基于LuGre摩擦模型的两轮自平衡车系统动力学.pdf

第 卷第期 年 月山东科技大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fS h a n d o n gU n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y(N a t u r a lS c i e n c e)V o l N o O c t D O I:/j c n k i s d k j z k 文章编号:()基于L u G r e摩擦模型的两轮自平衡车系统动力学王海明,张欣刚,姚文莉(青岛理工大学 理学院,山东 青岛 )摘要:准确描述轮式机器人系统的运动状态是对其进行轨迹控制的关键,而当驱动轮与地面存在相对滑移或侧滑时,添加非完整约束的动力学描述方法通常会失效.为了得到适用于非结构化环境的轮式机器人动力学模型,本研究以两轮自平衡车为例,为L u G r e模型添加摩擦力,以描述驱动轮与地面之间的粘滞滑移效应;基于虚功率原理,建立包含摩擦力的轮式机器人系统动力学方程,并针对不同驱动力及不同工况条件对系统进行了动力学仿真及分析.仿真结果表明:相比于传统的添加非完整约束,基于L u G r e摩擦模型的动力学建模方法可以有效侦测到驱动轮与地面的相对滑移及侧滑状态,在真实工况下反映系统动力学行为方面表现出有效性和优越性,为轮式机器人后续的优化设计及轨迹控制提供理论依据.关键词:平衡车;粘滞滑移;虚功率原理;L u G r e摩擦模型;动力学中图分类号:O 文献标志码:A收稿日期:基金项目:国家自然科学基金项目(,);山东省自然科学基金项目(Z R MA )作者简介:王海明(),男,山东潍坊人,硕士研究生,主要从事多体系统动力学与控制研究姚文莉(),女,山东泰安人,教授,博士生导师,主要从事多体系统动力学与控制研究,本文通信作者E m a i l:q q c o mS y s t e md y n a m i c so f t w o w h e e l s e l f b a l a n c ev e h i c l eb a s e do nL u G r e f r i c t i o nm o d e lWANG H a i m i n g,Z HANGX i n g a n g,YAO W e n l i(S c h o o l o fS c i e n c e,Q i n g d a oU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y,Q i n g d a o ,C h i n a)A b s t r a c t:A c c u r a t e l yd e s c r i b i n g t h em o t i o ns t a t e o f aw h e e l e dr o b o t s y s t e mi s t h ek e y t o i t s t r a j e c t o r y c o n t r o l W h e nt h e r e i sas l i po rs i d es l i pr e l a t i v et ot h ed r i v i n gw h e e l,t h ed y n a m i cd e s c r i p t i o nm e t h o dt h a ta d d sn o n h o l o n o m i cc o n s t r a i n t s i su s u a l l y i n v a l i d T oo b t a i nt h ed y n a m i cm o d e l o f t h ew h e e l e dr o b o t a p p l i c a b l e i na nu n s t r u c t u r e de n v i r o n m e n t,t h i sp a p e r t o o ka t w o w h e e l s e l f b a l a n c ev e h i c l ea sa ne x a m p l ea n dd e s c r i b e dt h es t i c k s l i pe f f e c tb e t w e e nt h ed r i v i n gw h e e l a n dt h eg r o u n db ya d d i n g f r i c t i o nb a s e do n t h eL u G r em o d e l T h ed y n a m i c e q u a t i o no f t h ew h e e l e dr o b o t s y s t e mi n c l u d i n gt h e f r i c t i o nf o r c ew a se s t a b l i s h e do nt h eb a s i so f t h ep r i n c i p l eo f v i r t u a l p o w e r T h ed y n a m i cs i m u l a t i o na n da n a l y s i so f t h es y s t e m w e r e t h e nc a r r i e do u t f o rd i f f e r e n td r i v i n gf o r c e sa n dd i f f e r e n tw o r k i n gc o n d i t i o n s T h er e s u l t ss h o wt h a t c o m p a r e dw i t ht h et r a d i t i o n a lm e t h o dw i t hn o n h o l o n o m i cc o n s t r a i n t sa d d e d,t h ed y n a m i cm o d e l i n gm e t h o db a s e do n t h eL u G r e f r i c t i o nm o d e l c a ne f f e c t i v e l yd e t e c t t h e r e l a t i v e s l i pa n ds i d e s l i ps t a t e o ft h ed r i v i n gw h e e l a n dt h eg r o u n d W i t ht h ee f f e c t i v e n e s sa n ds u p e r i o r i t yi nr e f l e c t i n gt h ed y n a m i cb e h a v i o ro f t h es y s t e mu n d e r r e a lw o r k i n gc o n d i t i o n s,t h ep r o p o s e dm e t h o dc a np r o v i d eat h e o r e t i c a l b a s i s f o r t h es u b s e q u e n t o p t i m i z a t i o nd e s i g na n dt r a j e c t o r yc o n t r o l o f t h ew h e e l e dr o b o t K e yw o r d s:b a l a n c ec a r;s t i c k s l i p;v i r t u a l p o w e rp r i n c i p l e;L u G r e f r i c t i o nm o d e l;d y n a m i c s针对轮式移动机器人的研究通常是以机器人系统正常行驶在结构化环境中为前提 .建模时假定车轮与地面之间紧密贴合,车轮纯滚动无侧滑,在运动学分析时添加非完整约束,并根据牛顿欧拉法或者拉格朗日法建立轮式机器人系统的动力学方程.但是随着移动机器人技术的发展,轮式移动机器人的应用王海明等:基于L u G r e摩擦模型的两轮自平衡车系统动力学场景和范围不断扩大,逐渐应用于动态、未知的非结构化环境中,车轮与地面之间无法始终维持紧密贴合,致使非完整约束遭到破坏.原有的建模方法无法反映系统在非结构化环境中失去非完整约束时可能发生的滑移和侧滑等现象,对轮式机器人系统的轨迹跟踪与控制也可能会存在精度不足的问题.刘延柱采用动量定理和动量矩定理详述了两轮自平衡车的运动原理并进行动力学分析,解释了两轮自平衡车利用两个独立的驱动轮控制系统加减速和左右转弯的力学原理.针对非完整约束可能失效的情况,徐梓尧等考虑了飞机在地面滑行时前起落架轮的侧向滑移,采用经典库仑摩擦模型描述前起落架的轮地摩擦力,利用R o u t h方程导出飞机降落滑跑过程的动力学模型,并通过数值仿真分析其动力学行为.但是由于经典库仑摩擦模型在相对速度零点处为集值函数,通常需要采用试算法判断动/静摩擦状态的切换,同时也需要开发复杂的侦测器监测粘滞滑移状态转换,这些工作都给数值仿真带来了较大困难.各类修正的库仑摩擦模型虽然通过光滑化方法解决了数值求解困难的问题,但普遍在零点处存在蠕动,不能反映动/静切换时的“开关效应”.综上所述,对于在非结构化环境中运行的轮式机器人,在非完整约束失效时准确描述系统可能发生的粘滞滑移运动状态、获得轮地间摩擦力成为轨迹控制的关键.本研究以两轮自平衡车为研究对象,引入L u G r e模型 反映轮地相对滑移过程中的粘滞滑移现象,通过虚功原理建立系统动力学方程.数值仿真分析捕捉到了轮地粘滑状态,验证了所建模型的准确性.图平衡车模型F i g B a l a n c ec a rm o d e l两轮自平衡车系统动力学模型 描述参数将两轮自平衡车抽象为车身踏板和左、右驱动轮三个刚体组成的多体系统,如图所示.设两轮自平衡车的总体基固连在地面,连体基原点位于车身踏板质心处,选取个广义坐标描述系统在空间中的运动:qx,y,z,T.()式中:x,y,zT表示车身踏板的空间位置坐标;,T为欧拉角,表示车身踏板连体基的姿态,T表示左、右两个车轮相对于车身踏板的转角.摩擦力模型L u G r e模型在猪鬃模型的基础上引入了鬃毛平均变形概念,t时刻鬃毛的平均变形可以用状态变量z表示:dzdtvrvrg(vr)z.()式中,vr为两接触物体间相对速度大小,g(vr)的计算式为:g(vr)k(sk)e x p vrvs.()该函数描述了静/动摩擦状态切换时的S t r i b e c k效应,即在相对速度较低的范围内,摩擦力随相对速度的增加而减小的现象.其中,vs为S t r i b e c k速度,s、k分别为静摩擦系数和动摩擦系数.利用L u G r e模型可将摩擦力fd表示为法向约束力fn的连续函数,fdzzvr()fn.()式中:为猪鬃平均变形刚度,为平均阻尼系数,为粘性阻尼系数.L u G r e模型可以准确刻画摩擦过程中的粘滞滑移、S t r i b e c k效应以及摩擦滞后等现象,在控制领域受到广泛关注.但实际使用时动态摩擦参数的选择以及积分步长对数值仿真的结果影响较大,在选取动态参数以及积分器时应注意如下几点.)猪鬃平均变形刚度应足够大,否则在静摩擦状态下将产生较大的相对位移.山东科技大学学报(自然科学版)年第期)将摩擦力表示为猪鬃变形刚度和平均变形量的明确函数,实际上是在接触点之间引入本构关系用于描述力和变形的关系,此过程增大了系统动力学方程的刚性.若求解过程中积分步长较大,则阻尼项z不能有效地耗散摩擦力的高频振荡.若采用常规积分器,就必须选择极小的步长进行仿真.)采用刚性积分器,例如m a t l a bo d e s或o d e t b可有效滤除L u G r e模型中的高频震荡,从而在放松步长要求时仍能保证数值解的稳定性,提高求解效率.若系统频繁在粘滞滑移状态之间切换,则积分器精度应适当增大,避免过早跳出静摩擦状态.)动态摩擦参数对数值解影响较大,需要准确辨识.文献 将数值仿真结果与利用库仑摩擦模型的结果进行对比,得到了吻合较好的参数,本研究选择文献 得到的参数值.动力学方程及数值计算方法在L u G r e模型的基础上,依据虚功率原理,现推导包含摩擦力的两轮自平衡车的动力学方程.与结构化环境不同,非结构化环境中平衡车轮地接触力实时变化,为此引入线性互补理论推导轮地间动态接触力线性互补方程.含L u G r e摩擦力的系统动力学方程两轮自平衡车系统轮地间所受接触力的虚功率可表示为:pf i rsiFi.()式中:i为两轮自平衡车的两个车轮,i,;rsi为第i个车轮与地面接触点的虚速度;Fi为第i个车轮接触点处法向接触力fni与切向摩擦力fdi组成的合力,Fifnifdi,()fnifnien,fdizzvr()fniet.()式中:fni为接触点法向接触力,fni表示法向接触力的值,en为法向单位向量,ed为切向单位向量.因此轮地间接触力的合力可以表示为:Fienzzvr()edfniKnifni.()将式()代入式()中,得到 pf i rsiFi qTKTriKnifni qTKfifni.()式中:q为广义速率的虚变分,rsiKri q表示接触点虚速度与广义虚速度的变换,KfiKTriKni为接触点虚速度变换阵.将考虑摩擦力的两轮自平衡车系统的动力学方程表示为:qT(M qFFs).()式中:M为广义质量阵,F为广义力阵,Fs为轮地接触力和摩擦力对广义力的贡献.FsKffn.()式中:KfKf,Kf(),fn(fn,fn)T.由于所选取的广义坐标相互独立,式()可简化为:M qFFs.()法向接触力模型直接引入接触力模型计算非结构化环境下的轮地接触力,相当于在L u G r e模型的基础上再引入一层本构关系,积分步长必须极小才能够避免产生由虚假侵入所造成的虚高接触力.为克服该问题,一种可行的解决方式是将轮地接触力视为轮地单边约束提供的约束反力,引入互补理论描述法向接触力fn与轮地之间的缝隙函数之间的关系:fn,fn.()式中:法向接触力fn和轮地之间的缝隙函数均恒大于等于零,且当缝隙函数不为,即轮地相互分离时,王海明等:基于L u G r e摩擦模型的两轮自平衡车系统动力学法向接触力必定为;当法向约束力不为,即轮地相互接触时,缝隙函数必为.对式()求两次时间导数,可得加速度层面的互补关系f nfnfn.()两轮自平衡车在通常情况下其车轮与地面都是紧密贴合的状态,即处于平顺接触,此时缝隙函数与其一阶导数为,即.()将式()代入到式()中,得到平顺接触时法向接触力与缝隙函数的二阶导数之间的互补关系fn,fn.()与式()等价的非线性方程组可表示为:fnfn.()在非结构化环境中,轮地间紧密贴合的假设可能被破坏,式()所表述的平顺接触时加速度层面的线性互补关系也不复存在.因此该模型不适用于对两轮自平衡车在非结构化环境中的运动进行全过程仿真.一种可行的思路是引入时均缝隙函数代替时变缝隙函数建立线性互补关系,即thth t.()式中:h为时均参数,表示缝隙函数在t,th 区间内的平均值.此时时均缝隙函数与法向接触力fn的互补关系可表示为:fn,fnfn.()由于缝隙函数的二阶导数总可以由系统广义加速度表示:iAaiq bai.()式中:Aai为缝隙函数的二阶导数与广义加速度之间的变换阵,bai为加速度余项,可表示为:baii(iri).()式中:i为两轮自平衡车的角速度矢量,ri为两轮自平衡车质心到接触点的矢径.因此,时均缝隙函数可进一步表示为:it iht ihAaiq bai().()由式(),广义加速度也可由接触力所提供的广义力线性表示为:q MFsMFAqFsbq.()联立式()、式(),可将时均缝隙函数与接触力之间的线性关系写为:it iht ihAaiAqFsbq()bai.()或改写为紧凑形式:iAa iFsbai.()式中:AaihAaiAq,baih(Aaibqbai)t iht i.由式()广义接触力与法向约束力的关系,可得到广义法向约束力fn与时均缝隙函数的线性互补方程为:Aafnba,fn,fnfn.()式中:Aa(Aa,Aa)Kf,ba(ba,ba).通过高效的非线性方程求解器,例如M a t l a b、F s o l v e可求解两轮自山东科技大学学报(自然科学版)年第期平衡车动态接触力和摩擦力.互补变量规范化方法对于两轮自平衡车系统来说,轮地接触力和轮地缝隙函数的数量级差异极为悬殊,由此引入的舍入误差将会对式()的求解带来很大的困难.本研究采用规范化方法将互补变量的数量级进行调整,避免舍入误差的干扰.)令km a x(bc),则:kAckfnbck.()令km a x(k),则:kAckkkfn()bck.()或简写为Acfnbc.式中Ac,bc绝对值的最大值为,保证了互补变量数量级的一致性.采用t,th 时间区间内的时均缝隙函数代替瞬时缝隙函数建立互补方程,则积分器的时间分辨率被降低到h以下.当轮地紧密贴合时,式()退化为平顺接触的线性互补方程(),此时再采用较低的h值必然降低积分器效率.为此可采用变步长策略:当侦测到平顺接触时则光滑的放大h值以提高效率,当侦测到轮地分离时则平顺的降低h值以高精度分析碰撞过程.数值算例与分析对两轮自平衡车系统施加不同的驱动力矩并考虑不同的工况,分析两轮自平衡车运动状态的变化.建立两轮自平衡车系统动力学模型,模型参数设置为:车身踏板质量m k g,单个驱动轮质量mik g,驱动轮半径r m,车身踏板宽 m,车身踏板长 m.L u G r e模型参数取值为:N/m,Ns/m,vs m/s,驱动轮与地面之间的静摩擦系数s ,动摩擦系数k .纵向滑移状态分析图给出了系统受两组不同驱动力矩时运动状态的对比.图(a)(c)为两个驱动轮受相同驱动力矩M为Nm时车身y方向位移以及两个驱动轮的转动角度的曲线,图(d)(f)为其速度和转动角速度曲线.图(g)(l)是两驱动轮受驱动力矩M为 s i nt()Nm的作用时车身y方向位移和车轮转动角度以及速度和角速度的变化曲线.结果表明,两轮自平衡车在两个相同驱动力矩的作用下保持直线运动,由图(a)(c)、(d)(f)不难看出,车身y方向位移与驱动轮转动角度之间以及车身速度与驱动轮转动角速度之间存在明显定量关系:rry,rry.()然而系统在驱动力矩M的作用下,车身运动的位移和驱动轮转动角度以及车身速度和驱动轮角速度之间不再满足式()的关系.图为车身运动位移与驱动轮转动距离之间差值的曲线,直线为M的作用,虚线为M的作用,可以看出,系统在驱动力矩M的作用下轮地间会产生相对运动,意味着此时两轮自平衡车已经发生相对滑移,系统非完整约束遭到破坏.基于L u G r e摩擦模型,图为系统在驱动力矩M的作用下驱动轮与地面之间摩擦力的变化.图表明,L u G r e摩擦模型能够反映轮地之间的粘滞滑移行为,并且可以看出在相对运动发生时,摩擦力产生由最大静摩擦力到滑动摩擦力的突变.王海明等:基于L u G r e摩擦模型的两轮自平衡车系统动力学图系统运动状态F i g M o t i o ns t a t eo f t h es y s t e m山东科技大学学报(自然科学版)年第期图相对位移F i g R e l a t i v ed i s p l a c e m e n t图驱动轮所受摩擦力F i g F r i c t i o no nt h ed r i v ew h e e l 横向侧滑状态分析两轮自平衡车在运动过程中,车轮与地面之间还会因为制动、转向以及受到扰动(如路面不平或积水积雪等导致的摩擦系数降低)而发生横向侧滑.对两轮自平衡车两驱动轮施加相同的驱动力矩M,大小为Nm,运行s后,设两轮自平衡车车轮与路面之间摩擦系数发生突变,左驱动轮与地面之间的静摩擦系数变为s ,动摩擦系数变为k .在这种极端情况下分析两轮自平衡车侧滑的动力学行为.图为两个驱动轮受相同驱动力矩M时车身y方向位移、两个驱动轮的转动角度以及车身整体位移和转动角度,图为左驱动轮在运动过程中所受到的来自x轴与y轴方向的摩擦力.可以看出,由于摩擦系数的改变,s后左驱动轮在驱动力矩的作用下处于一种近乎不受约束的状态,转动角度不断增大,远远图考虑侧滑时运动状态F i g M o t i o ns t a t ec o n s i d e r i n gs i d e s l i p王海明等:基于L u G r e摩擦模型的两轮自平衡车系统动力学超过两轮自平衡车整体运动轨迹;通过图(d)、(e)可以看出,两轮自平衡车在运行s后偏移初始的期望轨迹,出现横向位移,并且车身不断来回摆动,说明此时两轮自平衡车轮地间产生横向侧滑,已经无法对两轮自平衡车进行准确地控制.图左驱动轮所受摩擦力F i g F r i c t i o no nt h e l e f td r i v ew h e e l结论本研究基于L u G r e模型建立了考虑粘滑摩擦的两轮自平衡车动力学模型,分析了不同工况下两轮自平衡车可能发生的纵向和侧向滑移情况,得出以下结论.)两轮自平衡车在非结构化环境中运行时若非完整约束被破环,会导致原有的模型失效.本研究将两轮自平衡车视为多刚体系统拓扑结构,基于虚功率原理,引入考虑粘滞滑移效应的摩擦力模型分析轮地间摩擦过程中的粘滞滑移行为,引入线性互补理论描述轮地动态接触力,建立了新的动力学模型,并引入规范化方法和变步长策略,提高了求解效率.该建模过程逻辑清晰,易于编程,仿真结果与实际相符,验证了所建模型的正确性.)两轮自平衡车驱动力矩过大时将会发生滑移.本研究建立的考虑粘滞滑移摩擦的动力学模型能够对运动过程中存在的粘滞滑移现象进行准确侦测跟踪,并就数值求解过程中求解器选择、求解精度控制以及积分器步长选择对数值结果的影响进行分析,为轨迹跟踪控制提供理论牵引.)路面摩擦系数的突然改变会引起两轮自平衡车所受摩擦力发生变化,导致车轮发生空转,车轮转动角度与车身位移之间的关系被破坏,车体偏离期望轨迹并发生剧烈的摆动产生纵向以及侧向滑移.如何在失控后重新对两轮自平衡车进行轨迹控制是后续研究需要解决的问题.参考文献:赵伟,张勇非完整移动机器人的路径跟踪控制J山东科技大学学报(自然科学版),():Z HAO W e i,Z HANGY o n g T h ep a t hf o l l o w i n gc o n t r o l o f i n c o m p l e t em o b i l er o b o tJ J o u r n a lo fS h a n d o n gU n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y(N a t u r a lS c i e n c e),():李世光,王文文,申梦茜,等两轮自平衡机器人平衡控制仿真与研究J山东科技大学学报(自然科学版),():L IS h i g u a n g,WAN G W e n w e n,S HE N M e n g x i,e ta l B a l a n c ec o n t r o ls i m u l a t i o na n dr e s e a r c ho ft w o w h e e l e ds e l f b a l a n c er o b o tJ J o u r n a l o fS h a n d o n gU n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y(N a t u r a lS c i e n c e),():刘延柱动力滑板车漫话J力学与实践,():L I U Y a n z h u I n t r o d u c t i o nt om e c h a n i c a l p r i n c i p l e so f s e g w a yH PJ M e c h a n i c s i nE n g i n e e r i n g,():L I UJM M o d e l i n ga n ds i m u l a t i o ne x p e r i m e n t o f S e g w a y s y s t e mC t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c eo nS i m u l a t i o na n dM o d e l i n gM e t h o d o l o g i e s,T e c h n o l o g i e sa n dA p p l i c a t i o n s S a p p o r o,D e c ,:山东科技大学学报(自然科学版)年第期王晓芸,崔培,陈晓轮式移动机器人文献综述J石家庄铁路职业技术学院学报,():WANGX i a o y u n,C U IP e i,CHE NX i a o L i t e r a t u r er e v i e wo fw h e e l e dm o b i l er o b o tJ J o u r n a 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nm o d e lJ J o u r n a l o fC h a n g z h o uI n s t i t u t eo fT e c h n o l o g y,():D ANY L OP,AN D R Z E JS N u m e r i c a la n a l y s i so ft h ef r i c t i o n i n d u c e do s c i l l a t o ro fD u f f i n gst y p ew i t hm o d i f i e dL u G r ef r i c t i o nm o d e lJ J o u r n a l o fS o u n da n dV i b r a t i o n,:郑鹏,王琪,吕敬,等摩擦与滚阻对被动行走器步态影响的研究J力学学报,():Z HE NGP e n g,WAN GQ i,L J i n g,e t a l S t u d yo n t h e i n f l u e n c eo f f r i c t i o na n dr o l l i n gr e s i s t a n c eo n t h eg a i t o f p a s s i v ed y n a m i cw a l k e rJ C h i n e s eJ o u r n a l o fT h e o r e t i c a l a n dA p p l i e dM e c h a n i c s,():王琪,庄方方,郭易圆,等非光滑多体系统动力学数值算法的研究进展J力学进展,():WAN GQ i,Z HUANGF a n g f a n g,GUOY i y u a n,e t a l A d v a n c e s i nt h er e s e a r c ho nn u m e r i c a lm e t h o d s f o rn o n s m o o t hd y n a m i c so fm u l t i b o d ys y s t e m sJ A d v a n c e s i nM e c h a n i c s,():田强,刘铖,李培,等多柔体系统动力学研究进展与挑战J动力学与控制学报,():T I ANQ i a n g,L I UC h e 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