2023年人教版高中数学第七章复数知识汇总大全.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第七章复数知识汇总大全年人教版高中数学第七章复数知识汇总大全 单选题 1、在复平面内，点(cos,sin),(sin(),cos()分别对应复数1,2，则21=（）A1B1CiDi 答案：D 分析：根据复数几何意义，求得1,2，再结合复数的除法的运算法则，即可求解.由点(cos,sin)和(sin(),cos()分别对应复数1,2，可得1=cos+isin，2=sin()+icos()=sin+icos，所以21=sin+icoscos+isin=(sin+icos)(cosisin)(cos+isin)(cosisin)=(sin2+cos2)icos2+sin2=i.故选：D.2、设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：C 分析：先求出共轭复数再判断结果.由=3+2,得=3 2,则=3 2,对应点（-3，-2）位于第三象限故选 C 小提示：本题考点为共轭复数，为基础题目 3、已知=2+(1+2)i的实部与虚部相等，则实数=（）A2B2C3D3 答案：D 分析：由题可得 2=1+2，即得.由题可知 2=1+2，解得=3.故选：D 4、设复数满足 =1+，则|=（）A1B2C5D10 答案：B 分析：利用复数的四则运算以及复数模的运算即可求解.解析因为=1+ii=(1+i)iii=i11=1+i，所以=1 ，|=2.故选：B 5、设 ，则“=2”是“复数=(+2i)(1+i)为纯虚数”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案：C 分析：求出=(+2i)(1+i)为纯虚数时的值，与=2比较，判断出结果 =(+2i)(1+i)=2+(+2)i，复数=(+2i)(1+i)为纯虚数，则 2=0，解得：=2，所以则“=2”是“复数=(+2i)(1+i)为纯虚数”的充要条件 故选：C 6、已知复数z满足 +4i=5+i，则实数a的取值范围为（）A4,4B6,6C8,8D12,12 答案：D 分析：设=+i,R，由复数相等，得出,的关系式，消去得到关于的一元二次方程有实数解，利用 0，求解即可得出答案.设=+i,R，则2+2+4i(i)=5+i，整理得：2+2+4+4i=5+i,所以2+2+4=54=，消去得2+4 5+216=0,因为方程有解，所以=16 4(216 5)0，解得：12 12.故选：D.7、已知z=x+yi，x，yR，i是虚数单位.若复数1+i是实数，则|z|的最小值为（）A0B52C5D2 答案：D 分析：利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x=y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出.解：复数1+=(+)(1)(1+)(1)+=+(+2)2是实数 +2=0 故=+2|=2+2=(+2)2+2=22+4+4=2(+1)2+2 2 当且仅当=1,=1时取等号|的最小值为2 故选：D 8、设1=1+3i，2=(121)2，则arg2=（）A56B43C116D53 答案：B 分析：首先求2，再求tan，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.2=1412=14(1+3i)2=1232i，复数对应的点是(12,32)，位于第三象限，且tan=3，所以arg2=43.故选：B 9、若i(1 )=1，则+=（）A2B1C1D2 答案：D 分析：利用复数的除法可求，从而可求+.由题设有1 =1i=ii2=i，故=1+i，故+=(1+i)+(1 i)=2，故选：D 10、已知aR，若a1+(a2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）A1B1C2D2 答案：C 分析：根据复数为实数列式求解即可.因为(1)+(2)为实数，所以 2=0，=2，故选：C 小提示：本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.11、复数=2+2049的共轭复数=（）A12+2B122C2 D2+答案：C 分析：先由复数的运算可得=2+，然后求其共轭复数即可.解：因为=2+2049=2+(4)512 =2+，则=2 ，故选：C.12、欧拉公式=cos+sin(为自然底数，为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数2在复平面内对应点所在的象限是（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：B 分析：根据欧拉公式有2=cos2+sin2，判断cos2,sin2即可确定2对应点所在象限.由题意知：2=cos2+sin2，而2 2 ，cos2 0，故2对应点在第二象限.故选：B 双空题 13、复数z=x+yi(x，yR)的共轭复数为，已知 =4,=4(i为虚数单位)，z的虚部为_，=_.答案：2 2i 分析：利用已知条件列出方程组求出x，y，可得复数z以及复数z的虚部 因为复数z=x+yi(x，yR)且 =4,=4，则 =(+)()=2+2=4,=(+)()=2=4 所以2+2=42=4，解得x=0，y=2，所以z=2i，z的虚部为 2.所以答案是：2；2i.14、已知复数1=，2=21+，则|1+2|=_，1+12+12020=_.答案：5 0.分析：根据复数的除法运算法则化简2，然后计算可得1+2，使用等比数列的前项和公式计算可得结果.因为2=21+=2(1)(1+)(1)=1+，1+2=+(1+)=1+2，所以|1+2|=12+22=5；1+12+12020=1(1 12020)1 1=(1 2020)1 =1 (4)5051 =(1 1)1 =0 所以答案是：5，0.小提示：本题考查复数的运算以及等比数列的结合，重在计算，属基础题.15、设复数1=1 i，2=cos+isin，其中 0,，若复数=1 2为实数，则=_，|1+2|的范围为_.答案：34 2 1,5#1+2,5 分析：由已知，根据给的1，先表示出1，然后表示出=1 2，并根据数为实数，即可得到等式并根据的范围及可求解出；由已知，先表示出1+2，然后直接计算|1+2|，并根据的范围即可完成求解.因为1=1 i，所以1=1+i，所以=1 2=(1+i)(cos+isin)=(cos sin)+i(cos+sin)，因为复数为实数，所以cos+sin=0，即2sin(+4)=0，所以+4=(Z)，因为 0,，所以=34，因为1+2=(1+cos)+i(sin 1)，所以|1+2|=(1+cos)2+(sin 1)2=3+2cos 2sin=3 22sin(4)，因为 0,，4 4,34，所以sin(4)22,1，所以|1+2|2 1,5.所以答案是：34；2 1,5.16、已知i=2+i（i 是虚数单位），则复数z的虚部是_，|=_.答案：2 5 分析：先由已知求得复数z，即可得到复数z的虚部，再求得复数z的共轭复数，即可求得|.由i=2+i，可得=2+ii=i(2+i)ii=1 2i 则复数z的虚部是2，=1+2i，|=12+22=5 所以答案是：2，5 17、复数=cos(2+)+isin(2+)，且 2,2，若z是实数，则的值为_；若z为纯虚数，则的值为_ 答案：2 0 分析：若z为实数，则虚部sin(2+)=cos=0，根据的范围，即可得答案；若z为纯虚数，则实部为 0，虚部不为 0，列出方程组，根据的范围，即可得答案.若z为实数，则sin(2+)=cos=0，又因为 2,2，所以=2 若z为纯虚数，则有(2+)=0(2+)=0，又 2,2，所以=0 所以答案是：2；0 解答题 18、已知(1,1)，(,2)，(2,3)，(1,)是复平面上的四个点，其中，且向量，对应的复数分别为1，2（1）若1 2=1 i，求1，2；（2）若|1+2|=2|1|=2，2对应的点在复平面内的第二象限，求23i11 答案：（1）1=1+i，2=2+2i；（2）1+2i 分析：（1）向量=(2 ,1)，=(2,1)对应的复数分别为1=2 +i，2=2+(1)i.利用1 2=+(2 )i=1 i即可得出,得出结果.（2）|1+2|=2|1|=2，2对应的点在第二象限，计算可得=3，=3，进而计算即可得出结果.解：（1）由题意可知=(2,3)(,2)=(2,1)，所以1=2 +i =(1,)(1,1)=(2,1)，所以2=2+(1)i 又1 2=+(2 )i=1 i，所以=1,2 =1,所以=1,=3,所以1=1+i，2=2+2i（2）由已知可得，1+2=(4)+i，|1+2|=2，所以(4)2+2=4，又2|1|=2，所以(2 )2+1=2，解得=3或=1（舍），又2对应的点在第二象限，所以=3，可得2=2+(3 1)i，2 3i=2 i，1=1+i，可得23ii1=2ii=1+2i 19、已知点(3,1),(cos,sin),为坐标原点，函数()=.(1)求函数()的最小正周期；(2)若A为 的内角，()=4,=3，求 周长的最大值.答案：(1)2(2)3+23 分析：（1）先利用向量数量积和辅助角公式化简得到()=4 2sin(+3)，进而求出最小正周期；（2）利用余弦定理求出(+)2 9=，使用基本不等式求出+23，进而得到 周长的最大值.(1)()=(3,1)(3 cos,1 sin)=3 3cos+1 sin=4 2sin(+3)故()的最小正周期=2，(2)()=4 2sin(+3)=4，解得：sin(+3)=0，而 (0,)，故+3(3,43)，故+3=，所以=23；又=3，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理得：cos=2+292=12，所以(+)2 9=，又(+)24，故(+)2 9(+)24，解得：+23，当且仅当=3时等号成立，故+3+23，即 周长的最大值为3+23.20、已知复数=+i（,，i为虚数单位），且 4为纯虚数，2i为实数(1)求复数；(2)若复数(+i)2在复平面上对应的点位于第四象限，求实数的取值范围 答案：(1)=4 2i(2)(2,2)分析：（1）由复数运算化简复数 4和2i，然后可根据复数的定义求得,得复数；（2）由复数乘方化简复数后，由几何意义得不等式，解之可得参数范围（1）4=+i 4=(4)+i为纯虚数，4=0,0,解得=4,0,2i=4+i2i=(4+i)(2+i)(2i)(2+i)=8+(2+4)i5为实数，2+45=0，解得=2，=4 2i（2）(+i)2=(4 2i+i)2=4+(2)i2=16 (2)2+8(2)i，复数(+i)2在复平面上对应的点位于第四象限，16 (2)2 0,8(2)0,解得2 2，故实数的取值范围为(2,2)