高中数学：复习不等式知识点及主要题型-讲义含解答.pdf

1不等式的基本知识不等式的基本知识一、解不等式一、解不等式1 1、一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：00022acbxaxcbxax或设相应的一元二次方程的两根为，则002acbxax2121xxxx且、acb42不等式的解的各种情况如下表：0 0 0 二次函数cbxaxy2（）的图象0acbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221 无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2 R的解集)0(02acbxax21xxxx 2、简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿奇穿过偶弹回过偶弹回；3）根据曲线显现()f x的符号变化规律，写出不等式的解集。如：xxx11202323 3、分式不等式的解法、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。()()0()()0()()0;0()0()()f x g xf xf xf x g xg xg xg x4 4、不等式的恒成立问题、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 AxfDD minf xA若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 BxfDD maxf xB二、线性规划二、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0 同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实yx,yx,数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0 时，常把原点原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：线性约束条件线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数线性目标函数：关于 x、y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，叫线性目标函数线性规划问题线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）依据线性目标函数作参照直线 ax+by0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解3三、基本不等式三、基本不等式2abab1、若 a,bR,则 a2+b22ab,当且仅当 a=b 时取等号.2、如果 a,b 是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba变形：有:a+b；ab,当且仅当 a=b 时取等号.ab222ba3、如果 a,bR+,ab=P(定值),当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值;P2如果 a,bR+,且 a+b=S(定值),当且仅当 a=b 时,ab 有最大值.42S注：注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4、常用不等式有：1）2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用)；2）a、b、cR R，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题）。4不等式主要题型讲解不等式主要题型讲解一、不等式与不等关系一、不等式与不等关系题型一：不等式的性质题型一：不等式的性质1、对于实数cba,中，给出下列命题：22,bcacba则若；babcac则若,22；22,0bababa则若；baba11,0则若；baabba则若,0；baba则若,0；bcbacabac则若,0；11,abab若，则0,0ab。其中正确的命题是_题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2、设，试比较的大小2a 12paa2422aaqqp,3、比较 1+与的大小3logx)10(2log2xxx且4、若，则的大小关系是 .)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPbaRQP,二、解不等式二、解不等式题型三：解不等式题型三：解不等式5、解不等式：04722 xx01442 xx6、解不等式。2(1)(2)0 xx57、解不等式25123xxx 8、不等式的解集为x|-1x2，则=_,b=_2120axbxa9、关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集x0bax),1(x02xbax为10、解关于 x 的不等式2(1)10axax 6题型四：恒成立问题题型四：恒成立问题11、关于 x 的不等式 a x2+a x+10 恒成立，则 a 的取值范围是_ 12、若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.22210 xmxm 01xxm13、已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。0,0 xy191xyxymm三、基本不等式三、基本不等式2abab题型五：求最值题型五：求最值14、（直接用）求下列函数的值域1）y3x 2 2）yx12x 21x15、（配凑项与系数）1）已知，求函数的最大值。54x 14245yxx2）当时，求的最大值。(82)yxx716、（耐克函数型）求的值域。2710(1)1xxyxx 注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调的单调()af xxx性。性。17、（用耐克函数单调性）求函数的值域。2254xyx18、（条件不等式）1）若实数满足，则的最小值是 .2baba33 2）已知，且，求的最小值。0,0 xy191xyxy3）已知 x，y 为正实数，且 x 21，求 x的最大值.y 221y 24）已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y的最小值.1ab8题型六：利用基本不等式证明不等式题型六：利用基本不等式证明不等式19、已知为两两不相等的实数，求证：cba,cabcabcba22220、正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc21、已知 a、b、c，且。求证：R1abc1111118abc题型七：均值定理实际应用问题：题型七：均值定理实际应用问题：22、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。9四、线性规划四、线性规划题型八：目标函数求最值题型八：目标函数求最值23、满足不等式组0,087032yxyxyx，求目标函数yxk 3的最大值24、已知实系数一元二次方程2(1)10 xa xab 的两个实根为1x、2x,并且102x,22x 则1ba的取值范围是 25、已知满足约束条件：,则的最小值是,x y03440 xxyy222xyx1026、已知变量230,330.10 xyx yxyy 满足约束条件若目标函数zaxy（其中 a0）仅在点（3，0）处取得最大值，则 a 的取值范围为 。27、已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于 xy，121yyxxym，zxy1m题型九：实际问题题型九：实际问题28、某饼店制作的豆沙月饼每个成本 35 元，售价 50 元；凤梨月饼每个成本 20 元，售价 30 元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过 10 个，售价不超过 350 元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？11不等式的基本知识参考答案不等式的基本知识参考答案高中数学必修内容练习高中数学必修内容练习-不等式不等式1、；2、；pq3、当或时，1+；01x43x 3logx2log 2x 当时，1+；413x3logx2log 2x 当时，1+43x 3logx2log 2x4、1 ba（0lg,0lgba21Qpbabalglg)lglg RQP。QababbaRlg21lg)2lg(5、6、或；|1x x 2x 7、）；(1,1)(2,3)8、不等式的解集为x|-1x2，则=_-6_,b=_6_2120axbxa9、）.),2()1,(10、解：当 a0 时，不等式的解集为；2 分1x x 当 a0时，a(x)(x1)0；当 a0时，原不等式等价于(x)(x1)0a1a1不等式的解集为；.6分11x xxa或当0a1时，1，不等式的解集为；.8分a111xxa当 a1时，1，不等式的解集为；.10分a111xxa当 a1时，不等式的解为.12分11、0 x412、）12m 13、,16m 14、解：1）y3x 22 值域为，+）12x 2662）当 x0 时，yx 22；当 x0 时，yx=（x）2=21x1x1x值域为（，22，+）1215、1）解，5,5404xx 11425434554yxxxx 231 当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。15454xx1x 1x max1y2）当，即 x2 时取等号 当 x2 时，的最大值为 8。(82)yxx16、解析一：当,即时,（当且仅当 x1 时取“”号）。421)591yxx（解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即 t=时,（当 t=2 即 x1 时取“”号）。4259ytt17、解：令，则24(2)xt t2254xyx22114(2)4xtttx 因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。10,1ttt1tt1t 2,因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。1ytt 1,2,52y 所以，所求函数的值域为。5,218、（条件不等式）1）解：都是正数，ba33 和ba33 632332baba当时等号成立，由及得即当时，的最小值是 6ba33 2baba33 1 ba1 baba33 2）解）解：，190,0,1xyxy199106 1016yxxyxyxyxy 当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，9yxxy191xy4,12xymin16xy133）解：xx x1y 22下面将 x，分别看成两个因式：x 即 xx 341y 2234 24）解：法一：a，abb 302bb1302bb12 b 230bb1由 a0 得，0b15令 tb+1，1t16，ab2（t）34t282t 234t31t16t16t ab18 y 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。118法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab22 ab2 ab令 u则 u22u300，5u3 ab2223，ab18，yab211819、已知为两两不相等的实数，求证：cba,cabcabcba22220、正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc21、已知 a、b、c，且。求证：R1abc1111118abc证明：a、b、c，。同理，R1abc1121abcbcaaaa 121acbb。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得121abcc。当且仅当时取等号。1112221118bcacababcabcAA13abc22、解：若设污水池长为 x 米，则宽为（米）水池外圈周壁长：（米）中间隔墙长：（米）池底面积：200（米2）目标函数：23、41424、)21,3(25、126、),21(27、5 28、解：、解：设一盒內放入 x 个豆沙月饼，y 个凤梨月饼，利润为 z 元 则 x，y 必须满足，目标函数为 z15x10y 在可行区內的顶点附近 zf(x，y)的最大值，所以，一盒内装 2 个豆沙月饼 8 个凤梨月饼或 4 个豆沙月饼 5 个凤梨月饼，可得最大利润 110 元。