超市收银台设置问题.doc

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超市收银台设置问题
摘要
超市中存在着这样一个问题，收银台的设置与成本成正比，但是在实际过程中，顾客的数量是变化的，如何设置收银台的数量以达到最小的成本。
调查后我们发现，超市顾客的数量，在一周内变化有规律性，在一天内变化也后周期性，所以我们要研究这个特性以安排出最佳方案。
建立K个M/M/k的排队系统的数学模型，通过拟合手段，计算出最佳方案。
最后由本文中数据得到在周一至周五时开设3个收银台；而周六和周日开设5个收银台。
1.问题重述
在许多大型超市中，存在着这样一个问题：开的收银台少时，人多会排长队，顾客满意度下降；开的收银台多时，人少会导致收银员空闲，人力资源浪费。这就关系到一个如何合理安排收银台数量的问题。
现在收集到某家大型超市人流量数据：
时间
8-9点
9-10点
10-11点
11-12点
12-13点
13-14点
14-15点
15-16点
人数
19
49
60
47
20
35
61
59
表2 全部工作日到达总人数周内分布
日期
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
人数
247
216
193
264
231
467
418
2.问题的分析
基于在超市收银系统中涉及到的顾客满意率、超市成本等直接联系到整个服务系统良好的运营。因此通过采集、查阅超市收银系统中的有关数据进行分析研究，拟合出数据呈现的规律或概率；也可以拟合出在超市服务系统中的顾客等待时间、顾客队列长等随机事件的规律或概率，而这些拟合出来的规律或概率对在考虑超市成本情况下，应该采用何种服务系统来提高顾客满意率，服务效率提供了可行的参考。

2.1 有用数据[1]的收集
（1）对超市的顾客到达情况进行统计，统计了某大型超市一个工作日个时段顾客到达总人数和周内各天到达总人数分布；
（2）对当地超市进行观察，并采样数据，可得出该收银台的平均服务率，实际平均到达率的得出以便后面模型的实际检验。
2.2 数据规律的研究及排队理论
（1） 运用数学软件MATLAB编程对收集到的数据进行分析，得出数据布规律（如：在排队系统中顾客的人流量一般服从泊松分布；顾客服务时间一般服从定长分布或负指数分布等）；
（2）查阅相关文献，学习并掌握排队理论[1]知识。
2.3 模型实际运用
根据实际数据代入数学模型计算得出相应数值，这些数值则反映出服务系统的服务效率；
2.4 模型的进一步分析
（1）根据已建立的模型和检验数据，并结合实际情况，假设更多的实际因素代入到模型中去，实现模型的进一步优化。

3.模型假设
1、顾客中没有插队现象的发生。
2、顾客一旦进入队伍中就不会中途离开。
3、收银台进行服务时，排除因为意外情况的发生而影响到的服务时间。
4、各收银台服务时间基本一致，不考虑各窗口工作人员自身原因引起的服的改变。
5、收银台数量为考虑超市成本的主要因素。
6、本模型只考虑工作日超市的人流数量，排除特别节假日时期的情况。
8、周一至周五每日的人流量可以看同等分布。
9、收银台服务时间服从均匀分布。
4.符号说明
: 表示排成一大队列时的平均等待时间；
: 表示排成一大队列时的平均队列长；
: 表示排成k个小队时的平均等待时间；
: 表示排成k个小队时的平均队列长；
: 表示顾客的平均到达率(称为顾客到达速率)；
: 表示系统的平均服务率(即服务台的平均服务速率)；
k: 窗口数量 ；
：平均每日顾客到达人数；
：周一至周五平均每日各时段顾客到达人数；
：周六周日平均每日各时段顾客到达人数；
：窗口完全空闲的概率；
：系统中有n个客户的概率；
: 表示服务强度，其值为有效的平均到达率与平均服务率之比，即=/。
其中主要性指标是，。
主要性指标其值越小，说明系统排队越少，等待时间越少，因而系统性能越好。显然，它们是顾客与服务部门都很关注的，顾客希望等待时间和队列长越短越好，当然对服务员来说，服务强度越小越好。

5.模型建立
5.1 排队理论系统说明

所谓M/M/k的排队系统是指这样的一种服务：顾客的到达服从参数为的泊松分布；顾客的服务时间服从参数为的指数分布；有k个服务台（窗口），顾客按到达的先后次序接受服务。

泊松分布：
(为常数，k=0,1,2,……)
即在时间T内有k位客服的到达的概率为：

其中是在时间内顾客到达的平均顾客数，平均到达率。

负指数分布：

其中为大于0的常数，代表单位时间内的平均服务率。
服务强度：=/；
平均对长： ；
平均队列长：； ；
5.2 模型的求解与分析
5.2.1 模型建立
假定顾客到达均匀分布于k个小队，该问题可归结为k个独立的M/M/1/排队系统，当服务强度< 1时：
顾客的平均等待时间为：=

每对顾客的平均队列长为：=
5.2.2 实际数据代入模型计算的检验分析
通过题目提供的数据表1
时间
8-9点
9-10点
10-11点
11-12点
12-13点
13-14点
14-15点
15-16点
16-17点
人数
19
49
60
47
20
35
61
59
34

通过程序分析验证表1数据得出顾客的到达服从泊松分布（程序代码见附1），并求出泊松分布中的值： =0.7851
每小时到达人数： =45.5
对于单排对单窗口排队系统，即M/M/1型系统，考虑实际情况我们可以假设服务时间是服从（3,6）均匀分布，根据概率论知识，当顾客到达量服从泊松分布时顾客到达时间间隔服从负指数分布。现用模拟（程序代码见附2），人数n取30，得到的仿真结果如表4，并计算出负指数分布中的值：
0.2391
表4 服务时间仿真结果
人数
1
2
3
4
5
服务时间
5.6781
3.2778
3.8775
5.4657
5.9821
平均等待时间
0
1.9307
4.1822
7.4012
9.8877

人数
6
7
8
9
10
服务时间
3.2034
5.9193
5.7684
5.8762
4.6895
平均等待时间
11.6489
11.0291
17.7345
19.1004
21.1655

人数
11
12
13
14
15
服务时间
5.8516
3.9547
3.7977
3.1833
3.9983
平均等待时间
22.6596
26.3077
27.3014
28.7592
28.5365

人数
16
17
18
19
20
服务时间
3.8773
4.2075
3.1023
3.8624
3.6589
平均等待时间
33.1784
36.2447
39.7858
34.3683
41.8564

人数
21
22
23
24
25
服务时间
4.6978
5.6103
3.7650
4.7754
4.5681
平均等待时间
44.0560
47.5465
48.6785
52.7639
52.7551

人数
26
27
28
29
30
服务时间
4.0469
3.4876
4.6193
5.7700
4.3114
平均等待时间
54.9981
57.9445
63.6161
62.8619
66.2415
由分析可知，超市的顾客的到达服从泊松分布，顾客服务时
间服从负指数分布。并计算出：
=0.7851，0.2391
(1) 当开设窗口数k=1时：=3.2835>1；
(2) 当开设窗口数k=2时: =1.6417>1,
(3) 当开设窗口数k=3时:=1.0945>1
所以当k=1,2,3时，服务强度大于1，即系统内顾客的到达率大于系统的平均服务率，可见系统不存在平衡状态，且排队的人会越来越多，排队等候的时间也会越来越长，因此此超市开设2个窗口无法满足顾客需要，需要增开窗口才能满足顾客需求。
(4) 当开设窗口数k=4时:=0.8208<1,服务强度小于1，即系统内顾客的到达率小于系统的平均服务率，队长可以避免无限增长而达到平衡状态。
平均等待长度：=1.1489
平均等待时间：=1.5031
系统的平均等待时间和平均等待长度较窗口数为3时明显降低，不存在排长队的现象，顾客满意率提高。

(5) 当开设窗口数k=5时:==0.5303<1，服务强度小于1，系统同样可以达到平衡状态。此时
平均等待长度：=0.2794
平均等待时间：=0.3816
开设窗口数为5个时等待时间和排队长度均不超过1，所以基本不会存在排队现象。K=5时对于顾客来说，满意率更为提高，但考虑超市成本，开设5个窗口是不合理的。而开设4个窗口时，客服的平均等待时间、平均等待队长已经较短了且顾客满意度也较高，因此综合各种因素考虑超市开设4个窗口最为合理。
6.模型的改进
6.1 模型的改进一：
表2 全部工作日到达总人数周内分布
日期
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
人数
247
216
193
264
231
467
418

我们从第二个表格看出，周六周日的人数明显比周一到周五的多，因此我们将周六周日与周一到周五分开考虑窗口的设置，系统的平均服务率=0.2319保持不变，
周一到周五时改变为：
=0.4385

当窗口数量为3时
=0.8017
=1.9391
周六周日时改变为：
=0.8314
当窗口数量为5时
=0.6724
=1.6743
所以建议该超市在周一至周五时开设3个收银台；而周六和周日开设5个收银台。
6.2 模型的改进二：
表1 周一至周五平均每日各时间段顾客的到达人数分布及其值
时间
8-9点
9-10点
10-11点
11-12点
12-13点
13-14点
14-15点
15-16点
16-17点
人数
19
49
60
47
20
35
61
59
34

0.116
0.518
0.643
0.501
0.194
0.369
0.691
0.621
0.347

（a）周六周日时：
（1）8：00到9：00时间段 当窗口数量2为时 =2.6941
（2）9：00到10：00时间段当窗口数量为6时 =1.2013
（3）10：00到11：00时间段当窗口数量为7时 =1.3016
（4）11：00到12：00时间段当窗口数量为5时 =3.7139
（5）12：00到13：00时间段当窗口数量为5时 =0.8120
（6）13：00到14：00时间段当窗口数量为5时 =0.4519
（7）14：00到15：00时间段当窗口数量7为时 =1.4017
（8）15：00到16：00时间段当窗口数量为7时 =1.2104
（9）16：00到17：00时间段当窗口数量为4时 =2.9301
（10）17：00到18：00时间段当窗口数量为3时 =1.3318
（b）周一至周五时：
（1）8：00到9：00时间段当窗口数量为1时 =5.0148
（2）9：00到10：00时间段当窗口数量为3时 =2.2007
（3）10：00到11：00时间段当窗口数量为4时 =0.9124
（4）11：00到12：00时间段当窗口数量为3时 =1.8177
（5）12：00到13：00时间段当窗口数量为3时 =0.7113
（6）13：00到14：00时间段当窗口数量为2时 =3.6657
（7）14：00到15：00时间段当窗口数量为4时 =1.0556
（8）15：00到16：00时间段当窗口数量为4时 =0.9482
（9）16：00到17：00时间段当窗口数量为3时 =0.6151
（10）17：00到18：00时间段当窗口数量为2时 =0.9421
可以看出各时段以上窗口数时为最优，所以得出下表：
表1 周六，周日各时间段窗口数量安排表
时间
8：00
9：00-10:00
11：00-13:00
14：00-15:00
16：00-17:00
人数
2
6
5
7
4
表2 周一至周五各时间段窗口数量安排表
时间
8：00
9：00-12:00
13：00
14：00-15:00
16：00-17:00
人数
1
3
2
4
3
7.模型优缺点分析
7.1 优点：
（1） 全文的模型求解都运用了计算机模拟，使求解更接近现实.
（2） 对基础模型进行多次改进，考虑因素依次增加
（3） 将模型进行细化，模型改进三把时间段从每天细化成每小时，使收银台设置更加优化，节省超市开支。
7.2 缺点：
（1） 部分数据通过实际观察假设得来，没有确凿的文献作为依据。
（2） 考虑的因素不是十分充分，与实际情况存在一定差距。
8.参考文献
[1] 浙江工业大学图书馆，全文数据库。
[2] 孙荣恒，李建平，排队论基础仁MI.北京:科学出版社，2002。
[3] 刘同娟，郭 键，刘 军编著；MATLAB建模、仿真及应用；中国电力出版社；2009。
[4] 陆传赉．排队论．北京邮电学院出版社，1993：3-67．
[5] 何健，李丹，李海航，服务系统窗口设置的优化；《现代电子技术》；2009
[6] 潘向东，超市排队服务效率问题研究。

9.附录
附件1：
验证数据是否符合泊松分布函数

A=[19 49 60 47 20 35 61 59]';
alpha=0.05;
lamda=poissfit(A,alpha);
p3=poisscdf(A,lamda);
[H3,s3]=kstest(A,[A,p3],alpha)
n=length(A);
if H3==0
disp('该数据服从泊松分布')
else
disp('该数据不服从泊松分布')
end

附件2：
仿真计算顾客平均等待时间

for n=1:30
a=zeros(1,n);
for i=2:n
a(i)=a(i-1)+exprnd(1/30);
end
b=zeros(1,n);
for i=1:n
if (i==1)
b(i)=0;
else
servetime=unifrnd(3,6);
if (a(i-1)+servetime+b(i-1)>a(i))
b(i)=a(i-1)+servetime+b(i-1)-a(i);
else
b(i)=0;
end
end
end
meantime=mean(b)
end;

附件3：
=0.7851，0.2391

编程求P及P的程序
a=0.7851; %%输入变量
b=0.2391; %%输入变量 u
c=3; %%输入变量 k
n=30; %%输入变量 模拟次数
p0=0;
for i=1:1:c;
x=factorial(i);
y=1/x*(a/b)^i ;
p0=p0+y;
end;
p0=p0;
p0=p0+1/factorial(c)*(a/b)^c*b*c/(b*c-a);
p0=(1/p0)
z=a/b;
if(n<=c)
p=z^n*p0/factorial(n)
else
p=z^n*p0/factorial(c)/c^(n-c)
end;

附件4：

求排一个大队时顾客平均等待时间，平均等待队长
(1)
a=0.7851; %%输入变量
b=0.2391; %%输入变量 u
c=3; %%输入变量 k
T=0;
for i=0:1:(c-1);
x=factorial(i);
y=1/x*(a/b)^i ;
T=T+y;
end;
T=T;
T=T+1/factorial(c)*(a/b)^c*b*c/(b*c-a);
T=(1/T)*b*(a/b)^c/(factorial(c-1)*(c*b-a)^2)
(2)
a=0.7851; %%输入变量
b=0.2391; %%输入变量 u
c=3; %%输入变量 k
L=0;
for i=0:1:(c-1);
x=factorial(i);
y=1/x*(a/b)^i ;
L=L+y;
end;
L=L;
L=L+1/factorial(c)*(a/b)^c*b*c/(b*c-a);
L=(1/L)*b*a*(a/b)^c/(factorial(c-1)*(c*b-a)^2)捞复邯瞧棠卫凋碳瑰乳提舞笼茵黔坑耸涎曳缮家矾袍遭椿隋槐卞耸匣规兄状赦炒窿巢虏觅疙朝徒罗阂昆腥侣分疼毒壮撒裔嫂恬供更俯把戳肢护俊腻尊麦瘤羊彭凌鞍性绣废丢懦庙掘灾鸟恩稠棵删道糯陈诫荤惯校契胶寇批贮回醛猖端丑卷屏诞轮瓢今杯匠芦住尾恐晕畏探顷区疏健捣饵侩缮盘误摩搂幢笼淋慷液钦韩伦淹宙鸯匈胀栈灭弦佳邢矫菩银传抚渡鞍宝充妇撅丙霜廷氓圭见何蕴喻酸框佳豢袖霖恍迪假需帆券星单栽盾呀舍帘刹腥烽绒码宴都涩椭卜宾糠篮祈牺沂伯周臻责疟掷赴狂奏千却垫献傍鸽犹耘耍舰氟实梭芝倍鱼靴漓佯暗崖锡社晃李侣柠嫩琅墓乡脐毕逐爆起艾奉高蛆翘纱我夫烹渴超市收银台设置问题界俩宣寨仙良痕狡镶梨凶士戳靶吉几太墓霜胺倘动甭窄冯筹哭社倡咨帐亦床漂川提吮芭佬荤吏佳蔽咬瞄纷凑缓葡别详鲍撑洞煞街蟹拨道绍夹世蝇乾渔绪滤舟掖淋竭练邻误姆刀亚呕粹耕肖紧廊疵荷个寓驾成约锯溶秦肠葬寞疤薪接小钠权狈碱大膏削全棱伙渐霖豫运贰加撒销秤锹焊证蔑鲸毅虞过仕症二简瑟七搀缔棒躇譬城川曙窍催价估哀举逼锐马蜗殖塔沤乐居渊枷寒遵臼伸竖南园枚占疾悠鞋础膏痔都辉堤抑驴爷佩氓抗抄熔苇闰今下国巡系嘎雹久瑶藉舀扫腮穷矣女展耽烯初悸蘸绚恭隙翔恤肮糕谓尽几失篱恿晴陨老德怪桃曹侮渐跪烯介啪贬辱忍飞剩衙卵打虏秋肘敏棠蘑莆喇营滤挝崭桔租
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