数学归纳法经典例题详解.pdf

例 1用数学归纳法证明：1212121751531311nnnn证明：n=1 时，左边，右边，左边=右3131131121边，等式成立假设 n=k 时，等式成立，即：1212121751531311kkkk当 n=k+1 时 3212112121751531311kkkk3212112kkkk321211232121322kkkkkkkk1121321kkkk这就说明，当 n=k+1 时，等式亦成立，综合上述，等式成立.例 2是否存在一个等差数列an，使得对任何自然数 n，等式：a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并证明你的结论 解：将 n=1，2，3 分别代入等式得方程组，60322426321211aaaaaa解得 a1=6，a2=9，a3=12，则 d=3故存在一个等差数列 an=3n+3，当 n=1，2，3 时，已知等式成立下面用数学归纳法证明存在一个等差数列 an=3n+3，对大于 3 的自然数，等式 a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立因为起始值已证，可证第二步骤 假设 n=k 时，等式成立，即 a1+2a2+3a3+kak=k(k+1)(k+2)那么当 n=k+1 时，a1+2a2+3a3+kak+(k+1)ak+1=k(k+1)(k+2)+(k+1)3(k+1)+3=(k+1)(k2+2k+3k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+1)+1(k+1)+2这就是说，当 n=k+1 时，也存在综合上述，可知存在一个等差数列 an=3n+3，对任何自然数n，等式 a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立例 3证明不等式(nN)nn2131211证明：当 n=1 时，左边=1，右边=2左边右，不等式成立。假设时，不等式成立，即，那么当时，时，不等式也成立。由，知，对一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立。例 6.若不等式对一切正整数 n都成立，求正整数 a 的最大值，并证明你的结论。解析：解析：取，。令，得，而，所以取，下面用数学归纳法证明，（1）时，已证结论正确（2）假设时，则当时，有，因为，所以，所以，即时，结论也成立，由（1）（2）可知，对一切，都有，故 a 的最大值为 25。*例 7已知数列an满足 a1=0，a2=1，当 nN 时，an+2=an+1+an求证：数列an的第 4m+1 项(mN)能被 3 整除证明：当 m=1 时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被 3 整除当 m=k 时，a4k+1能被 3 整除，那么当 n=k+1 时，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1由假设 a4k+1能被 3 整除，又 3a4k+2能被 3 整除，故3a4k+2+2a4k+1能被 3 整除因此，当 m=k+1 时，a4(k+1)+1也能被 3 整除由、可知，对一切自然数 mN，数列an中的第 4m+1项都能被 3 整除