椭圆知识点总结及经典习题.pdf

1圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程-椭圆椭圆 知识点知识点一椭圆及其标准方程1椭圆的定义：平面内与两定点 F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭212FFa 圆，即点集 M=P|PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|=2c；这里两个定点 F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2c。（时为线段，无轨迹）。212FFa 21FF212FFa 2标准方程：222cab焦点在 x 轴上：（ab0）；焦点 F（c，0）12222byax焦点在 y 轴上：（ab0）；焦点 F（0,c）12222bxay注意：在两种标准方程中，总有 ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：或者 mx2+ny2=1 221xymn二椭圆的简单几何性质：1.范围 （1）椭圆（ab0）横坐标-axa,纵坐标-bxb12222byax （2）椭圆（ab0）横坐标-bxb,纵坐标-axa12222bxay 2.对称性 椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 （1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）（2）线段 A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 2a，短轴长等于 2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4离心率2 （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，22caac记作 e（），奎屯王新敞新疆 10 e22221()beaa c 是圆；e0 e 越接近于 0（e 越小），椭圆就越接近于圆;e 越接近于 1（e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。小结一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量），特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.00(,)P xy22221(0)xyabab2200221xyab（2）点在椭圆的外部.00(,)P xy22221(0)xyabab2200221xyab6.几何性质（1）点 P 在椭圆上，最大角12122max,FPFFB F （2）最大距离，最小距离7.直线与椭圆的位置关系（1）位置关系的判定：联立方程组求根的判别式；（2）弦长公式：（3）中点弦问题：韦达定理法、点差法3例题讲解：例题讲解：一.椭圆定义：方程化简的结果是 10222222yxyx2若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是 ABC4,0,4,0ABABC18C3.已知椭圆22169xy=1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一焦点距离 为 二利用标准方程确定参数1.若方程+=1（1）表示圆，则实数 k 的取值是 .25xk23yk（2）表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 .（3）表示焦点在 y 型上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 .（4）表示椭圆，则实数 k 的取值范围是 .2.椭圆的长轴长等于 ，短轴长等于 ,顶点坐标是 ,焦22425100 xy点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,3椭圆的焦距为，则=。2214xym2m4椭圆的一个焦点是，那么 。5522 kyx)2,0(k三待定系数法求椭圆标准方程1若椭圆经过点，则该椭圆的标准方程为 。(4,0)(0,3)2焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为 213a 212c 3焦点在轴上，椭圆的标准方程为x1:2:ba6c4.已知三点 P（5，2）、（6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点 P 的椭圆的1F2F1F2F标准方程；变式：求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。224936xy(3,2)四焦点三角形41椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是 。221925xy1F2FAB1F2ABF2设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是1F2F400251622yxP21FPF多少？的面积的最大值是多少？21FPF3设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积P2212516xy12,F F12FPF12FPF为 。变式：已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点若，14416922yx1F2FP6021PFF求的面积21FPF五离心率的有关问题1.椭圆1422myx的离心率为21，则m 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率 为 0120e3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5.在ABC中，3,2|,300ABCSABA若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e 六、最值问题：1、已知椭圆，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 2214xy 。2.椭圆两焦点为 F1、F2，点 P 在椭圆上，则|PF1|PF2|的最大值为_，2214xy 5七、弦长、中点弦问题 1、已知椭圆及直线1422 yxmxy（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？m（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程51022 已知椭圆，1222 yx (1)求过点（1,0）且被椭圆截得的弦长为的弦所在直线的方程22 （2）求过点且被平分的弦所在直线的方程；2121，PP同步测试同步测试 1 已知 F1(-8，0)，F2(8，0)，动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16，则点 P 的轨迹为()A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线 2、椭圆左右焦点为 F1、F2，CD 为过 F1的弦，则CDF1的周长为_221169xy 3 已知方程表示椭圆，则 k 的取值范围是()22111xykk A-1k0 C k0 D k1 或 k-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为 10，短轴长为 6 (2)长轴是短轴的 2 倍，且过点(2，1)(3)经过点(5，1)，(3，2)65.椭圆的左右焦点分别是 F1、F2，过点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 P 点。22221(0)xyabab 若F1PF2=60，则椭圆的离心率为_6 已知椭圆的方程为，P 点是椭圆上的点且,求的面积 22143xy1260FPF12PFF7.若椭圆的短轴为 AB，它的一个焦点为 F1，则满足ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为 8.椭圆上的点 P 到它的左焦点的距离是 12，那么点 P 到它的右焦点的距离是 13610022yx9已知椭圆的两个焦点为、，且，弦 AB 过点，则)5(125222ayax1F2F821FF1F的周长 2ABF 10、椭圆=1 与椭圆=(0)有 32x22y22x32y (A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对11、椭圆与（0kb0)的左、右焦点 F1、F2作两条互相垂直的直线 l1、l2，它x2a2y2b2们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()A(0,1)B.C.D.(0，22)(22，1)(0，222椭圆1 的焦点为 F1、F2，椭圆上的点 P 满足F1PF260，则F1PF2的x2100y264面积是()A.B.C.D.64 3391 3316 336433已知椭圆 E 的短轴长为 6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9，则椭圆 E 的离心率等于()4 已知点 F，A 分别是椭圆1(ab0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满x2a2y2b2足0，则椭圆的离心率等于()FB AB A.B.C.D.3125123125125已知椭圆1 的左右焦点分别为 F1、F2，过 F2且倾角为 45的直线 l 交椭圆于x24y22A、B 两点，以下结论中：ABF1的周长为 8；原点到 l 的距离为 1；|AB|；正确83结论的个数为()A3 B2 C1D06已知圆(x2)2y236 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线87过椭圆 C：1(ab0)的一个顶点作圆 x2y2b2的两条切线，切点分别为x2a2y2b2A，B，若AOB90(O 为坐标原点)，则椭圆 C 的离心率为_8 若椭圆1(ab0)与曲线 x2y2a2b2无公共点，则椭圆的离心率 e 的取值范x2a2y2b2围是_9已知ABC 顶点 A(4,0)和 C(4,0)，顶点 B 在椭圆1 上，则x225y29_.sinAsinCsinB10已知椭圆 C：1(ab0)的长轴长为 4.x2a2y2b2(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线 yx2 相切，求椭圆 C 的焦点坐标；.11椭圆 E 经过点 A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率 e.(1)12求椭圆 E 的方程；