2017理科数学全国二卷试题及答案.pdf

1产 产 SK=K+1a=aS=S+aK产产产 产 aS=0,K=1产 产K6产 产20172017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学()()一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。要求的。1.1.（）31iiA A B B C C D D12i1 2i2i2i2.2.设集合设集合，若若，则，则（）1,2,4A 240 x xxm 1A A A B B C C D D1,3 1,0 1,3 1,53.3.我国古代数学名著我国古代数学名著算法统宗算法统宗中有如下问题：中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？请问尖头几盏灯？”意思是：一座意思是：一座 7 7 层塔共挂了层塔共挂了 381381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 2倍，则塔的顶层共有灯（倍，则塔的顶层共有灯（）A A1 1 盏盏 B B3 3 盏盏 C C5 5 盏盏 D D9 9 盏盏4.4.如图，网格纸上小正方形的边长为如图，网格纸上小正方形的边长为 1 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A A B B C C D D906342365.5.设设，满足约束条件满足约束条件，则，则的最小值是（的最小值是（）xy2330233030 xyxyy2zxyA A B B C C D D159196.6.安排安排 3 3 名志愿者完成名志愿者完成 4 4 项工作，每人至少完成项工作，每人至少完成 1 1 项，每项工作由项，每项工作由 1 1 人完成，人完成，则不同的安排方式共有（则不同的安排方式共有（）A A1212 种种 B B1818 种种 C C2424 种种 D D3636 种种7.7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有有 2 2 位优秀，位优秀，2 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A A乙可以知道四人的成绩乙可以知道四人的成绩 B B丁可以知道四人的成绩丁可以知道四人的成绩C C乙、丁可以知道对方的成绩乙、丁可以知道对方的成绩 D D乙、丁可以知道自己的成绩乙、丁可以知道自己的成绩8.8.执行右面的程序框图，如果输入的执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的，则输出的（）1a S A A2 2 B B3 3 C C4 4 D D5 59.9.若双曲线若双曲线（，）的一条渐近线被圆）的一条渐近线被圆所所C:22221xyab0a 0b 2224xy截得的弦长为截得的弦长为 2 2，则，则的离心率为（的离心率为（）CA A2 2 B B C C D D322 33210.10.已知直三棱柱已知直三棱柱中，中，则异面直线，则异面直线与与111CCAA C120A2A 1CCC11A所成角的余弦值为（所成角的余弦值为（）1CA A B B C C D D321551053311.11.若若是函数是函数的极值点，则的极值点，则的极小值为（的极小值为（）2x 21()(1)xf xxaxe()f xA.A.B.B.C.C.D.1D.1132e35e12.12.已知已知是边长为是边长为 2 2 的等边三角形，的等边三角形，P P 为平面为平面 ABCABC 内一点，则内一点，则的最小值是（的最小值是（）ABC()PAPBPC A.A.B.B.C.C.D.D.232431二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13.13.一批产品的二等品率为一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，次，表示抽到的二表示抽到的二0.02100等品件数，则等品件数，则 D 14.14.函数函数（）的最大值是）的最大值是 23sin3cos4f xxx0,2x15.15.等差数列等差数列的前的前项和为项和为，则，则 nannS33a 410S 11nkkS16.16.已知已知是抛物线是抛物线的焦点，的焦点，是是上一点，上一点，的延长线交的延长线交轴于点轴于点若若为为的中的中FC:28yxCFyF点，则点，则 F 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 17211721 题为必做题，每个试题考题为必做题，每个试题考生都必须作答。第生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。17.17.（1212 分）分）的内角的内角的对边分别为的对边分别为 ,已知已知ABC,A B C,a b c2sin()8sin2BAC(1)(1)求求 (2)(2)若若 ,面积为面积为 2,2,求求 cosB6acABC.b318.18.（1212 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100100 个网个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：箱，测量各箱水产品的产量（单位：kgkg）其频率分布直方图如下：）其频率分布直方图如下：产 产 产 产0.0200.0320.0400.0340.0240.0140.012产 产产 产产 产 产/kg30354045505560657025O 0.0080.0100.0460.0680.0440.0200.004产 产产 产产 产 产/kg4045505560657035产 产 产 产O（1 1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A A 表示事件表示事件“旧养殖法的箱产量低于旧养殖法的箱产量低于 50kg,50kg,新养殖法新养殖法的箱产量不低于的箱产量不低于 50kg”,50kg”,估计估计 A A 的概率；的概率；（2 2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量箱产量50kg50kg箱产量箱产量50kg50kg旧养殖法旧养殖法新养殖法新养殖法（3 3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.010.01）P P（）2 0.0500.0500.0100.0100.0010.001k k3.8413.8416.6356.63510.82810.828 22()()()()()n adbcKab cd ac bd419.19.（1212 分）如图，四棱锥分）如图，四棱锥P P-ABCDABCD中，侧面中，侧面PADPAD为等比三角形且垂直于底面为等比三角形且垂直于底面ABCDABCD，E E是是PDPD的中点的中点.o1,90,2ABBCADBADABC（1 1）证明：直线）证明：直线 平面平面PABPAB/CE（2 2）点）点M M在棱在棱PCPC 上，且直线上，且直线BMBM与底面与底面ABCDABCD所成角为所成角为 o45，求二面角，求二面角M M-ABAB-D D的余弦值的余弦值 EABDPCM520.20.（1212 分）设分）设O O为坐标原点，动点为坐标原点，动点M M在椭圆在椭圆C C：上，过上，过M M做做x x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为N N，点，点P P满满2212xy足足.2NPNM (1)(1)求点求点P P的轨迹方程；的轨迹方程；(2)(2)设点设点Q Q在直线在直线x x=-3=-3 上，且上，且.证明：过点证明：过点P P且垂直于且垂直于OQOQ的直线的直线l l过过C C的左焦点的左焦点F F.1OP PQ 621.21.（1212 分）已知函数分）已知函数且且.2()ln,f xaxaxxx()0f x（1 1）求）求a a；（2 2）证明：）证明：存在唯一的极大值点存在唯一的极大值点，且，且.()f x0 x220()2ef x7（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.22.选修选修 4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（1010 分）分）在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，以坐标原点为极点，中，以坐标原点为极点，x x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为的极坐标方程为1Ccos4（1 1）M M为曲线为曲线上的动点，点上的动点，点P P在线段在线段OMOM上，且满足上，且满足,求点求点P P的轨迹的轨迹的直角坐标方的直角坐标方1C|16OMOP2C程；程；（2 2）设点）设点A A的极坐标为的极坐标为，点，点B B在曲线在曲线上，求上，求面积的最大值面积的最大值(2,)32COAB23.23.选修选修 4-54-5：不等式选讲：不等式选讲（1010 分）分）已知已知，证明：，证明：330,0,2abab（1 1）；55()()4ab ab（2 2）2ab820172017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学()()试题答案试题答案一、选择题一、选择题1.D1.D 2.C2.C 3.B3.B 4.B4.B 5.A5.A 6.D6.D7.D7.D 8.B8.B 9.A9.A 10.C10.C 11.A11.A 12.B12.B二、填空题二、填空题13.13.1.961.96 14.14.1 1 15.15.16.16.6 62n1n三、解答题三、解答题17.17.解：解：（1 1）由题设及）由题设及，故，故2sin8sin2ABCB得sin4-cosBB（1）上式两边平方，整理得上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0解得解得 15cosB=cosB171（舍去），=（2 2）由）由，故，故158cosBsinB1717=得14a sin217ABCScBac又又17=22ABCSac，则由余弦定理及由余弦定理及得得a6c2222b2cosa2(1 cosB)1715362(1)2174acacBac（+c）所以所以 b=2b=218.18.解：解：（1 1）记）记 B B 表示事件表示事件“旧养殖法的箱产量低于旧养殖法的箱产量低于”，表示事件表示事件“新养殖法的箱产量不低于新养殖法的箱产量不低于”50kgC50kg由题意知由题意知 P AP BCP B P C旧养殖法的箱产量低于旧养殖法的箱产量低于的频率为的频率为50kg0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62（）9故故的估计值为的估计值为 0.620.62 P B新养殖法的箱产量不低于新养殖法的箱产量不低于的频率为的频率为50kg0.0680.0460.0100.0085=0.66（）故故的估计值为的估计值为 0.660.66 P C因此，事件因此，事件 A A 的概率估计值为的概率估计值为0.620.660.4092（2 2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量箱产量50kg箱产量箱产量50kg旧养殖法旧养殖法62623838新养殖法新养殖法34346666222006266343815.705100 10096 104K由于由于15.7056.635故有故有的把握认为箱产量与养殖方法有关的把握认为箱产量与养殖方法有关99%（3 3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为的直方图面积为50kg，0.0040.0200.04450.340.5箱产量低于箱产量低于的直方图面积为的直方图面积为55kg0.0040.0200.044+0.06850.680.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为故新养殖法箱产量的中位数的估计值为0.5-0.3450+2.35 kg0.068（）519.19.解：解：（1 1）取）取中点中点，连结，连结，PAFEFBF因为因为为为的中点，所以的中点，所以,由由得得，又，又EPDEFADA12EFAD=90BADABC BCAD12BCAD所以所以四边形四边形为平行四边形，为平行四边形，EFBCBCEFCEBF又又，故，故BFPAB 平面CEPAB 平面CEPAB平面（2 2）10由已知得由已知得,以以 A A 为坐标原点，为坐标原点，的方向为的方向为 x x 轴正方向，轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间为单位长，建立如图所示的空间BAADAB AB 直角坐标系直角坐标系 A-xyz,A-xyz,则则则则，(000)A，(100)B，(1 10)C，(013)P，,则则(103)PC ，(10 0)AB ，(x 1),(x13)BMyz PMyz ，因为因为 BMBM 与底面与底面 ABCDABCD 所成的角为所成的角为 4545，而，而是底面是底面 ABCDABCD 的法向量，所以的法向量，所以(0 0)n，1，0cos,sin45BMn222z22(x 1)yz即（即（x-1x-1）+y+y-z-z=0=0又又 M M 在棱在棱 PCPC 上，设上，设,PMPC 则x,1,33yz由由，得得xxyy 22=1+=1-22=1(舍去)，=166zz22所以所以 M M，从而，从而261-,1，22261-,1，22 AM 设设是平面是平面 ABMABM 的法向量，则的法向量，则000,xyzm=00002-22600即00 xyzAMABx A Amm11所以可取所以可取m m=（0 0，-，2 2）.于是于是6cos105Am nm,nm n因此二面角因此二面角 M-AB-DM-AB-D 的余弦值为的余弦值为10520.20.解解（1 1）设）设 P P（x,yx,y）,M,M（x x0 0,y,y0 0）,设设 N N（x x0 0,0,0）,00,0,NPxxyNMy 由由得得2NPNM 002=,2xx yy因为因为 M M（x x0 0,y,y0 0）在）在 C C 上，所以上，所以22122xy因此点因此点 P P 的轨迹方程为的轨迹方程为222xy（2 2）由题意知）由题意知 F F（-1,0-1,0）.设设 Q Q（-3-3，t t）,P(m,n),P(m,n),则则，3,1,33tOQ,PFmnOQ PFmtn A,3,OPm,nPQm,tn 由由得得，又由（，又由（1 1）知）知，故，故1OP PQ A22-31mmtnn22+=2mn3+3m-tn=03+3m-tn=0所以所以，即，即又过点又过点 P P 存在唯一直线垂直于存在唯一直线垂直于 OQOQ，所以过点，所以过点 P P 且垂直于且垂直于 OQOQ 的直线的直线 l l 过过 C C0OQ PF AOQPF 的左焦点的左焦点 F.F.21.21.解：解：（1 1）的定义域为的定义域为 fx0，+设设，则，则等价于等价于 g x=ax-a-lnx fx=xg x,fx0 0g x因为因为 11=0，0,故1=0,而,1=1,得1gg xgg xagaax若若a a=1=1，则，则.当当 0 0 x x1 1 时，时，单调递减；当单调递减；当 x x1 1 时，时，0 0，单调递单调递 11 g x=x 0,g xg x g x g x增增.所以所以 x=1x=1 是是的极小值点，故的极小值点，故 g x 1=0g xg综上，综上，a=1a=1（2 2）由（）由（1 1）知）知 2l n,()22l nfxxxxx fxxx12设设 122l n,则()2h xxxhxx当当时，时，；当；当时，时，所以，所以在在单调递减，在单调递减，在10,2x 0hx1,+2x 0hx h x10,2单调递增单调递增1,+2又又，所以，所以在在有唯一零点有唯一零点 x x0 0，在，在有唯一零点有唯一零点 1 1，且当，且当 210,0,102h ehh h x10,21,+2时，时，；当；当时，时，当，当时，时，.00,xx 0h x0,1xx 0h x1,+x 0h x因为因为，所以，所以 x=xx=x0 0是是 f(x)f(x)的唯一极大值点的唯一极大值点 fxh x由由 0000000得l n2(1),故=(1)fxxxfxxx由由得得00,1x 014fx因为因为 x=xx=x0 0是是 f(x)f(x)在（在（0,10,1）的最大值点，由）的最大值点，由得得 110,1,0efe 120fxfee所以所以 2-202efx22.22.解：解：（1 1）设）设 P P 的极坐标为的极坐标为，M M 的极坐标为的极坐标为，由题设知，由题设知，011，0cos14=，=OPOM=由由得得的极坐标方程的极坐标方程16OMOP=A2Ccos=40因此因此的直角坐标方程为的直角坐标方程为2C22240 xyx（2 2）设点）设点 B B 的极坐标为的极坐标为,由题设知由题设知，0BB,于是于是OABOAB 面积面积cos=2，=4BOA131=si n24cossi n332 si n 23223BSO AAO BAAA当当时，时，S S 取得最大值取得最大值=-122+3所以所以OABOAB 面积的最大值为面积的最大值为2+323.23.解：解：（1 1）5565562333344222244ababaaba bbaba bab abab ab（2 2）因为）因为33223233323+3+3+2+244abaa babbab a ba ba ba b所以所以，因此，因此 a+b2.a+b2.3+8a b