椭圆知识点总结.pdf

1 椭圆椭圆知识点知识点知识点一：椭圆的定义知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,这P1F2F)2(2121FFaPFPF个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.P注意：若注意：若，则动点，则动点的轨迹为线段的轨迹为线段；2121FFPFPFP21FF若若，则动点，则动点的轨迹无图形的轨迹无图形.2121FFPFPFP知识点二：椭圆的简单几何性质知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：与 的简单几何性质12222byax)0(ba12222bxay)0(ba标准方程标准方程 12222byax)0(ba 12222bxay)0(ba图形图形焦点焦点，)0,(1cF)0,(2cF，),0(1cF),0(2cF焦距焦距 cFF221cFF221范围范围，axby，bxay对称性对称性关于关于轴、轴、轴和原点对称轴和原点对称xy顶点顶点，)0,(a),0(b，),0(a)0,(b轴长轴长长轴长长轴长=，短轴长，短轴长=长半轴长长半轴长=，短半轴长，短半轴长=（注意看清题目）（注意看清题目）a2b2ab离心率离心率)10(eace性质性质；caFAFA2211caFAFA1221caPFca12(p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）注意：与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等知识点三：椭圆相关计算知识点三：椭圆相关计算1椭圆标准方程中的三个量的几何意义 cba,222cba2.通径通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab22 焦点弦焦点弦：椭圆过焦点的弦。3.最大角:p 是椭圆上一点，当 p 是椭圆的短轴端点时，为最大角。21PFF4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。焦点三角形。焦点三角形的面积，其中（注意公式的推导）2tan221bSFPF21PFF5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）3(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上(2)设方程：依据上述判断设方程为=1或=12222byax)0(ba2222aybx)0(ba在不能确定焦点位置的情况下也可设 mx2ny21(m0，n0 且 mn)(3)找关系，根据已知条件，建立关于 a，b，c 或 m，n 的方程组(4)解方程组，代入所设方程即为所求 6.点与椭圆的位置关系:1,点在椭圆外。2222byax2222byax2222byax7.直线与椭圆的位置关系设直线方程 ykxm，若直线与椭圆方程联立，消去 y 得关于 x 的一元二次方程：ax2bxc0(a0)(1)0，直线与椭圆有两个公共点；(2)0，直线与椭圆有一个公共点；(3)0，直线与椭圆无公共点 8.弦长公式：（注意推导和理解）若直线与圆锥曲线相交与、两点，则弦长bkxyl:AB),(),2211yxByxA（221221)()(yyxxAB221221)()(kxkxxx2121xxk =2122124)(1xxxxk9.点差法：就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单步骤:设直线和圆锥曲线交点为 ，其中点坐标为 ，则得到关系式：，.4把 ，分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进行因式分解其结果为0)()(21212121yyyynxxxxm利用 求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为.中点弦的重要结论（不要死记会推导）中点弦的重要结论（不要死记会推导）10参数方程 （为参数）几何意义：离心角cossinxayb11、椭圆切线的求法1）切点（）已知时，切线00 x y22221(0)xyabab00221x xy yab 切线22221(0)yxabab00221y yx xab2）切线斜率 k 已知时，切线22221(0)xyabab222ykxa kb 切线22221(0)yxabab222ykxb ka12、焦半径：椭圆上点到焦点的距离 （加减由长短决定）22221(0)xyabab0raex （加减由长短决定）22221(0)yaabab0raey13离心率的求法5椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方14.焦点三角形的周长和面积的求法利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常15.椭圆的范围或最值问题知识点四：椭圆了解知识知识点四：椭圆了解知识1、椭圆面积：Sa b 椭2、椭圆的第二定义：5