数列通项公式方法大全很经典.pdf

1，数列通项公式的十种求法：数列通项公式的十种求法：（1 1）公式法（构造公式法）公式法（构造公式法）例例 1 1 已知数列满足，求数列的通项公式。na123 2nnnaa 12a na解：两边除以，得，则，故数列123 2nnnaa 12n113222nnnnaa113222nnnnaa是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得2nna1222a1123，所以数列的通项公式为。31(1)22nnan na31()222nnan评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数123 2nnnaa 113222nnnnaa列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数2nna31(1)22nnan 列的通项公式。na（2 2）累加法）累加法例例 2 2 已知数列满足，求数列的通项公式。na11211nnaana，na解：由得则121nnaan121nnaan112322112()()()()2(1)1 2(2)1(2 2 1)(2 1 1)12(1)(2)2 1(1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn 所以数列的通项公式为。na2nan评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而121nnaan121nnaan求出，即得数列的通项公式。11232211()()()()nnnnaaaaaaaaana变式：变式：已知数列满足，求数列的通项公式。na112 313nnnaaa，na（3 3）累乘法）累乘法例例 3 3 已知数列满足，求数列的通项公式。na112(1)53nnnanaa，na解：因为，所以，则，故112(1)53nnnanaa，0na 12(1)5nnnana1321122112211(1)(2)2 1(1)122(1 1)52(2 1)52(2 1)5 2(1 1)5 32(1)3 2 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn 所以数列的通项公式为na(1)123 25!.n nnnan 评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而12(1)5nnnana12(1)5nnnana求出，即得数列的通项公式。13211221nnnnaaaaaaaaana变式：变式：已知数列满足，求的na11231123(1)(2)nnaaaaanan，na通项公式。（4 4）待定系数法）待定系数法例例 4 4 已知数列满足，求数列的通项公式。na1123 56nnnaaa，na解：设1152(5)nnnnaxax 将代入式，得，等式两边消去123 5nnnaa 123 55225nnnnnaxax ，得，两边除以，得代入式得2na13 5525nnnxx5n352,1,xxx 则1152(5)nnnnaa由及式得，则，则数列是以1156510a 50nna 11525nnnnaa5 nna 为首项，以 2 为公比的等比数列，则，故。1151a 152nnna125nnna评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，123 5nnnaa 1152(5)nnnnaa从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列5 nna 5 nna 的通项公式。na变式：变式：已知数列满足，求数列的通项公式。na1135 241nnnaaa，na已知数列满足，求数列的通项公式。na21123451nnaanna，na（5 5）对数变换法）对数变换法例例 5 5 已知数列满足，求数列的通项公式。na512 3nnnaa17a na解：因为，所以。在式两边取5112 37nnnaaa，100nnaa，512 3nnnaa常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny11将式代入式，得，两边消去115lglg3lg2(1)5(lg)nnanx nyaxny并整理，得，则5lgna(lg3)lg255x nxyxny，故lg35lg25xxxyylg34lg3lg2164xy代入式，得 111lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan12由及式，1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg71041644164a 12得，lg3lg3lg2lg04164nan则，1lg3lg3lg2lg(1)41645lg3lg3lg2lg4164nnanan所以数列是以为首项，以 5 为公比的等lg3lg3lg2lg4164nanlg3lg3lg2lg74164比数列，则，因此1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)541644164nnan1111111116164444111111161644441111111616444455514lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)54164464(lg7lg3lg3lg2)5lg3lg3lg2lg(7 332)5lg(332)lg(7 332)5lg(332)lg(733nnnnnnnnnnnnan1115116454151511642)lg(732)nnnnn则。11541515164732nnnnna评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为512 3nnnaa，从而可知数列1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan是等比数列，进而求出数列的通lg3lg3lg2lg4164nanlg3lg3lg2lg4164nan项公式，最后再求出数列的通项公式。na（6 6）数学归纳法）数学归纳法例例 6 6 已知数列满足，求数列的通项公式。na11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，na解：由及，得1228(1)(21)(23)nnnaann189a 2122322243228(1 1)88 224(2 1 1)(2 1 3)99 25258(2 1)248 348(2 2 1)(2 23)2525 49498(3 1)488 480(2 3 1)(2 33)4949 8181aaaaaa 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。22(21)1(21)nnan（1）当时，所以等式成立。1n 212(2 1 1)18(2 1 1)9a （2）假设当时等式成立，即，则当时，nk22(21)1(21)kkak1nk1228(1)(21)(23)kkkaakk222222222222222222222(21)18(1)(21)(21)(23)(21)1(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)(21)(23)(23)1(23)2(1)112(1)1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2由此可知，当时等式也成立。1nk根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。*nN评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。（7 7）换元法）换元法例例 7 7 已知数列满足，求数列的通项公式。na111(14124)116nnnaaaa，na解：令，则124nnba21(1)24nnab故，代入得2111(1)24nnab11(14124)16nnnaaa221111(1)14(1)241624nnnbbb即2214(3)nnbb因为，故1240nnba111240nnba则，即，123nnbb11322nnbb可化为，113(3)2nnbb所以是以为首项，以为公比的等比数3nb 1131243124 132ba 21列，因此，则，即，得121132()()22nnnb21()32nnb21124()32nna。2 111()()3 423nnna 评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化124nanb形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公11322nnbb3nb 3nb 式，最后再求出数列的通项公式。na（8 8）不动点法）不动点法例例 8 8 已知数列满足，求数列的通项公式。na112124441nnnaaaa，na解：令，得，则是函数212441xxx2420240 xx1223xx，的两个不动点。因为2124()41xf xx。所以数列112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa是以为首项，以为公比的等比数列，故，23nnaa112422343aa91312132()39nnnaa则。113132()19nna评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的2124()41xf xx212441xxx两个根，进而可推出，从而可知数列为等比1223xx，112213393nnnnaaaa23nnaa数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。23nnaana例例 9 9 已知数列满足，求数列的通项公式。na1172223nnnaaaa，na解：令，得，则是函数的不动点。7223xxx22420 xx1x 31()47xf xx因为，所以17255112323nnnnnaaaaa 。2 111()()3 423nnna 评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化124nanb形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公11322nnbb3nb 3nb 式，最后再求出数列的通项公式。na课后习题：课后习题：1数列的一个通项公式是（）25 2 211，A、B、C、D、33nan31nan31nan33nan2已知等差数列的通项公式为,则它的公差为（）na32nanA、2 B、3 C、D、233在等比数列中,则（）na,8,1641aa7aA、B、C、D、44224若等比数列的前项和为，且，则 nanS1010S3020S30S5已知数列通项公式，则该数列的最小的一个数是 na3102nnan6在数列an中，且，则数列的前 99 项和等于 112a 11nnnnaanNna 1na7已知是等差数列，其中，公差。na131a 8d （1）求数列的通项公式；na（2）数列从哪一项开始小于 0？na（3）求数列前项和的最大值，并求出对应的值nann8已知数列的前项和为，na132nnSn（1）求、的值；1a2a3a（2）求通项公式。na9等差数列中，前三项分别为，前项和为，且。na45,2,xxxnnS2550kS（1）、求和的值；xk（2）、求=;nTnSSSS1111321数列数列等差数列与等比数列的有关知识比较一览表等差数列与等比数列的有关知识比较一览表等 差 数 列等 比 数 列递推关系 （）121nnaaaa*nN （）1nnaad*nN （）11nnnnaaaa2n （）121nnaaaa*nN （）1nnaqa*0,qnN （）11nnnnaaaa*2,nnN通项 （）1(1)naand*nN （）napnq*,p qnN为常数 （）11nnqaa*nN（）nnqpa*,0,0,p qqpnN是常数求和公式 （）12()nnSn aa*nN ()1(1)2nn nSnad*nN()2nSAnBn*,A BnN是常数求积公式()nnniiaaa)(121*nN ()11,1(1),11nnna qSaqqq*nN(，)1,1,1nnna qSAAqq*nN0A主要若 p+q=s+r,p、q、s、rN*,则.pqsraaaa对任意 c0,c1,为等比数列.nac.*112,2nnnaaa nNn若、分别为两等差数列，则 na nb为等差数列.nnab若 p+q=s+r,p、q、s、rN*,则.rsqpaaaa对任意 c0,c1,若 an恒大于 0，则为等差数logcna列.2,211nNnaaannn若、为两等比数列，则为等比数列.na nbnnba若 an恒大于 0，则数列为等比数列.nniia1若为正项等差自然数列，则为等比数列.nb nba性质数列为等差数列.nSn若为正项等差自然数列，则为等 nb nba差数列.为等差数列.,232nnnnnSSSSS，n2m，m、n.2nn mmSSSnnm*N.m nmnSSSmnd若则.,mnSSmn0m nS为等比数列.,232nnnnnSSSSS，n2m，m、n，mnmnmiinniiaa211*N.*0,papN.mnm nmnnmSSq SSq S若,2121nmaaaaaanm则.nmiia11重要性质若p、q，且,pqaq ap*Nqp 则.0p qa若且,则,pSqSqpqp p、q.(),p qSpq*N)1()1(2mnmmmmnqqqSS =.)1()1(2nmnnnqqqS若|q|1,则.nnSlim11aSq求数列求数列aan n 通项公式的方法通项公式的方法1=+型型1nana)(nf累加法累加法：=（）+（）+（）nana1na1na2na2a1a+1a =+)1(nf)2(nf)1(f1a例 1.已知数列满足=1，=+（nN+），na1a1nanan2求.na解=+nana1na1na2na2a1a1a =+112n22n12 =12121nn2 =1（nN+）nan22=p+q 型（型（p、q 为常数）为常数）1nana方法方法：（1）+=，再根据等比1na1pq)1(pqapn数列的相关知识求.na （2）=1nana)(1nnaap 再用累加法求.na （3）=+，先用累加法求再求.11nnpannpa1npqnnpana例 3.已知的首项=a（a 为常数），na1a=2+1（nN+，n2），求.na1nana解 设=2（），则=1na1na+1=2（+1）na1na为公比为 2 的等比数列.1na+1=（a+1）na12n=（a+1）1na12n3型型)(1ngaann累乘法累乘法：=na1nnaa21nnaa12aa1a例 2.已知数列满足（nN+），=1，求nanaann11a.na解=na1nnaa21nnaa12aa1a =（n1）（n2）11=（n1）！=（n1）！（nN+）na4=p+型（型（p 为常数）为常数）1nana)(nf 方法方法：变形得=+，11nnpannpa1)(npnf则可用累加法求出，由此求.nnpana例 4.已知满足=2，=2+.求.na1a1nana12nna解=+1112nnanna2为等差数列.nna2=nna2nna121=nnan25=pq 型（型（p、q 为常数）为常数）2na1nana特征根法特征根法：qpxx2（1）时，=+21xx na1Cnx12Cnx2（2）时，=（+n）21xx na1C2Cnx1例 5.数列中，=2，=3，且na1a2a2=+（nN+，n2），求.na1na1nana解=21nana1na 122 xx121 xx=（+n）=+nna1C2Cn11C2C 3222121CCCC1121CC)(1Nnnan6“已知已知，求，求”型型nSna方法方法：=（注意是否符合）nanS1nS1a例 6.设为的前 n 项和，=（1），求（nN+）nSnanS23nana解=（1）（nN+）nS23na当 n=1 时，=（1）1a231a=31a当 n2 时，=nanS1nS=（1）（1）23na231na=3 =（nN+）na1nanan3求数列求数列aan n 的前的前 n n 项和的方法项和的方法（1）倒序相加法（2）公式法 此种方法主要针对类似等差数列中,具有这样特点的数列112nnaaaa此种方法是针对于有公式可套的数列，如等差、等比数列，关键是观察数列的特点，找出对应的公式例：等差数列求和12nnSaaa公式：等差数列：111()(1)aadand把项的次序反过来，则：()(1)nnnnSaadand+得：1112()()nnnnnSaaaaaa 个1()nn aa1()2nnn aaS11()(1)22nnn aan nSnad (1)2nn nnad m nmnSSSmnd *(2,)2nn mmSSSnm m nNnnm等比数列：；qqaaqqaSnnn11)1(11(1)q nm nnmSSS q1+2+3+n=；(1)2n n 2222123n1(1)(21)6n nn 3333123n2(123)n 221(1)4n n（3）错位相减法（4）分组化归法此种方法主要用于数列的求和，其中nnba为等差数列，是公比为 q 的等比数列，nanb只需用便可转化为等比数列的求和，但nnSqS要注意讨论 q=1 和 q1 两种情况此方法主要用于无法整体求和的数列，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和例：试化简下列和式：21123(0)nnSxxnxx 解：若 x=1，则 Sn=1+2+3+n=(1)2n n例：求数列 1，11211124+的和.11124112n解：11111242nna 若 x1,则21123nnSxxnx 2323nnxSxxxnx两式相减得：+2(1)1nx Sxx nnnxx1 11nnxnxx 21(1)1nnnxnxSxx111()1221212nn1111(1)(1)224nS 1111(1)242n 211(2 1)(2)(2)2211(2)2n11112(1)242nn 11222nn（5）奇偶求和法（6）裂项相消法此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑符号的数列，要求 Sn，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合此方法主要针对这样的求和，其中an是等12231111nna aa aaa差数列例：求和11 357(1)(21)nnSn 解：当 n=2k(kN+)时,2(1 3)(57)nkSS (43)(41)kk2kn 当，21()nkkN时例：an为首项为 a1,公差为 d 的等差数列，求12233411111nnnSa aa aa aaa解：1111()()kkkkkkkkadaa aa add a adA 1111111()()kkkkd aadd aa1223111111()()nSd aad aa21222(41)nkkkSSSakk 21kn综合得：1(1)nnSn 1111()nnd aa 122311111111()()()nndaaaaaa 1111()nd aa 111(1)na and(7)分类讨论（8）归纳猜想证明此方法是针对数列的其中几项符号与另外的项不na同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求.此种方法是针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之和的数列，先用不完全归纳法猜出的表达式，然后用数学归纳法证明之.nS例：已知等比数列中，=64，q=，设na1a21=log2，求数列|的前 n 项和.nbnanbnS解：=na1a1nqn72=log2=nbnan7（1）当7 时，0nnb此时，=+nS212n213n（2）当7 时，0nnb此时，=+42（8）nS212n213nn+（7）212n213nn=nS例：求和=+nS2123252)12(n解：，11S102S353S，844S1655S=（待定系数法）nS)14(312nn证明：（1）当=1 时，=1=n)14(312nn1S =1 时成立.n （2）假设当=k 时，=nkS)14(312kk 则=k+1 时，n=+1kSkS2)12(k =1)1(21)1(231kkk=k+1 时，成立.n由（1）、（2）知，对一切nN*，+42（8）212n213nn=.nS)14(312nn