5i=1(i-s).将等式(1 7)代入式(1 6)后整理得到m(s)=2j=1(s+Rj)-1-m(0)(+s)(2+s)s2j=1(s+Rj),当s0时,m(s)存在.因此s=0时,上式分子为0,故有1-m(0)=R1R222,经过化简得m(s)=(1-R1R222)s+R1+R2-3R1R22(s+R1)(s+R2).(1 8)假设R1R2,利用部分分式化简等式(1 8)得到m(s)=2j=1j,s+Rj,其中,1,=R2R2-R1(1-3R12+R2122),2,=R1R2-R1(1-3R22+R2222).对其进行反演可以得到m(u)=1,e-R1u+2,e-R2u,u0.(1 9)取参数=1,p=0.5,=2,c=1.5并令0,当相依参数=-1,-0.5,0,0.5,1时,根据式(1 9)获得破产概率的解析表达式分别为1(u)=0.8 9 6 4 2 8 6 1 e-0.0 9 8 9 3 8 7 8 2 4u-0.0 0 6 2 7 4 8 7 7 5 6 e-2.2 2 0 4 8 9 5 7u,2(u)=0.8 8 7 1 0 9 5 6 1 e-0.1 1 0 1 0 3 0 8 6u-0.0 0 3 4 8 9 3 3 9 1 4 e-2.1 1 4 0 1 4 8 2u,3(u)=0.8 7 5 9 0 6 2 2 6 e-0.1 2 4 0 9 3 7 7 4u,4(u)=0.8 6 2 1 9 9 4 8 1 e-0.1 4 2 1 3 9 3 6 5u+0.0 0 4 4 3 3 4 6 0 6 4 e-1.8 7 6 5 6 7 5 3u,5(u)=0.8 4 5 0 9 9 5 9 1 e-0.1 6 6 3 0 8 8 9 7u+0.0 1 0 1 3 8 4 4 0 5 e-1.7 4 0 8 8 0 6 3u.从图1中可以看出,破产概率随着u的增大而减小,这与保险实践相符合.同时,相依参数对破产概率有显著影响,越大相应的破产概率越小.3 1 2 辽宁师范大学学报(自然科学版)第4 6卷图1 不同相依参数下的破产概率F i g.1 R u i np r o b a b i l i t i e s f o rd i f f e r e n tv a l u e so f 参考文献:1 G E R B E R H U,S H I UE.O nt h e t i m ev a l u eo f r u i nJ.N o r t hAm e r i c a nA c t u a r i a l J o u r n a l,1 9 9 8,2(1):4 8-7 8.2 A L B R E CHE RH,B O XMAOJ.O nt h ed i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n i naM a r k o v-d e p e n d e n t r i s km o d e lJ.I n s u r a n c eM a t h e m a t i c s&E c o n o m i c s,2 0 0 5,3 7(3):6 5 0-6 7 2.3 A L B R E CHE RH,T E UG E L SJL.E x p o n e n t i a l b e h a v i o r i nt h ep r e s e n c eo f d e p e n d e n c e i nr i s kt h e o r yJ.J o u r n a l o fA p p l i e dP r o b a-b i l i t y,2 0 0 6,4 3(1):2 6 5-2 8 5.4 C O S S E T T E H,MA R C E AU E,MA R R IF.O nt h ec o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e lw i t hd e p e n d e n c eb a s e do nag e n e r a l i z e df a r l i e-g u m b e l-m o r g e n s t e r nc o p u l aJ.I n s u r a n c e,2 0 0 8,4 3(3):4 4 4-4 5 5.5 C HE UNGE,L AN D R I AU L TD,W I L LMO T GE.S t r u c t u r a lp r o p e r t i e so fG e r b e r-S h i uf u n c t i o n s i nd e p e n d e n tS p a r r eA n d e r s e nm o d e l sJ.I n s u r a n c e:M a t h e m a t i c sa n dE c o n o m i c s,2 0 1 0,4 6(1):1 1 7-1 2 6.6 C HA D J I C ON S T AN T I N I D I SS,V R ON T O SS.O nar e n e w a lr i s kp r o c e s sw i t hd e p e n d e n c eu n d e raF a r l i e-G u m b e l-M o r g e n s t e r nc o p u l aJ.S c a n d i n a v i a nA c t u a r i a l J o u r n a l,2 0 1 4,2 0 1 4(2):1 2 5-1 5 8.7 L IS,GA R R I D OJ.O nr u i nf o r t h eE r l a n g(n)r i s kp r o c e s sJ.I n s u r a n c e:M a t h e m a t i c sa n dE c o n o m i c s,2 0 0 4,3 4(3):3 9 1-4 0 8.G e r b e r-S h i up e n a l t yf u n c t i o n i nad e p e n d e n t r i s km o d e l b a s e do nC o x i a n-2d i s t r i b u t i o nB A OZ h e n h u a,L IF e n g j u a n(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s,L i a o n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y,D a l i a n1 1 6 0 2 9,C h i n a)A b s t r a c t:W e c o n s i d e r a c l a s s o f r i s kp r o c e s sw i t hd e p e n d e n t s t r u c t u r e,i nw h i c h t h e c l a i ms i z e s a n d i n-t e r c l a i mt i m e s a r e r e l a t e d t h r o u g hF GMc o p u l a a n d t h e i n t e r c l a i mt i m e s f o l l o wt h eC o x i a n-2d i s t r i b u-t i o n.F i r s t l y,t h er o o t so f t h eg e n e r a l i z e dL u n d b e r ge q u a t i o n i s i n v e s t i g a t e d.T h e n,t h e i n t e g r o-d i f f e r-e n t i a le q u a t i o n,L a p l a c et r a n s f o r m a n dd e f e c t i v er e n e w a le q u a t i o ns a t i s f i e db yt h e G e r b e r-S h i up e n a l t yf u n c t i o na r eo b t a i n e d.F i n a l l y,t h ee x p l i c i te x p r e s s i o n sf o rt h er u i np r o b a b i l i t ya r eg i v e nu n d e re x p o n e n t i a l c l a i ms i z e sa n dan u m e r i c a l e x a m p l e i sp r o v i d e d.K e yw o r d s:G e r b e r-S h i up e n a l t yf u n c t i o n;L a p l a c et r a n s f o r m;d e f e c t i v er e n e w a le q u a t i o n;r u i np r o b a-b i l i t y