数列全部题型归纳(非常全面-经典)(2).pdf

1 数列百通数列百通 通项公式求法通项公式求法 (一一)转化为等差与等比转化为等差与等比1、已知数列满足，（），则它的通项公式什么na11a 211nnaa,nNnna2.已知是首项为 2 的数列，并且，则它的通项公式是什么na112nnnnaaa ana3.首项为 2 的数列，并且，则它的通项公式是什么231nnaana4、已知数列中，.na10a 112nnaa*Nn 2求证：是等差数列；并求数列的通项公式；11na na5.已知数列中，如果，求数列的通项公式 na13a 1222nnaan2nnban na（二）含有的递推处理方法nS1）知数列an的前 n 项和 Sn满足 log2（Sn+1）=n+1，求数列an的通项公式.32.）若数列的前 n 项和满足，则，数列 nanS2(2)8nnaSna3）若数列的前 n 项和满足，则，数列 nanS111,0,4nnnnaS Saa na4）12323.(1)(2)naaanan nn求数列na（三）累加与累乘（1）如果数列中求数列 na111,2nnnaaa(2)n na 4（2）已知数列满足，求此数列的通项公式na31a)2()1(11nnnaann(3),求此数列的通项公式.12+211,2,=32nnnaaaaa（4）若数列的前 n 项和满足，则，数列 nanS211,2nnSn a ana（四）一次函数的递推形式（四）一次函数的递推形式1.若数列满足，数列 na1111,12nnaaa(2)n na 52.若数列满足，数列 na1111,22nnnaaa(2)n na（五）分类讨论（1），求数列 2123(3),1,7nnaanaana（2），求数列1222,(3)1,3nnanaaana（六）求周期16（1），求数列121,41nnnaaaa2004a 6（2）如果已知数列，求11nnnaaa122,6aa2010a拓展 1：有关等和与等积（1）数列满足,求数列an的通项公式na01a12nnaa（2）数列满足,求数列an的通项公式na01a12nnaan 7(3).已知数列,求此数列an的通项公式.满足na)(,)21(,3*11Nnaaannn拓展 2 综合实例分析1 已知数列an的前 n 项和为，且对任意自然数 n，总有nS1,0,1nnSp app（1）求此数列an的通项公式(2)如果数列中，求实数 p 的取值范围 nb11222,nbnq ab ab2 已知整数列an满足，求所有可能的31223341.3nnnna aa aa aaana3 已知是首项为的正项数列，并且，则它的通项公式是什na2211(1)0(1,2,3,)nnnnnanaaanna么4 已知是首项为 1 的数列，并且，则它的通项公式是什么na134nnnaaana 85、数列和中，成等差数列，成等比数列，且，设 na nb1,nnnabanb1na1nb11a21b，求数列的通项公式。nnnbac nc6设无穷数列的前项和为，已知，且当时，总有，求及 nannS12a nN1312nnSS nanS7 数列满足，其中为正实数，na11nnpSa p12nSaa*nanN 9(1)证明：为等比数列，并求出它的通项；na(2)数列中，求的通项公式 nb11b 1nnnbba nb数列求最值的方法（一）化为函数方法转化为耐克函数（1）如果数列的通项公式是=，此数列的哪一项最小？并求其最小值 nana24nnn 10（2）如果数列的通项公式是=，此数列的哪一项最大？并求其最大值 nana2156nn 转化为分式函数（3）如果数列的通项公式是=，此数列的哪一项最大？并求其最大值 nana15nn转化为二次函数（4）如果数列的通项公式是=是单调递增数列，求 k 的取值范围。nana22nkn如果该数列在第四项最小，求 k 的取值范围（二）数列的简单单调性求最值的方法：如果数列的通项公式是=，nana*111.()12nNnnnn(1)判断数列的增减(2)若对于一切大于 1 的自然数 n，不等式恒成立求 a 的取值范围？12log(1)123naaa 11（三）计算器结合复杂单调性，求最值的方法（1）数列的通项公式是=，是否存在自然数 m，使对任意的序号，有恒成 nana*1,nnN*nNnmaa立，若存在，求出 m，如果不存在，请说明理由（2）如果数列的通项公式是=，是否存在自然数 m，使对任意的序号，有 nana*9(),10nnN*nN恒成立，若存在，求出 m，如果不存在，请说明理由nmaa（3）如果数列的通项公式是=，是否存在自然数 m，使对任意的序号，有 nana*9(1)(),10nnnN*nN恒成立，若存在，求出 m，如果不存在，请说明理由nmaa（四）数列单调性求“和”的最值的方法已知数列前 n 项和为，且nS585,()nnSnanN（1）求的通项公式na（2）求的通项公式nS（3）说说 n 为何值时，取得最小值？nS 12数列的求和（一）倒序相加法：（1）设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，求：122xf x n的值87ff 0f 89ff（2）01231234.(1)nnnnnnnnnSCCCCnCnC（二）错位相减法求和：135724816212nn 13（三）公式求和法（1）数列中，且，na148,2aa*2120nnnaaanN，求1234nSaaaananS（2）)(*122221NnbabbababaaSnnnnnnn（3）求和222212342n（三）裂项求和法（1）111,1 5 3 7 5 9（2）111133557 14（3）)(,32114321132112111*Nnn（4）求数列的前 n 项和!nan n（四）.分组求和法1.分部分组法（1）1111,2,3,248（2）1，3，32，3n1313213n 152.奇偶分组（3）已知求数列的前项和654nnnnan为偶数为奇数 nan3均匀分组（4）1,3,5,74.不均匀分组（5）求数列：的前 100 项和；1 1 1 1 1 1 1 1 11,2 2 3 3 3 4 4 4 4（6）求数列：的前项和1,23,456,789 10,n 16数列的极限5 个“三”三个定义极限（1）C=C（C为常数）;nlim（2）=0;nlimn1（3）qn=0（|q|1）nlim三个不存在的极限limnnlim(1)nnlim2nn三个推导极限（1）多项式1*1101110,;.(,0,0).0,.limkkkkklllnllalka nana nak lNabbbnb nbnblk，则3543lim2nbnann._,ba(2)单指数1(1)(1)(1)limnnnrqqq（3）多指数若，求的取值范围131lim331nnnnaa三个待定形1）型00 17比较 和2213lim12nnnnn2213lim14nnnnn2）型比较和2232lim21nnn2252lim21nnn3）0+0+0+0+0+0+0+0型nlim._)12131211(2222 nnnnn三个重要条件0(11)limnnqq 极限存在limnnq(11)q 1lim1nnaSSq(0|1)q设数列是公比的等比数列，是它的前项和，若，那么的的取值范围是_na0qnSnnlim7nS1a例 1已知数列中，na)(2,111Nnaaannn（1）求证数列不是等比数列，并求该数列的通项公式；na（2）求数列的前项和；nannS（3）设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值.nan2nS2nnnaSka222)1(3 Nnk 18例 2定义1x，2x，nx的“倒平均数”为nxxxn21（*Nn）（1）若数列na前n项的“倒平均数”为421n，求na的通项公式；（2）设数列nb满足：当n为奇数时，1nb，当n为偶数时，2nb若nT为nb前n项的倒平均数，求nnTlim；（3）设函数xxxf4)(2，对（1）中的数列na，是否存在实数，使得当x时，1)(naxfn对任意*Nn恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由 19例 3设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件)(2:*12NnaaaPnnnA的数列组成的集合为.)(2:*12NnaaaQnnnB（1）判断数列和数列是否为集合或中的元素？naann21:nnnbb21:AB（2）已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值3)(knannaABk范围；若不是，请说明理由.（3）已知，若为集合中的元素，求满足不等式*231(1)log(,)inan iZ nNnaB的的值组成的集合.60|2|nann 20例 4 对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样nxmnNnnmnxx一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当nxmmnx时是周期为 的周期数列，当时是周期为的周期数列.2nxnx1sin()2nynny4（1）设数列满足（），（不同时为 0），求证：数列nannnaaa12Nnbaaa21,a b是周期为的周期数列，并求数列的前 2012 项的和；na6na2012S（2）设数列的前项和为，且.nannS2)1(4nnaS 若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；0nana 若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；01nnaana 21例 5已知数列和的通项公式分别为，（），将集合na nb36nan27nbn*nN中的元素从小到大依次排列，构成数列*|,|,nnx xa nNx xb nN。123,nc c cc（1）求；1234,c c c c（2）求证：在数列中但不在数列中的项恰为；nc nb242,na aa（3）求数列的通项公式。nc 22例 6如果有穷数列（为正整数）满足条件，即123ma a aa，mmaa 112maa1aam（），我们称其为“对称数列”1imiaa1 2im，例如，数列与数列都是“对称数列”1 2 5 2 1，8 4 2 2 4 8，（1）设是 7 项的“对称数列”，其中是等差数列，且，依次写出的每 nb1234b b b b，21b114b nb一项；（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的 nc49252649ccc，12 nc和；S （3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列求前 nd1005152100ddd，23 nd项的和 nnS(1 2100)n，23挑战一已知数列是首项，公差为 2 的等差数列；数列满足.na1aa nbnnanb)1(2（1）若、成等比数列，求数列的通项公式；1a3a4a na（2）若对任意都有成立，求实数的取值范围；nN5nbba（3）数列满足，其中，；nc1213()(3)2nnnccnNn 且11c 232c ，当时，求的最小值（）nncbnf)(1614a)(nfnN 24挑战二我们规定：对于任意实数，若存在数列和实数，使得Ana(0)x x，则称数可以表示成进制形式，简记为：21123.nnAaa xa xa xAx。如：，则表示 A 是一个 2 进制形式的数，且1231()()().()()nnAxaaaaa2 (1)(3)(2)(1)A5.231 3 2(2)21 2 A（1）已知（其中，试将 m 表示成进制的简记形式.2(1 2)(1 3)mxx0)x x（2）若数列满足，na12a*11,1kkakNa，是否存在实常数 p 和 q，对于任意的，123323132 ()()().()()()nnnnbaaaaaa*()nN*nN总成立？若存在，求出 p 和 q；若不存在，说明理由.nnbp 8qA（3）若常数 满足且，求.t0t 1t 1231()()().()()nnnnnnnndtCCCCC1limnnndd 25挑战三已知数列，满足)(22111Nnaaaannnn(1)nnaa并求出数列的通项公式；(2)求等差数列对都成立；11231201)(nnnnnnnnaCbCbCbCbNnb，使 NnMacacacacMNnnbcnnnn332211)(，使，是否存在正常数令 Nn对恒成立，并证明你的结论 26挑战四已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，na0d nnS2345aa.1414aa （1）求数列的通项公式；na （2）设由（）构成的新数列为，求证：当且仅当时，数列是等差数列；nnSbnc0c nb21c nb （3）对于（2）中的等差数列，设（），数列的前 nb8(7)nnncab*nN nc项和为，现有数列，（），nnT()f n8()30.9nnnnf nTab*nN是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小M Mnf*nNM值，若不存在，请说明理由.27挑战五挑战五已知，数列有（常数），对任意的正整数，并有满足 napaaa21,0pnnaaaSn21,nS。2)(1aanSnn（1）求的值；a（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；na（3）对于数列，假如存在一个常数使得对任意的正整数都有且，则称为数列 nbbnbbnbbnnlimb的“上渐进值”，令，求数列的“上渐进值”。nb2112nnnnnSSSSpnpppn221 28挑战六已知数列中，.na10a 112nnaa*Nn（1）求证：是等差数列；并求数列的通项公式；11na na（2）假设对于任意的正整数、，都有，则称该数列为“域收敛数列”.试判断:数列mn|nmbb，是否为一个“域收敛数列”，请说明你的理由.45nnnba*Nn23 29211123(18)(),(0),()0.(1),()4,;(2)124.2.,;(3)()23,1,nnnnnnnnnnnf xxaxa axRxf xaSf naabbnTcccncc、本大题分已知二次函数有且仅有唯一的实数值满足在数列中满足求的通项在数列中依次取出第项、第项、第项第项组成新数列求新数列的前项和理科设数列满足数列1,(1).(3)(),.nnnnnnnnnHHSncca a的前项和记作试比较与题中的大小文科设求数列的最大和最小值 30挑战八已知函数是图像上的两点，横坐标为的点满足 311223log,(,),(,)1xf xM x yN xyx xf21P（为坐标原点）.2OPOMON O（1）求证：为定值；12yy（2）若，121nnSfffnnn*(2)nnN，求的值；1149lim49nnnnSSSSn（3）在(2)的条件下，若，为数列的前项和，若111612411nnnnanSS，*()nNnT nan对一切都成立，试求实数的取值范围.11nnTm S*nNm 31挑战九本题共有 3 小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题 满分 6 分 把公差为 2 的等差数列na的各项依次插入等比数列nb中，将nb按原顺序分成 1 项、2 项、4 项、12n项的各组，得到数列nc：3765423211,abbbbabbab，记数列nc的前n项和为nS若11c，22c，3S413（1）求数列na、nb的通项公式；（2）求数列nc的前 100 项和100S；（3）设nnnabT 2009，阅读框图写出输出项，说明理由开始i1100iii1结束是是否否T15输出 Ti 32挑战十已知数列an和bn满足：a1=,an+1=其中 为24,(1)(321),3nnnnanban 实数，n 为正整数.（1）对任意实数，证明:数列an不是等比数列；（2）证明：当18 nb 时，数列是等比数列；（3）设 0ab（a,b 为实常数）,Sn为数列bn的前 n 项和.是否存在实数，使得对任意正整数 n，都有 aSnb?若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由.33挑战十一将数列an 中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a1，a4，a8，构成的数列为bn，已知：在数列bn 中，b1=1，对于任何 nN*，都有（n+1）bn+1nbn=0；表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为 q（q0）的等比数列；请解答以下问题：（1）求数列bn 的通项公式；（2）求上表中第 k（kN*）行所有项的和 S（k）；（3）若关于 x 的不等式在上有解，求正整数 k 的取值范围