2018中考相似三角形汇编.pdf

20182018 中考数学试题分类汇编：考点中考数学试题分类汇编：考点 3636 相似三角形相似三角形一选择题（共一选择题（共 28 小题）小题）1（2018重庆）制作一块 3m2m 长方形广告牌的成本是 120 元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A360 元B720 元C1080 元 D2160 元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可【解答】解：3m2m=6m2，长方形广告牌的成本是 1206=20 元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，则面积扩大为原来的 9 倍，扩大后长方形广告牌的面积=96=54m2，扩大后长方形广告牌的成本是 5420=1080m2，故选：C2（2018玉林）两三角形的相似比是 2：3，则其面积之比是（）A：B2：3C4：9D8：27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可【解答】解：两三角形的相似比是 2：3，其面积之比是 4：9，故选：C3（2018重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5cm，6cm 和 9cm，另一个三角形的最短边长为 2.5cm，则它的最长边为（）A3cmB4cm C4.5cmD5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得【解答】解：设另一个三角形的最长边长为 xcm，根据题意，得：=，解得：x=4.5，即另一个三角形的最长边长为 4.5cm，故选：C4（2018内江）已知ABC 与A1B1C1相似，且相似比为 1：3，则ABC 与A1B1C1的面积比为（）A1：1B1：3C1：6D1：9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可【解答】解：已知ABC 与A1B1C1相似，且相似比为 1：3，则ABC 与A1B1C1的面积比为 1：9，故选：D5（2018铜仁市）已知ABCDEF，相似比为 2，且ABC 的面积为 16，则DEF 的面积为（）A32B8C4D16【分析】由ABCDEF，相似比为 2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得ABC 与DEF 的面积比为 4，又由ABC 的面积为 16，即可求得DEF 的面积【解答】解：ABCDEF，相似比为 2，ABC 与DEF 的面积比为 4，ABC 的面积为 16，DEF 的面积为：16=4故选：C6（2017重庆）已知ABCDEF，且相似比为 1：2，则ABC 与DEF 的面积比为（）A1：4B4：1C1：2D2：1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可【解答】解：ABCDEF，且相似比为 1：2，ABC 与DEF 的面积比为 1：4，故选：A7（2018临安区）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC 相似的是（）ABCD【分析】根据正方形的性质求出ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可【解答】解：由正方形的性质可知，ACB=18045=135，A、C、D 图形中的钝角都不等于 135，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形 B 中的边长分别为 1 和，=，图 B 中的三角形（阴影部分）与ABC 相似，故选：B8（2018广东）在ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，则ADE 与ABC 的面积之比为（）ABCD【分析】由点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，可得出 DE 为ABC 的中位线，进而可得出 DEBC 及ADEABC，再利用相似三角形的性质即可求出ADE 与ABC 的面积之比【解答】解：点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，DE 为ABC 的中位线，DEBC，ADEABC，=（）2=故选：C9（2018自贡）如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若ADE 的面积为 4，则ABC 的面积为（）A8B12C14D16【分析】直接利用三角形中位线定理得出 DEBC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解：在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，DEBC，DE=BC，ADEABC，=，=，ADE 的面积为 4，ABC 的面积为：16，故选：D10（2018崇明县一模）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE：EC=3：1，连接 AE 交 BD 于点 F，则DEF 的面积与BAF 的面积之比为（）A3：4B9：16C9：1D3：1【分析】可证明DFEBFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形，DCAB，DFEBFA，DE：EC=3：1，DE：DC=3：4，DE：AB=3：4，SDFE：SBFA=9：16 故选：B11（2018随州）如图，平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成面积相等的两部分，则的值为（）A1BC 1D【分析】由 DEBC 可得出ADEABC，利用相似三角形的性质结合 SADE=S四边形 BCED，可得出=，结合 BD=ABAD 即可求出的值，此题得解【解答】解：DEBC，ADE=B，AED=C，ADEABC，（）2=SADE=S四边形 BCED，=，=1故选：C12（2018哈尔滨）如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，GEBD，且交 AB 于点 E，GFAC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是（）A=B=C=D=【分析】由 GEBD、GFAC 可得出AEGABD、DFGDCA，根据相似三角形的性质即可找出=，此题得解【解答】解：GEBD，GFAC，AEGABD，DFGDCA，=，=，=故选：D13（2018遵义）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，AB=5，BC=10，连接 AC、BD，以 BD 为直径的圆交 AC 于点 E若 DE=3，则 AD的长为（）A5B4C3D2【分析】先求出 AC，进而判断出ADFCAB，即可设 DF=x，AD=x，利用勾股定理求出 BD，再判断出DEFDBA，得出比例式建立方程即可得出结论【解答】解：如图，在 RtABC 中，AB=5，BC=10，AC=5过点 D 作 DFAC 于 F，AFD=CBA，ADBC，DAF=ACB，ADFCAB，设 DF=x，则 AD=x，在 RtABD 中，BD=，DEF=DBA，DFE=DAB=90，DEFDBA，x=2，AD=x=2，故选：D14（2018扬州）如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等腰 RtABC 和等腰 RtADE，CD 与 BE、AE 分别交于点 P，M对于下列结论：BAECAD；MPMD=MAME；2CB2=CPCM其中正确的是（）A BCD【分析】（1）由等腰 RtABC 和等腰 RtADE 三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明PAMEMD 即可；（3）2CB2转化为 AC2，证明ACPMCA，问题可证【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AEBAC=EADBAE=CADBAECAD所以正确BAECADBEA=CDAPME=AMDPMEAMDMPMD=MAME所以正确BEA=CDAPME=AMDP、E、D、A 四点共圆APD=EAD=90CAE=180BACEAD=90CAPCMAAC2=CPCMAC=AB2CB2=CPCM所以正确故选：A15（2018贵港）如图，在ABC 中，EFBC，AB=3AE，若 S四边形 BCFE=16，则 SABC=（）A16B18C20D24【分析】由 EFBC，可证明AEFABC，利用相似三角形的性质即可求出则SABC的值【解答】解：EFBC，AEFABC，AB=3AE，AE：AB=1：3，SAEF：SABC=1：9，设 SAEF=x，S四边形 BCFE=16，=，解得：x=2，SABC=18，故选：B16（2018孝感）如图，ABC 是等边三角形，ABD 是等腰直角三角形，BAD=90，AEBD 于点 E，连 CD 分别交 AE，AB 于点 F，G，过点 A 作AHCD 交 BD 于点 H则下列结论：ADC=15；AF=AG；AH=DF；AFGCBG；AF=（1）EF其中正确结论的个数为（）A5B4C3D2【分析】由等边三角形与等腰直角三角形知CAD 是等腰三角形且顶角CAD=150，据此可判断；求出AFP 和FAG 度数，从而得出AGF 度数，据此可判断；证ADFBAH 即可判断；由AFG=CBG=60、AGF=CGB 即可得证；设 PF=x，则 AF=2x、AP=x，设EF=a，由ADFBAH 知 BH=AF=2x，根据ABE 是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出 EH=a，证PAFEAH 得=，从而得出 a 与 x 的关系即可判断【解答】解：ABC 为等边三角形，ABD 为等腰直角三角形，BAC=60、BAD=90、AC=AB=AD，ADB=ABD=45，CAD 是等腰三角形，且顶角CAD=150，ADC=15，故正确；AEBD，即AED=90，DAE=45，AFG=ADC+DAE=60，FAG=45，AGF=75，由AFGAGF 知 AFAG，故错误；记 AH 与 CD 的交点为 P，由 AHCD 且AFG=60知FAP=30，则BAH=ADC=15，在ADF 和BAH 中，ADFBAH（ASA），DF=AH，故正确；AFG=CBG=60，AGF=CGB，AFGCBG，故正确；在 RtAPF 中，设 PF=x，则 AF=2x、AP=x，设 EF=a，ADFBAH，BH=AF=2x，ABE 中，AEB=90、ABE=45，BE=AE=AF+EF=a+2x，EH=BEBH=a+2x2x=a，APF=AEH=90，FAP=HAE，PAFEAH，=，即=，整理，得：2x2=（1）ax，由 x0 得 2x=（1）a，即 AF=（1）EF，故正确；故选：B17（2018泸州）如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，AF，BE相交于点 G，若 AE=3ED，DF=CF，则的值是（）ABCD【分析】如图作，FNAD，交 AB 于 N，交 BE 于 M设 DE=a，则 AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，FNAD，交 AB 于 N，交 BE 于 M四边形 ABCD 是正方形，ABCD，FNAD，四边形 ANFD 是平行四边形，D=90，四边形 ANFD 是解析式，AE=3DE，设 DE=a，则 AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，AN=BN，MNAE，BM=ME，MN=a，FM=a，AEFM，=，故选：C18（2018临安区）如图，在ABC 中，DEBC，DE 分别与 AB，AC 相交于点 D，E，若 AD=4，DB=2，则 DE：BC 的值为（）ABCD【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可【解答】解：DEBC，ADEABC，=故选：A19（2018恩施州）如图所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG并延长交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点已知 FG=2，则线段AE 的长度为（）A6B8C10D12【分析】根据正方形的性质可得出 ABCD，进而可得出ABFGDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合 FG=2 可求出 AF、AG 的长度，由CGAB、AB=2CG 可得出 CG 为EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出 AE 的长度，此题得解【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，AB=CD，ABCD，ABF=GDF，BAF=DGF，ABFGDF，=2，AF=2GF=4，AG=6CGAB，AB=2CG，CG 为EAB 的中位线，AE=2AG=12故选：D20（2018杭州）如图，在ABC 中，点 D 在 AB 边上，DEBC，与边 AC 交于点 E，连结 BE记ADE，BCE 的面积分别为 S1，S2（）A若 2ADAB，则 3S12S2B若 2ADAB，则 3S12S2C若 2ADAB，则 3S12S2D若 2ADAB，则 3S12S2【分析】根据题意判定ADEABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答【解答】解：如图，在ABC 中，DEBC，ADEABC，=（）2，若 2ADAB，即时，此时 3S1S2+SBDE，而 S2+SBDE2S2但是不能确定 3S1与 2S2的大小，故选项 A 不符合题意，选项 B 不符合题意若 2ADAB，即时，此时 3S1S2+SBDE2S2，故选项 C 不符合题意，选项 D 符合题意故选：D21（2018永州）如图，在ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，ADC=ACB，AD=2，BD=6，则边 AC 的长为（）A2B4C6D8【分析】只要证明ADCACB，可得=，即 AC2=ADAB，由此即可解决问题；【解答】解：A=A，ADC=ACB，ADCACB，=，AC2=ADAB=28=16，AC0，AC=4，故选：B22（2018香坊区）如图，点 D、E、F 分别是ABC 的边 AB、AC、BC 上的点，若 DEBC，EFAB，则下列比例式一定成立的是（）A=B=C=D=【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论【解答】解：DEBC，DEBC，ADEABC，EFAB，EFAB，CEFCAB，DEBC，EFAB，四边形 BDEF 是平行四边形，DE=BF，EF=BD，正确，故选：C23（2018荆门）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，E、F 为 CD 边的两个三等分点，连接 AF、BE 交于点 G，则 SEFG：SABG=（）A1：3B3：1C1：9D9：1【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，CD=AB，CDAB，DE=EF=FC，EF：AB=1：3，EFGBAG，=（）2=，故选：C24（2018达州）如图，E，F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点，AE=CF=AC连接 DE，DF 并延长，分别交 AB，BC 于点 G，H，连接 GH，则的值为（）ABCD1【分析】首先证明 AG：AB=CH：BC=1：3，推出 GHAC，推出BGHBAC，可得=（）2=（）2=，=，由此即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形AD=BC，DC=AB，AC=CA，ADCCBA，SADC=SABC，AE=CF=AC，AGCD，CHAD，AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，AG：AB=CH：BC=1：3，GHAC，BGHBAC，=（）2=（）2=，=，=，故选：C25（2018南充）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，P 为 CD 的中点，连结AP，过点 B 作 BEAP 于点 E，延长 CE 交 AD 于点 F，过点 C 作 CHBE 于点G，交 AB 于点 H，连接 HF下列结论正确的是（）ACE=BEF=CcosCEP=DHF2=EFCF【分析】首先证明 BH=AH，推出 EG=BG，推出 CE=CB，再证明CEHCBH，RtHFERtHFA，利用全等三角形的性质即可一一判断【解答】解：连接 EH四边形 ABCD 是正方形，CD=ABBC=AD=2，CDAB，BEAP，CHBE，CHPA，四边形 CPAH 是平行四边形，CP=AH，CP=PD=1，AH=PC=1，AH=BH，在 RtABE 中，AH=HB，EH=HB，HCBE，BG=EG，CB=CE=2，故选项 A 错误，CH=CH，CB=CE，HB=HE，ABCCEH，CBH=CEH=90，HF=HF，HE=HA，RtHFERtHFA，AF=EF，设 EF=AF=x，在 RtCDF 中，有 22+（2x）2=（2+x）2，x=，EF=，故 B 错误，PACH，CEP=ECH=BCH，cosCEP=cosBCH=，故 C 错误HF=，EF=，FC=HF2=EFFC，故 D 正确，故选：D26（2018临沂）如图利用标杆 BE 测量建筑物的高度已知标杆 BE 高1.2m，测得 AB=1.6mBC=12.4m则建筑物 CD 的高是（）A9.3mB10.5mC12.4mD14m【分析】先证明ABEACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出 CD 即可【解答】解：EBCD，ABEACD，=，即=，CD=10.5（米）故选：B27（2018长春）孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1 丈=10 尺，1 尺=10 寸），则竹竿的长为（）A五丈B四丈五尺C一丈D五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论【解答】解：设竹竿的长度为 x 尺，竹竿的影长=一丈五尺=15 尺，标杆长=一尺五寸=1.5 尺，影长五寸=0.5 尺，解得 x=45（尺）故选：B28（2018绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置，已知 ABBD，CDBD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为（）A0.2mB0.3mC0.4mD0.5m【分析】由ABO=CDO=90、AOB=COD 知ABOCDO，据此得=，将已知数据代入即可得【解答】解：ABBD，CDBD，ABO=CDO=90，又AOB=COD，ABOCDO，则=，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，=，解得：CD=0.4，故选：C二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题）29（2018邵阳）如图所示，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连接 AE，交 CD 于点 F，连接 BF写出图中任意一对相似三角形：ADFECF【分析】利用平行四边形的性质得到 ADCE，则根据相似三角形的判定方法可判断ADFECF【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形，ADCE，ADFECF故答案为ADFECF30（2018北京）如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，若 AB=4，AD=3，则 CF 的长为【分析】根据矩形的性质可得出 ABCD，进而可得出FAE=FCD，结合AFE=CFD（对顶角相等）可得出AFECFD，利用相似三角形的性质可得出=2，利用勾股定理可求出 AC 的长度，再结合 CF=AC，即可求出 CF 的长【解答】解：四边形 ABCD 为矩形，AB=CD，AD=BC，ABCD，FAE=FCD，又AFE=CFD，AFECFD，=2AC=5，CF=AC=5=故答案为：31（2018包头）如图，在ABCD 中，AC 是一条对角线，EFBC，且 EF 与AB 相交于点 E，与 AC 相交于点 F，3AE=2EB，连接 DF若 SAEF=1，则 SADF的值为【分析】由 3AE=2EB 可设 AE=2a、BE=3a，根据 EFBC 得=（）2=，结合 SAEF=1 知 SADC=SABC=，再由=知=，继而根据SADF=SADC可得答案【解答】解：3AE=2EB，可设 AE=2a、BE=3a，EFBC，AEFABC，=（）2=（）2=，SAEF=1，SABC=，四边形 ABCD 是平行四边形，SADC=SABC=，EFBC，=，=，SADF=SADC=，故答案为：32（2018资阳）已知：如图，ABC 的面积为 12，点 D、E 分别是边AB、AC 的中点，则四边形 BCED 的面积为9【分析】设四边形 BCED 的面积为 x，则 SADE=12x，由题意知 DEBC 且DE=BC，从而得=（）2，据此建立关于 x 的方程，解之可得【解答】解：设四边形 BCED 的面积为 x，则 SADE=12x，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，DE 是ABC 的中位线，DEBC，且 DE=BC，ADEABC，则=（）2，即=，解得：x=9，即四边形 BCED 的面积为 9，故答案为：933（2018泰安）九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为 200 步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门 H 位于 GD 的中点，南门 K 位于 ED 的中点，出东门15 步的 A 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 A 处的树木（即点 D 在直线 AC 上）？请你计算 KC 的长为步【分析】证明CDKDAH，利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质可求出 CK 的长【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15，AHDK，CDK=A，而CKD=AHD，CDKDAH，=，即=，CK=答：KC 的长为步故答案为34（2018岳阳）九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步【分析】如图 1，根据正方形的性质得：DEBC，则ADEACB，列比例式可得结论；如图 2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值【解答】解：如图 1，四边形 CDEF 是正方形，CD=ED，DECF，设 ED=x，则 CD=x，AD=12x，DECF，ADE=C，AED=B，ADEACB，x=，如图 2，四边形 DGFE 是正方形，过 C 作 CPAB 于 P，交 DG 于 Q，设 ED=x，SABC=ACBC=ABCP，125=13CP，CP=，同理得：CDGCAB，x=，该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：35（2018吉林）如图是测量河宽的示意图，AE 与 BC 相交于点D，B=C=90，测得 BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽 AB=100m【分析】由两角对应相等可得BADCED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离 AB【解答】解：ADB=EDC，ABC=ECD=90，ABDECD，解得：AB=（米）故答案为：100三解答题（共三解答题（共 15 小题）小题）36（2018张家界）如图，点 P 是O 的直径 AB 延长线上一点，且 AB=4，点M 为上一个动点（不与 A，B 重合），射线 PM 与O 交于点 N（不与 M 重合）（1）当 M 在什么位置时，MAB 的面积最大，并求岀这个最大值；（2）求证：PANPMB【分析】（1）当 M 在弧 AB 中点时，三角形 MAB 面积最大，此时 OM 与 AB 垂直，求出此时三角形面积最大值即可；（2）由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证【解答】解：（1）当点 M 在的中点处时，MAB 面积最大，此时OMAB，OM=AB=4=2，SABM=ABOM=42=4；（2）PMB=PAN，P=P，PANPMB37（2018株洲）如图，在 RtABM 和 RtADN 的斜边分别为正方形的边 AB和 AD，其中 AM=AN（1）求证：RtABMRtAND；（2）线段 MN 与线段 AD 相交于 T，若 AT=，求 tanABM 的值【分析】（1）利用 HL 证明即可；（2）想办法证明DNTAMT，可得由 AT=，推出，在RtABM 中，tanABM=【解答】解：（1）AD=AB，AM=AN，AMB=AND=90RtABMRtAND（HL）（2）由 RtABMRtAND 易得：DAN=BAM，DN=BMBAM+DAM=90；DAN+ADN=90DAM=ANDNDAMDNTAMTAT=，RtABMtanABM=38（2018大庆）如图，AB 是O 的直径，点 E 为线段 OB 上一点（不与O，B 重合），作 ECOB，交O 于点 C，作直径 CD，过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 P，作 AFPC 于点 F，连接 CB（1）求证：AC 平分FAB；（2）求证：BC2=CECP；（3）当 AB=4且=时，求劣弧的长度【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）只要证明CBECPB，可得=解决问题；（3）作 BMPF 于 M则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出 BM，求出 tanBCM 的值即可解决问题；【解答】（1）证明：AB 是直径，ACB=90，BCP+ACF=90，ACE+BCE=90，BCP=BCE，ACF=ACE，即 AC 平分FAB（2）证明：OC=OB，OCB=OBC，PF 是O 的切线，CEAB，OCP=CEB=90，PCB+OCB=90，BCE+OBC=90，BCE=BCP，CD 是直径，CBD=CBP=90，CBECPB，=，BC2=CECP；（3）解：作 BMPF 于 M则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，MCB+P=90，P+PBM=90，MCB=PBM，CD 是直径，BMPC，CMB=BMP=90，BMCPMB，=，BM2=CMPM=3a2，BM=a，tanBCM=，BCM=30，OCB=OBC=BOC=60，BOD=120的长=39（2018江西）如图，在ABC 中，AB=8，BC=4，CA=6，CDAB，BD 是ABC 的平分线，BD 交 AC 于点 E，求 AE 的长【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出D=CBD，求出 BC=CD=4，证AEBCED，得出比例式，求出 AE=2CE，即可得出答案【解答】解：BD 为ABC 的平分线，ABD=CBD，ABCD，D=ABD，D=CBD，BC=CD，BC=4，CD=4，ABCD，ABECDE，=，=，AE=2CE，AC=6=AE+CE，AE=440（2018上海）已知：如图，正方形 ABCD 中，P 是边 BC 上一点，BEAP，DFAP，垂足分别是点 E、F（1）求证：EF=AEBE；（2）联结 BF，如课=求证：EF=EP【分析】（1）利用正方形的性质得 AB=AD，BAD=90，根据等角的余角相等得到1=3，则可判断ABEDAF，则 BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用=和 AF=BE 得到=，则可判定 RtBEFRtDFA，所以4=3，再证明4=5，然后根据等腰三角形的性质可判断 EF=EP【解答】证明：（1）四边形 ABCD 为正方形，AB=AD，BAD=90，BEAP，DFAP，BEA=AFD=90，1+2=90，2+3=90，1=3，在ABE 和DAF 中，ABEDAF，BE=AF，EF=AEAF=AEBE；（2）如图，=，而 AF=BE，=，=，RtBEFRtDFA，4=3，而1=3，4=1，5=1，4=5，即 BE 平分FBP，而 BEEP，EF=EP41（2018东营）如图，CD 是O 的切线，点 C 在直径 AB 的延长线上（1）求证：CAD=BDC；（2）若 BD=AD，AC=3，求 CD 的长【分析】（1）连接 OD，由 OB=OD 可得出OBD=ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于 180，利用等角的余角相等，即可证出CAD=BDC；（2）由C=C、CAD=CDB 可得出CDBCAD，根据相似三角形的性质结合 BD=AD、AC=3，即可求出 CD 的长【解答】（1）证明：连接 OD，如图所示OB=OD，OBD=ODBCD 是O 的切线，OD 是O 的半径，ODB+BDC=90AB 是O 的直径，ADB=90，OBD+CAD=90，CAD=BDC（2）解：C=C，CAD=CDB，CDBCAD，=BD=AD，=，=，又AC=3，CD=242（2018南京）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 DE过点A 作 AFDE，垂足为 F，O 经过点 C、D、F，与 AD 相交于点 G（1）求证：AFGDFC；（2）若正方形 ABCD 的边长为 4，AE=1，求O 的半径【分析】（1）欲证明AFGDFC，只要证明FAG=FDC，AGF=FCD；（2）首先证明 CG 是直径，求出 CG 即可解决问题；【解答】（1）证明：在正方形 ABCD 中，ADC=90，CDF+ADF=90，AFDE，AFD=90，DAF+ADF=90，DAF=CDF，四边形 GFCD 是O 的内接四边形，FCD+DGF=180，FGA+DGF=180，FGA=FCD，AFGDFC（2）解：如图，连接 CGEAD=AFD=90，EDA=ADF，EDAADF，=，即=，AFGDFC，=，=，在正方形 ABCD 中，DA=DC，AG=EA=1，DG=DAAG=41=3，CG=5，CDG=90，CG 是O 的直径，O 的半径为43（2018滨州）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，ADCD 于点 D，且 AC 平分DAB，求证：（1）直线 DC 是O 的切线；（2）AC2=2ADAO【分析】（1）连接 OC，由 OA=OC、AC 平分DAB 知OAC=OCA=DAC，据此知 OCAD，根据 ADDC 即可得证；（2）连接 BC，证DACCAB 即可得【解答】解：（1）如图，连接 OC，OA=OC，OAC=OCA，AC 平分DAB，OAC=DAC，DAC=OCA，OCAD，又ADCD，OCDC，DC 是O 的切线；（2）连接 BC，AB 为O 的直径，AB=2AO，ACB=90，ADDC，ADC=ACB=90，又DAC=CAB，DACCAB，=，即 AC2=ABAD，AB=2AO，AC2=2ADAO44（2018十堰）如图，ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点D，交 AC 于点 E，过点 D 作 FGAC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G（1）求证：FG 是O 的切线；（2）若 tanC=2，求的值【分析】（1）欲证明 FG 是O 的切线，只要证明 ODFG；（2）由GDBGAD，设 BG=a可得=，推出 DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接 AD、ODAB 是直径，ADB=90，即 ADBC，AC=AB，CD=BD，OA=OB，ODAC，DFAC，ODDF，FG 是O 的切线（2）解：tanC=2，BD=CD，BD：AD=1：2，GDB+ODB=90，ADO+ODB=90，OA=OD，OAD=ODA，GDB=GAD，G=G，GDBGAD，设 BG=a=，DG=2a，AG=4a，BG：GA=1：445（2018杭州）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 为 BC 边上的中线，DEAB于点 E（1）求证：BDECAD（2）若 AB=13，BC=10，求线段 DE 的长【分析】（1）想办法证明B=C，DEB=ADC=90即可解决问题；（2）利用面积法：ADBD=ABDE 求解即可；【解答】解：（1）AB=AC，BD=CD，ADBC，B=C，DEAB，DEB=ADC，BDECAD（2）AB=AC，BD=CD，ADBC，在 RtADB 中，AD=12，ADBD=ABDE，DE=46（2018烟台）如图，已知 D，E 分别为ABC 的边 AB，BC 上两点，点A，C，E 在D 上，点 B，D 在E 上F 为上一点，连接 FE 并延长交 AC 的延长线于点 N，交 AB 于点 M（1）若EBD 为，请将CAD 用含 的代数式表示；（2）若 EM=MB，请说明当CAD 为多少度时，直线 EF 为D 的切线；（3）在（2）的条件下，若 AD=，求的值【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：EDB=EBD=，CAD=ACD，DCE=DEC=2，再根据三角形内角和定理可得结论；（2）设MBE=x，同理得：EMB=MBE=x，根据切线的性质知：DEF=90，所以CED+MEB=90，同理根据三角形内角和定理可得CAD=45；（3）由（2）得：CAD=45；根据（1）的结论计算MBE=30，证明CDE是等边三角形，得 CD=CE=DE=EF=AD=，求 EM=1，MF=EFEM=1，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN=CE=，代入化简可得结论【解答】解：（1）连接 CD、DE，E 中，ED=EB，EDB=EBD=，CED=EDB+EBD=2，D 中，DC=DE=AD，CAD=ACD，DCE=DEC=2，ACB 中，CAD+ACD+DCE+EBD=180，CAD=；（2）设MBE=x，EM=MB，EMB=MBE=x，当 EF 为D 的切线时，DEF=90，CED+MEB=90，CED=DCE=90 x，ACB 中，同理得，CAD+ACD+DCE+EBD=180，2CAD=18090=90，CAD=45；（3）由（2）得：CAD=45；由（1）得：CAD=；MBE=30，CED=2MBE=60，CD=DE，CDE 是等边三角形，CD=CE=DE=EF=AD=，RtDEM 中，EDM=30，DE=，EM=1，MF=EFEM=1，ACB 中，NCB=45+30=75，CNE 中，CEN=BEF=30，CNE=75，CNE=NCB=75，EN=CE=，=2+47（2018陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 共线已知：CBAD，EDAD，测得 BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求河宽 AB【分析】由 BCDE，可得=，构建方程即可解决问题【解答】解：BCDE，ABCADE，=，=，AB=17（m），经检验：AB=17 是分式方程的解，答：河宽 AB 的长为 17 米48（2018济宁）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，连接 DF，过点 E 作 EHDF，垂足为 H，EH 的延长线交 DC 于点 G（1）猜想 DG 与 CF 的数量关系，并证明你的结论；（2）过点 H 作 MNCD，分别交 AD，BC 于点 M，N，若正方形 ABCD 的边长为 10，点 P 是 MN 上一点，求PDC 周长的最小值【分析】（1）结论：CF=2DG只要证明DEGCDF 即可；（2）作点 C 关于 NM 的对称点 K，连接 DK 交 MN 于点 P，连接 PC，此时PDC 的周长最短周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK；【解答】解：（1）结论：CF=2DG理由：四边形 ABCD 是正方形，AD=BC=CD=AB，ADC=C=90，DE=AE，AD=CD=2DE，EGDF，DHG=90，CDF+DGE=90，DGE+DEG=90，CDF=DEG，DEGCDF，=，CF=2DG（2）作点 C 关于 NM 的对称点 K，连接 DK 交 MN 于点 P，连接 PC，此时PDC 的周长最短周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH=，EH=2DH=2，HM=2，DM=CN=NK=1，在 RtDCK 中，DK=2，PCD 的周长的最小值为 10+249（2018聊城）如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 上的一点，连接 AE，过 B点作 BHAE，垂足为点 H，延长 BH 交 CD 于点 F，连接 AF（1）求证：AE=BF（2）若正方形边长是 5，BE=2，求 AF 的长【分析】（1）根据 ASA 证明ABEBCF，可得结论；（2）根据（