函数的概念与性质常见典型考题赏析.pdf

张文伟 赵 昆 函数是高中数学的重要内容,也是每年高考的必考内容。在近几年的高考试题中,函数的概念与性质,幂函数的应用,分段函数问题等,一直都是常考点,且常考常新。下面就函数的概念与性质的常见典型考题进行举例分析。题型一:函数概念的理解判断对应关系是否构成函数的关键:一看自变量x的取值是否任意,二看对应的y是否唯一。判断两个函数是否相等,要根据函数的三要素来判断,即定义域、对应关系、值域,当三者都一致时,两个函数才是相同的函数。例1 下列对应关系是从集合A到集合B的函数的是()。A.A=R,B=x|x 0,f:xy=|x|B.A=R,B=x|x 0,f:xy=l nxC.A=Z,B=N,f:xy=xD.A=Z,B=N,f:xy=x2解:对 于A,当x=0时,|0|=0,即|x|0不成立,不是函数关系,A错误。对于B,y=l nx的定义域是(0,+),不是R,当x 0时,y=l nx无意义,不是函数关系,B错 误。对 于C,y=x的 定 义 域 是 0,+),不是Z,当x是负整数时,y=x无意义,不是函数关系,C错误。对于D,A=Z,B=N,f:xy=x2是函数关系。应选D。跟踪训练1:下列四组函数中,表示同一函数的是()。A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=x,g(x)=(x)2C.f(x)=x2-1x-1,g(x)=x+1D.f(x)=x+1x-1,g(x)=x2-1提示:对 于A,f(x)=|x|,g(x)=x2=|x|,两个函数的定义域和对应关系都相同,表示同一函数。对于B,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为0,+),两个函数的定义域不同,不是同一函数。对于C,f(x)=x2-1x-1的定义域为x|x1,g(x)=x+1的定义域为R,两个函数的定义域不同,不是同一函数。对于D,f(x)的定义域为x|x1,g(x)的定义域为x|x-1或x 1,两个函数的定义域不同,不是同一函数。应选A。题型二:求抽象函数的定义域函数的定义域指的是自变量的取值范围;求函数fg(x)和fh(x)的定义域,可利用g(x)和h(x)的值域相等,列不等式求出x的取值范围;已知函数f(x)的定义域为a,b,则复合函数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b求得;已知 复 合 函 数fg(x)的定义域为a,b,则函数f(x)的定义域为g(x)在xa,b 上的值域。例2 已知f(x+1)的定义域为(2,4)。(1)求f(x)的定义域。(2)求f(2x)的定义域。解:(1)因为f(x+1)的定义域为(2,4),所以2 x 4,所以3x+15,即f(x)的定义域为(3,5)。(2)因为f(x)的定义域为(3,5),所以3 2x 5,所以32x 0,1,x=0,-1,x 0,1,x=0,-1,x 0,所以f(0)=1,所以ff(0)=f(1)=1+1=2。应选C。跟 踪 训 练4:已 知 函 数f(x)=24 经典题突破方法 高一数学 2 0 2 3年1 0月2x,0 x 1,2,1 x 2,12,x 2,则ff f32 的值为()。A.1 B.2 C.-3 D.12提示:由题意得f32 =2,f(2)=12,f12 =212=1,所 以f f f32 =ff(2)=f12 =1。应选A。题型五:函数单调性的证明及应用证明函数f(x)在区间D上的单调性应遵循四个步骤:设x1,x2D,且x1x2;将函数值f(x1),f(x2)作差,即f(x1)-f(x2)或f(x2)-f(x1);判断差值的正负;根据定义对f(x)的单调性作出结论。若函数y=f(x)在区间D上单调递增,对任意x1,x2D,且f(x1)f(x2),则x1x2;若函数y=f(x)在区间D上单调递减,对任意x1,x2D,且f(x1)x2。例5 证明f(x)=x在其定义域上是增函数。证明:函数f(x)=x的定义域为0,+)。设x1,x20,+),且x1x2。易得f(x1)-f(x2)=x1-x2=(x1-x2)(x1+x2)x1+x2=x1-x2x1+x2。因为0 x1x2,所以x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0,求实数a的取值范围。(2)已知函数f(x)=(3a-1)x+4a,x0,可得f(2a+1)-f(4a-3)。因为f(x)为奇函数,所以-f(4a-3)=f(3-4a),所以f(2a+1)f(3-4a)。又因为f(x)是定 义 域 为-2,2的 减 函 数,所 以2a+1 3-4a,-2 2a+1 2,-2 3-4a 2,解 得a13,-32a12,14a54,所 以14a13,所 以 实 数a的 取 值 范 围 为14,13 。(2)因为函数f(x)是定义在R上的减函数,所以3a-1 0,-a 0,(3a-1)1+4a-a 1,解得18a13。应选A。题型六:函数奇偶性的判断用定义判断函数奇偶性的两个步骤:先求定 义 域,看 是 否 关 于 原 点 对 称;再 判 断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否恒成立。若已知函数的图像,则观察函数的图像是否关于原点或y轴对称,依此判断函数的奇偶性。例6 判断下列函数的奇偶性。(1)f(x)=2x+1x。(2)f(x)=2-|x|。(3)f(x)=x2-1+1-x2。(4)f(x)=xx-1。解:(1)函数的定义域为x|x0。因为f(-x)=-2x+1-x=-2x+1x =-f(x),所以函数f(x)为奇函数。34经典题突破方法 高一数学 2 0 2 3年1 0月 (2)函数的定义域为R。因为f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数。(3)由x2-1 0,1-x2 0,可得x=1,所以函数的 定 义 域 为-1,1。因 为f(-1)=f(1)=0,所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数。(4)由x-10,可得x1,所以函数的定义域为x|x1。因为定义域不关于原点对称,所以函数f(x)为非奇非偶函数。跟踪训练6:判断下列函数的奇偶性。(1)f(x)=x3-x2x-1。(2)f(x)=x-1x3。(3)f(x)=x2-x3。(4)f(x)=|x+2|+|x-2|。提示:(1)f(x)=x3-x2x-1的定义域为x|xR且x1,即定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数。(2)f(x)=x-1x3的定义域是(-,0)(0,+)。因 为f(-x)=(-x)-1(-x)3=-x+1x3=-x-1x3 =-f(x),所以f(x)=x-1x3是奇函数。(3)f(x)=x2-x3的定义域为R。因为f(-1)=(-1)2-(-1)3=1+1=2,f(1)=12-13=0,所以f(-1)f(1),所以f(x)不是偶函数。因为f(-1)-f(1),所以f(x)不是奇函数。故f(x)=x2-x3既不是奇函数也不是偶函数。(4)f(x)=|x+2|+|x-2|的定义域为R。因为f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)=|x+2|+|x-2|是偶函数。题型七:函数奇偶性与单调性的应用函数的单调性与奇偶性是函数的两大重要性质,解决函数问题离不开这两大性质的应用。奇函数在定义域内的关于y轴对称的两个区间上单调性相同,偶函数在定义域内的关于y轴对称的两个区间上单调性相反。例7 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且在(0,+)上是增函数,不等式f(a x+2)f(-1)对于x1,2 恒成立,则a的取值范围是()。A.-32,-1 B.-1,-12 C.-12,0 D.0,1 解:因为f(x)=f(-x),所以f(x)为定义在R上的偶函数,其图像关于y轴对称。又f(x)在(0,+)上是增函数,所以f(x)在(-,0)上是减函数。因为f(a x+2)f(-1)=f(1),所以a x+2 1,即-1 a x+2 1。因为-1a x+21对 于x 1,2 恒 成 立,所 以-3xa-1x在1,2 上恒成立。因为函数y=-1x在1,2 上单调递增,所以-32a-1,所以a的取值范围为-32,-1。应选A。跟踪训练7:已知f(x)=a x+1x+b是定义在xR|x0 上的奇函数,且f(1)=5。(1)求f(x)的解析式。(2)判断f(x)在12,+上的单调性,并用定义加以证明。提示:(1)因 为f(x)为 奇 函 数,所 以f(-x)+f(x)=0,所以b=0。由f(1)=5,可得a=4,所以f(x)=4x+1x(x0)。(2)f(x)在12,+上单调递增。设12x1x2,则f(x1)-f(x2)=4(x1-x2)+1x1-1x2=(x1-x2)4x1x2-1x1x2。因为12x1x2,所 以x1-x20,所以(x1-x2)4x1x2-1x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0时,f(x)=x2-2x+3,则f(x)在R上的表达式为。解:因为f(x)是奇函数,且定义域为R,所以当x=0时,f(x)=0。当x0,则f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3。故f(x)在R上的表达式为f(x)=x2-2x+3,x 0,0,x=0,-x2-2x-3,x0或(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则函数f(x)在区间D上单调递增;若f(x1)-f(x2)x1-x2 0或(x1-x2)f(x1)-f(x2)1 满足对任意的实数x1x2,都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0成立,则实数a的取值范围是()。A.12,1 B.12,+C.1,2 D.1,+)解:因为函数f(x)=-x2+2a x,x 1,(2a-1)x-3a+6,x 1 满足对任意的实数x1x2,都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0成立,所以函数f(x)在(-,+)上是增函数,所以f(x)在(-,1 与(1,+)上均 单 调 递 增。据 此 可 得 不 等 式 组-2a2(-1)1,2a-1 0,-12+2a1(2a-1)1-3a+6,解得1 a 2。故实数a的取值范围是1,2。应选C。跟 踪 训 练1 0:已 知 函 数f(x)=(a-3)x+5,x 1,2ax,x 1 是R上的减函数,则a的取值范围是()。A.(0,3)B.(0,3C.(0,2)D.(0,2提示:f(x)为R上的减函数,当x1时,f(x)单调递减,所以a-30,即a 1时,f(x)单调递减,所以a0。由题意知(a-3)1+5 2a1,可得a 2。综上可得,0 0时,只需=4-4m0,可得0m1;当m1时,对于y=m x2-2x+1,显然=4-4m0,即值域不包含0,不满足题意;当m0,即值域包含最小值0。综上可知,实数m的取值范围为(-,1。跟踪训练1 1:若函数y=2x2-8x+9的定义域为1,a,值域为1,3,则a的取值范围为()。A.1,2 B.(1,2C.2,3 D.2,3)提示:函数y=2x2-8x+9=2(x-2)2+1 1恒成立,其定义域为1,a,值域为1,3。当x=1时,y=3;当x=2时,函数y取得最小值1;当x=3时,y=2(3-2)2+1=3。64 经典题突破方法 高一数学 2 0 2 3年1 0月综上可得,a的取值范围是2,3。应选C。题型十二:幂函数的图像与性质对于幂函数y=x(R),在x(0,1)上,指数越大,幂函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”);在x(1,+)上,指数越大,幂函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)。由图像确定幂指数与0,1的大小关系,需根据幂函数在第一象限内的图像来判断。利用幂函数的单调性比较大小时要注意:比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内,否则无法比较大小。图1例1 2 已知幂函数y=xn在第一象限内的图像如图1所示。若n2,-2,12,-12,则 与 曲 线C1,C2,C3,C4对 应 的n值依次为()。A.-12,-2,2,12 B.2,12,-2,-12C.2,12,-12,-2 D.-12,-2,12,2解:结合幂函数的图像与性质求解。在第一象限内,在x=1的右侧部分的图像由下至上,幂指数依次增大,曲线C1,C2,C3,C4对应的n值依次为2,12,-12,-2。应选C。跟踪训练1 2:(1)已知幂函数f(x)=x3m-7(mN)的图像关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点,则m的值为()。A.-1 B.0 C.1 D.2(2)设-1,2,23,3 ,则使函数y=x的定义域为R,且为偶函数的所有的值为()。A.-1,3 B.-1,2C.-1,3,2 D.2,23提示:(1)由题意可得3m-70(mN),且3m-7为偶数,解得m73(mN),且3m-7为偶数,所以m=1。应选C。(2)函数y=x-1的定义域为x|x0 ,且为奇函数,不符合题意。函数y=x2的定义域为R,且为偶函数,符合题意。函数y=x23的定义域为R,且为偶函数,符合 题 意。函数y=x3的定义域为R,且为奇函数,不符合题意。应选D。题型十三:二次函数的模型问题对于二次函数问题,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题。解答二次函数的最值问题最好结合二次函数的图像。例1 3 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:k g)与销售单价x(单位:元/k g)满足关系式y=ax-4+1 0 0(8-x),其中4 x8,a为常数,已知销售单 价 为6元/k g时,每 日 可 售 出 该 商 品2 2 0k g。(1)求a的值。(2)若该商品的进价为4元/k g,试确定销售单价x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大,并求出利润的最大值。解:(1)因为y=ax-4+1 0 0(8-x),且当x=6时,y=2 2 0,所以a2+2 0 0=2 2 0,解得a=4 0。(2)由(1)可 知,该 商 品 每 日 的 销 售 量y=4 0 x-4+1 0 0(8-x),所以商场每日销售该商品 所 获 得 的 利 润f(x)=(x-4)4 0 x-4+1 0 0(8-x)=4 0+1 0 0(x-4)(8-x)=-1 0 0(x-6)2+4 4 0(4 x 8)。因为f(x)为二次函数,且图像的开口向上,对称轴为x=6,所以当x=6时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于4 4 0。所以当销售价格定为6元/k g时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大利润为4 4 0元。跟踪训练1 3:某商店进货单价为4 5元,74经典题突破方法 高一数学 2 0 2 3年1 0月 若按5 0元一个销售,能卖出5 0个,若销售单价每涨1元,其销售量就减少2个,为了获得最大利润,此商品的最佳售价应为每个元。提示:设涨价x元,销售的利润为y元,则y=(5 0+x-4 5)(5 0-2x)=-2x2+4 0 x+2 5 0=-2(x-1 0)2+4 5 0。当x=1 0,即销售单价为6 0元时,y取得最大值。答案为1 0。题型十四:分段函数的模型问题分段函数是指在函数定义域中,对于自变量的不同取值范围有不同的对应法则的函数。分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,还要特别注意端点值的取舍。例1 4 某商品在某月的3 0天内每件销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式是P=t+2 0,0 t 2 5,tN*,-t+1 0 0,2 5 t 3 0,tN*,该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式是Q=-t+4 0(0 t 3 0,tN*),求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的是3 0天中的第几天。解:设这种商品的日销售金额为y万元,则销售金额y=PQ=(t+2 0)(-t+4 0),0 t 2 5,tN*,(-t+1 0 0)(-t+4 0),2 5 t 3 0,tN*。据上可得,当0 t 4 0 0),其中x(台)是仪器的月产量。(1)将利润表示为月产量的函数f(x)。(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)提示:(1)月 产 量 为x台,则 总 成 本 为(2 0 0 0 0+1 0 0 x)元。所以f(x)=R(x)-(2 0 0 0 0+1 0 0 x)=-12x2+3 0 0 x-2 0 0 0 0(0 x 4 0 0),6 0 0 0 0-1 0 0 x(x 4 0 0)。(2)由(1)可 知,当0 x4 0 0时,f(x)=-12(x-3 0 0)2+2 5 0 0 0。当x=3 0 0时,f(x)m a x=2 5 0 0 0。当x4 0 0时,f(x)=6 00 0 0-1 0 0 x是减函数,f(x)6 00 0 0-1 0 04 0 0=2 00 0 0 2 5 0 0 0。所以当x=3 0 0时,f(x)m a x=2 50 0 0,即每月生产3 0 0台仪器时利润最大,最大利润为2 5 0 0 0元。下面给出4个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应是()。A.y=x13,y=x2,y=x12,y=x-1B.y=x3,y=x2,y=x12,y=x-1C.y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1D.y=x13,y=x12,y=x2,y=x-1提示:的图像关于y轴对称,应为偶函数,排除C,D。的图像在第一象限内,图像下凸,递增得较快,所以幂函数的指数大于1,排除A。应选B。作者单位:河南省开封高中(责任编辑 郭正华)84 经典题突破方法 高一数学 2 0 2 3年1 0月