北师大版必修二第一章水平测试题-数学-单元测试-北师大版.doc

北师大版必修二第一章水平测试题
韦文月　　陕西师范大学　　710062

一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若是平面外一点，则下列命题正确的是（ ）
A．过只能作一条直线与平面相交 B．过可作无数条直线与平面垂直
C．过只能作一条直线与平面平行 D．过可作无数条直线与平面平行
2．在空间四边形中，、、、上分别取、、、四点，如果、交于一点，则（ ）
A．一定在直线上 B．一定在直线上
C．在直线或上 D．既不在直线上，也不在上
3．如图1，为正三角形所在平面外一点，且，、分别为、中点，则异面直线与所成角为（ ）
A．90° B．60° C．45 D．30°

图1
4．下列说法正确的是（ ）
A．若直线平行于平面内的无数条直线，则∥
B．若直线在平面外，则∥
C．若直线∥，，则∥
D．若直线∥，，则直线就平行于平面内的无数条直线
5．在下列条件中，可判断平面与平面平行的是（ ）
A．、都垂直于平面
B．内存在不共线的三点到平面的距离相等
C．、是内两条直线，且∥，∥
D．、是两条异面直线，且∥，∥，∥，∥
6．若为一条直线，、、为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①；②，∥；③∥，，其中正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．把正方形沿对角线折起，当点到平面的距离最大时，直线和平面所成角的大小为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．、、是从点引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
9．正方体中，分别是的中点，则与对角面所成角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．150°
10．设、、、是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（ ）
A．若与共面，则与共面  
B．若与是异面直线，则与是异面直线
C．若，，则      
D．若，，则
11．对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是（ ）
A．若则∥ B．若∥，∥则∥
C．若，∥则∥ D．若、与所成的角相等，则∥
12．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．设是直二面角，、、、，则 ．
14．、、是两两垂直且交于点的三个平面，到平面、、的距离分别是2、3、6，则= ．
15．如图2，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点到直线的距离为 ．

图2
16．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于 ．
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17．如图3，是正四棱柱．（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为60°，求异面直线与所成角的大小．

图3
18．如图4，在直三棱柱中，，，=90°．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．

图4
19．如图5-1，已知是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成直二面角，如图5-2．（1）证明：；（2）求二面角的大小．
图5-1
图5-2

20．如图6，△ABC和△DBC所在平面互相垂直，且，=120°．求：（1）、连线和平面所成的角；（2）二面角的正切值．

图6
21．如图7，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形．（1）证明//平面；（2）设，证明平面．

图7
22．（本小题满分12分）如图8，四面体中，、分别是、的中点，，．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的大小；（3）求点到平面的距离．

图8

北师大版必修二第一章水平测试题参考答案
一、选择题
1．D；　2．B；　3．C；　4．D；　5．D；　6．C；　7．C；　8．C；　9．A；　10．C；
11．C；　12．B
二、填空题
13．60°
14．7
15．
16．60°
三、解答题
17．
解法一：（1）∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，∴BD⊥CC1，∴ABCD是正方形，∴BD⊥AC．又∵AC、CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1．（2）设BD与AC相交于O，连接C1O．∵CC1⊥平面ABCD、BD⊥AC．∴BD⊥C1O∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角，∴∠C1OC=60°．连接A1B，∵A1C1∥AC，∴∠A1C1B是BC1与AC所成角．设BC=，则，60°=，，在△A1BC1中，由余弦定理得，∴，∴异面直线BC1与AC所成角的大小为．
解法二：（1）建立空间直角坐标系D-xyz，如图9．

图9
设AD=a，DD1=b，则有D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），C1（0，a，b），∴，∴，∴BD⊥AC，BD⊥CC1．又∵AC，CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1．（2）设BD与AC相交于O，连接C1O，则点O坐标为，． ，∴BD⊥C1O，又BD⊥CO，∴∠C1OC=60°，所以，所以，又因为，所以，∴异面直线BC1与AC所成角的大小为．
18．
（1）由已知条件立即可证得，
（2）在平面BB1C内作BD⊥B1C于D，由（1）得BD⊥面AB1C，所以BD为B到面AB1C的距离，所以（本题也可用体积转换）．
19．
解法一：（1）证明：由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1．所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB． 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图10，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）．

图10
从而，所以．
（2）解：因为所以BO1⊥OC，由（1）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量．设是平面O1AC的一个法向量，由，取，得．设二面角O-AC-O1的大小为，由、的方向可知，所以，即二面角O-AC-O1的大小是．
解法二：（1）证明：由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB．从而AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影．因为，所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1，由三垂线定理得AC⊥BO1．

图11
（2）解：由（1）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC．设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图11），则EF是O1F在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC．所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角．由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，所以，从而，又30°=．显然可得MN∥平面ABC，∵平面MNC平面ABC＝，∴MN∥．∵PC⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC，作MQ⊥AC，则MQ⊥平面ABC，作QD⊥于D，则MD⊥，MD的长即为M到的距离．在Rt△ACB中，可求得，又，∠QCD＝30°，∴，，于是．
20．
（1）作AO⊥BC交BC的延长线于O，∵面ABC⊥面BCD，∴OA⊥面BCD，连OD，则∠ADO就是AD与平面BCD所成的角，可求得∠ADO＝45°．
（2）作OE⊥BD于E，连AE，则BD⊥AE，∴∠AEO就是二面角A-BD-C的平面角的补角，∵∠ABO＝60°，∴，∵∠EBO＝60°，∴．在Rt△AOE中，，∴二面角A-BD-C的正切值为-2．
21．
（1）证明：取CD中点M，连结OM，在矩形ABCD中，，又，则．连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形，∴ FO//EM．又∵ FO平面CDE，且EM平面CDE，∴ FO//平面CDE．
（2）证明：连结FM，由（1）和已知条件，在等边中，CM=DM，EM⊥CD且．因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM．∵ CD⊥OM，CD⊥EM    ∴ CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO，而FMCD=M，所以平面CDF．
22．
（1）证明：如图12，连结OC．在中，由已知可得，而，所以，所以=90°，即平面．

图12
（2）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知，所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在中，是直角斜边AC上的中线，所以，所以，所以异面直线AB与CD所成角的大小为．
（3）解：设点E到平面ACD的距离为在中，，，而，所以，所以，点E到平面ACD的距离为．