我的高考--椭圆知识点总结.pdf

1椭圆知识点一、椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,这个动点P1F2F)2(2121FFaPFPF的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.P注意：若，则动点的轨迹为线段；)(2121FFPFPFP21FF若，则动点的轨迹无图形.)(2121FFPFPFP二、椭圆的标准方程1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中x12222byax)0(ba222bac2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；y12222bxay)0(ba222bac注：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有和；)0(ba222bac3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；x)0,(c)0,(c当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，y),0(c),0(c三、椭圆的简单几何性质椭圆：的简单几何性质12222byax)0(ba（1）对称性：对于椭圆标准方程说明：把换成、或把换成、或把、12222byax)0(baxxyyx 同时换成、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的yxy12222byaxxy轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范 围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足axby，。axby2（3）顶 点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 12222byax)0(ba，)0,(1aA)0,(2aA),0(1bB),0(2bB 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。21AA21BBaAA221bBB221和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。ab（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。eacace22 因为，所以的取值范围是。越接近 1，则就越接近，从)0(cae)10(eeca而 越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于 0，就越接近 0，从而越接22cabecb近于，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时，这时两个焦点重合，图aba 0c形变为圆，方程为。ayx22注：椭圆的图像中线段的几何特征（如右图）：12222byax（1）；122PFPFa；（椭圆的第二定义）ePMPFPMPF2211；2122aPMPMc（2）；12BFBFa12OFOFc2212ABA Bab（3）；1122AFA Fac1221AFA Fac1acPFac3四、椭圆 与 的区别和联系12222byax12222bxay)0(ba标准方程 12222byax)0(ba 12222bxay)0(ba图形焦点，)0,(1cF)0,(2cF，),0(1cF),0(2cF焦距 cFF221cFF221范围，axby，bxay对称性关于轴、轴和原点对称xy顶点，)0,(a),0(b，),0(a)0,(b轴长长轴长=，短轴长=a2b2离心率)10(eace准线方程cax2cay2性质焦半径，01exaPF02exaPF，01eyaPF02eyaPF注：关于椭圆与的说明：12222byax12222bxay)0(ba相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；)0(ba)10(eace222cba不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。4规律方法：1、如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标 轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件,一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2、椭圆标准方程中的三个量的几何意义cba,椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示 cba,椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，)0(ba，且。)0(ca)(222cba可借助右图理解记忆：显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，b、c 为两条 cba,直角边。3、如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪2x2y个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4、方程是表示椭圆的条件均不为零）CBACByAx,(22方程可化为，即，所以只有 A、B、C 同号，且 ABCByAx22122CByCAx122BCByACx时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。BCACxBCACy5、求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；cba,定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则 c 相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为12222byax)0(ba12222mbymax，此类问题常用待定系数法求解。)(2bm7判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据：xy5 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；xxy 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；yyx 若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。xyxy8如何求解与焦点三角形PF1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。将有2121sin2121PFFPFPFSFPF关线段，有关角()结合起来，建立2121FFPFPF、21PFF21PFF21BFF、之间的关系.21PFPF 21PFPF 焦点三角形面积公式：(P 为椭圆上任一一点)1 2212tan2PF FFPFSb9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，)10(eace222bac，用表示为。0 caba、)10()(12eabe显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；ab)10(ee当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。ab)10(ee（一）椭圆及其性质61、椭圆的定义（1）平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1 F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。（2）一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做)1,0(e椭圆奎 奎奎 奎 奎奎 奎 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率奎 奎奎 奎 奎奎 奎e2、椭圆的标准方程：222222221010 xyyxabababab或3、椭圆的参数方程)(sincos为参数byax4、离心率:椭圆焦距与长轴长之比奎 奎奎 奎 奎奎 奎奎 奎奎 奎 奎奎 奎 奎 奎奎 奎 奎奎 奎ace 2)(1abe10 e5、椭圆的准线方程：左准线 右准线caxl21:caxl22:（二）、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式：焦点在 x 轴上的椭圆的焦半径公式：（其中分别是椭圆的左右焦点）奎 奎奎 奎 奎奎 奎1200 MFaexaeMxF=21,FF焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式：（其中分别是椭圆的下上焦点）奎 奎奎 奎 奎奎 奎0201eyaMFeyaMF21,FF（三）、直线与椭圆问题（韦达定理的运用）1、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，bkxyl:AB),(),2211yxByxA（则：弦长 221221)()(yyxxAB221221)()(kxkxxx2121xxk 2122124)(1xxxxk例 1.已知椭圆及直线 yxm。2241xy（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。2、已知弦 AB 的中点，研究 AB 的斜率和方程 AB 是椭圆1(ab0)的一条弦，中点 M 坐标为x2a2y2b27(x0，y0)，则 AB 的斜率为.b2x0a2y0运用点差法求 AB 的斜率，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)A、B 都在椭圆上，Error!两式相减得：0，x1 2x2 2a2y1 2y2 2b20，x1x2x1x2a2y1y2y1y2b2即：.y1y2x1x2b2x1x2a2y1y2b2x0a2y0故：kAB.b2x0a2y0例 2、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。141622yx)1,2(MM（四）（四）、四种题型与三种方法四种题型与三种方法四种题型四种题型81、已知椭圆 C：内有一点 A（2，1），F 是椭圆 C 的左焦点，P 为椭圆 C 上的动点.1162522yx求：PA+PF的最小值。352、已知椭圆内有一点 A（2，1），F 为椭圆的左焦点，P 是椭圆上动点.1162522yx求：PA+PF|的最大值与最小值。3、已知椭圆外一点 A（5，6），l 为椭圆的左准线，P 为椭圆上动点，点 P 到 l 的距离为 d，1162522yx求：|PA|+的最小值。d534、定长为 d()的线段 AB 的两个端点分别在椭圆上移动.abd22)0(12222babyax求：AB 的中点 M 到椭圆右准线 的最短距离。l三种方法91、椭圆的切线与两坐标轴分别交于 A,B 两点，求：三角形 OAB 的最小面积。22221xyab2、已知椭圆 和直线 l:x-y+9=0，在 l 上取一点 M，经过点 M 且以椭圆的焦221123xy 点为焦点作椭圆，求 M 在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程。12,F F3、过椭圆的焦点的直线交椭圆 A,B 两点，求面积的最大值。2222xyAOB 课后同步练习课后同步练习101.椭圆的焦点坐标是 ,离心率是_，准线方程是_.11692522yx2.已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，过 F1的直线与椭圆交于 M、N 两点，则MNF2的周长为221169xy()A8 B16 C25 D323.椭圆上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个焦点的距离为（）192522yxA.5 B.6 C.4 D.104.已知椭圆方程为,那么它的焦距是 （）1112022yxA.6 B.3 C.3 D.31315.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 222 kyxyA.（0，+）B.(0,2)C.(1,+)D.(0,1)6设为定点，|=6，动点 M 满足，则动点 M 的轨迹是（）21,FF21FF6|21 MFMFA.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 7.已知方程+my22=1，表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围为 .12mx8.已知椭圆的两个焦点坐标是 F1（-2，0），F2（2，0），并且经过点 P（），则椭圆标准方程是_ 23,25_奎 奎奎 奎 奎奎 奎9.过点 A（-1，-2）且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是_ _奎 奎奎 奎 奎奎 奎 19622yx10.过点 P（，-2），Q（-2，1）两点的椭圆标准方程是_ _ _奎 奎奎 奎 奎奎 奎3311.若椭圆的离心率是，则 k 的值等于 .22189xyk2112.已知ABC 的顶点 B、C 在椭圆 y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在x3BC 边上，则ABC 的周长是 .13.F1、F2分别为椭圆+=1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，POF2是面积为的正三角形，则 b222xa22yb3的值是 14.设 M 是椭圆上一点，F1、F2为焦点，则 2212516xy126FMF1 2MF FS15.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率2为(A)(B)(C)(D)222122416.设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“11229,4,5A x yBC xyF221259xy成等差数列”是“”的（）,AFBFCF128xx（A）充要条件 （B）必要不充分条件 11（C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要17.如图，把椭圆的长轴分成 8 等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于2212516xyABx七个点，是椭圆的一个焦点，则1234567,P P P P P P PF .1234567PFP FPFP FP FP FP F18、已知定点 A（a，0），其中，它到椭圆上的点的距离的最小值为 1，求 a 的值。30 a22194xy19、已知F1F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任一点.22110064xy(1)若F1PF2=,求F1PF2的面积。3(2)求：|PF1|PF2|的最大值。