资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
2．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，，则满足的概率为( )
A． B． C． D．
3．下列结论正确的是（ ）
A．三角形的外心是三条角平分线的交点
B．平分弦的直线垂直于弦
C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D．直径是圆的对称轴
4．如图，A、B、C、D四个点均在O上，∠AOD=40°，弦DC的长等于半径，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAD=48°，则∠DCA的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察两枚骰子向上一面的点数情况．则下列事件为随机事件的是（ ）
A．点数之和等于1 B．点数之和等于9
C．点数之和大于1 D．点数之和大于12
7．反比例函数y＝图象经过A（1，2），B（n，﹣2）两点，则n＝（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
8．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
9．下列事件是随机事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放新闻 B．氢气在氧气中燃烧生成水
C．离离原上草，一岁一枯荣 D．钝角三角形的内角和大于180°
10．如图，点在以为直径的半圆上，点为圆心，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为，树的高度都是．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞____________．
12．如图，在中，，，点在上，且，则______．______．
13．方程的根是____．
14．如图，中，，则 __________．
15．平面直角坐标系xOy中，若点P在曲线y＝上，连接OP，则OP的最小值为_____．
16．把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)、(2，3)、(4，5，6)、(7，8，9，10)、……，若An=(a，b)表示正整数n为第a组第b个数(从左往右数)，如A7=(4，1)，则A20=______________．
17．已知点 A（a，1）与点 B（﹣3，b）关于原点对称，则 ab 的值为_____．
18．若弧长为4π的扇形的圆心角为直角，则该扇形的半径为 ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求的面积；
（3）设直线CD的解析式为，根据图象直接写出不等式的解集．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在抛物线上.
（1）求直线的解析式.
（2）点为直线下方抛物线上的一点，连接，.当的面积最大时，连接，，点是线段的中点，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值.
（3）点是线段的中点，将抛物线与轴正方向平移得到新抛物线，经过点，的顶点为点，在新抛物线的对称轴上，是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（6分）如图，直线分别与轴交于点，与轴交于点，与双曲线交于点．
（1）求与的值；
（2）已知是轴上的一点，当时，求点的坐标．
22．（8分）平面直角坐标系中有两点、，我们定义、两点间的“值”直角距离为，且满足，其中．小静和佳佳在解决问题：（求点与点的“1值”直角距离）时，采用了两种不同的方法：
（方法一）：；
（方法二）：如图1，过点作轴于点，过点作直线与轴交于点，则
请你参照以上两种方法，解决下列问题：
（1）已知点，点，则、两点间的“2值”直角距离．
（2）函数的图像如图2所示，点为其图像上一动点，满足两点间的“值”直角距离，且符合条件的点有且仅有一个，求出符合条件的“值”和点坐标．
（3）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走，因此，两地之间修建垂直和平行的街道常常转化为两点间的“值”直角距离，地位于地的正东方向上，地在点东北方向上且相距，以为圆心修建了一个半径为的圆形湿地公园，现在要在公园和地之间修建观光步道．步道只能东西或者南北走向，并且东西方向每千米成本是20万元，南北方向每千米的成本是10万元，问：修建这一规光步道至少要多少万元？
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y＝（k≠0，x＞0）过点D．
（1）写出D点坐标；
（2）求双曲线的解析式；
（3）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．
24．（8分）一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．
（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；
（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．
25．（10分）如图所示，点A（，3）在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝之上，且AB∥x轴，C，D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，求它的面积．
26．（10分）如图，在某建筑物上，挂着“缘分天注定,悠然在潜山”的宣传条幅，小明站在点处，看条幅顶端，测得仰角为，再往条幅方向前行30米到达点处，看到条幅顶端，测得仰角为，求宣传条幅的长．（注：不计小明的身高，结果精确到1米，参考数据，）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，∴BA=BF，
∵折痕为BE，沿EF剪下，∴四边形ABFE为矩形，∴四边形ABEF为正方形．
故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．故选A．
2、C
【分析】根据题意列出树状图，得到所有a、c的组合再找到满足的数对即可．
【详解】如图：符合的共有6种情况，
而a、c的组合共有12种，
故这两人有“心灵感应”的概率为．
故选：C．
【点睛】
此题考查了利用树状图法求概率，要做到勿漏、勿多，同时要适时利用概率公式解答．
3、C
【分析】根据三角形的外心定义可以对A判断；根据垂径定理的推论即可对B判断；根据垂径定理即可对C判断；根据对称轴是直线即可对D判断．
【详解】A．三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以A选项错误；
B．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，所以C选项正确；
D．直径所在的直线是圆的对称轴，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心、垂径定理、圆的有关概念，解决本题的关键是掌握圆的知识．
4、C
【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据圆周角定理即可得．
【详解】如图，连接OC，
由圆的半径得：，
弦DC的长等于半径，
，
是等边三角形，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
5、B
【详解】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°−∠BAD=42°，
∴∠DCA=∠ABD=42°
故选B
6、B
【分析】根据随机事件的定义逐项判断即可.
【详解】A、点数之和等于1，是不可能事件，不合题意；
B、点数之和等于9，是随机事件，符合题意；
C、点数之和大于1，是必然事件，不合题意；
D、点数之和大于12，是不可能事件，不合题意；
故选：B
【点睛】
本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、不可能事件．随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7、C
【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到：k=1×2=-2n，然后解方程即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝ 图象经过A（1，2），B（n，﹣2）两点，
∴k＝1×2＝﹣2n．
解得n＝﹣1．
故选C．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
8、D
【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【详解】∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，
故选D．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9、A
【分析】根据随机事件的意义，事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、打开电视，正在播放新闻，是随机事件；
B、氢气在氧气中燃烧生成水，是必然事件；
C、离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件；
D、钝角三角形的内角和大于180°，是不可能事件；
故选：A．
【点睛】
本题考查可随机事件的意义，正确理解随机事件的意义是解决本题的关键.
10、B
【分析】首先由圆的性质得出OC=OD，进而得出∠CDO=∠DCO，∠COD=70°，然后由圆周角定理得出∠CAD.
【详解】由已知，得OC=OD
∴∠CDO=∠DCO=55°
∴∠COD=180°-∠CDO-∠DCO=180°-55°-55°=70°
∵∠COD为弧CD所对的圆心角，∠CAD为弧CD所对的圆周角
∴∠CAD=∠COD=35°
故答案为B.
【点睛】
此题主要考查对圆周角定理的运用，熟练掌握，即可解题.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】依题意可知所求的长度等于AB的长，通过解直角△ABC即可求解．
【详解】如图，∵∠BAC＝30，∠ACB＝90，AC＝，
∴AB＝AC/cos30＝（m）．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题．应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．
12、
【分析】在Rt△ABC中，根据，可求得AC的长；在Rt△ACD中，设CD=x，则AD=BD=8-x，根据勾股定理列方程求出x值，从而求得结果．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵，
∴AC=BC=1．
设CD=x，则BD=8-x=AD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
x2+12=(8-x)2，解得x=2．
∴CD=2，AD=5，
∴．
故答案为：1；．
【点睛】
本题考查解直角三角形，掌握相关概念是解题的关键．
13、，
【分析】把方程变形为，把方程左边因式分解得，则有y=0或y-5=0，然后解一元一次方程即可．
【详解】解：，
∴，
∴y=0或y-5=0，
∴．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，其步骤为：移项，化积，转化和求解这几个步骤．
14、17
【解析】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanA= ，
∵，∴AC＝8，
∴AB= =17,
故答案为17.
15、1
【分析】设点P（a，b），根据反比例函数图象上点的坐标特征可得＝18，根据＝，且≥2ab，可求OP的最小值．
【详解】解：设点P（a，b）
∵点P在曲线y＝上，
∴＝18
∵≥0，
∴≥2ab，
∵＝，且≥2ab，
∴≥2ab＝31，
∴OP最小值为1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用≥2ab是本题的关键．
16、 (6，5)
【分析】通过新数组确定正整数n的位置，An=(a，b)表示正整数n为第a组第b个数(从左往右数)，
所有正整数从小到大排列第n个正整数，第一组（1），1个正整数，第二组（2,3）2个正整数，第三组（4,5,6）三个正整数，…，这样1+2+3+4+…+a> n，而1+2+3+4+…+(a-1)<n，能确第a组a个数从哪一个是开起，直到第b个数(从左往右数)表示正整数n
A7表示正整数7按规律排1+2+3+4=10>7，1+2+3=6<7，说明7在第4组，第四组应有4个数为（7,8,9,10）而7是这组的第一个数，为此P7=（4,1），
理解规律A20，先求第几组排进20，1+2+3+4+5+6=21>20，由1+2+3+4+5=15，第六组从16开始，按顺序找即可．
【详解】A20是指正整数20的排序，按规律1+2+3+4+5+6=21>20，说明20在第六组，而1+2+3+4+5=15<20，第六组从16开始，取6个数即第六组数（16，17，18，19，20，21），从左数第5个数是20，故A20=（6，5）．
故答案为：（6，5）．
【点睛】
本题考查按规律取数问题，关键是读懂An=（a，b）的含义，会用新数组来确定正整数n的位置．
17、-2
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案．
【详解】解：由点A（a，1）与点B（-2，b）关于原点对称，得
a=2，b=-1．
ab=（2）×（-1）=-2，
故答案为-2．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律是：横、纵坐标都是互为相反数．
18、1．
【分析】根据扇形的弧长公式计算即可，
【详解】∵扇形的圆心角为90°，弧长为4π，
∴，
即4π=，
则扇形的半径r=1．
故答案为1
考点：弧长的计算．
三、解答题(共66分)
19、（1））；（2）的面积为1；（3）或．
【分析】（1）将点A（-1，a）代入反比例函数求出a的值，确定出A的坐标，再根据待定系数法确定出一次函数的解析式；
（2）根据直线的平移规律得出直线CD的解析式为y=-x-2，从而求得D的坐标，联立方程求得交点C、E的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB的面积，然后由同底等高的两三角形面积相等可得△ACD与△CDB面积相等；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1））∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵点，
∴设直线AB的解析式为，
∵直线AB过点，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为；
（2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为，
∴，
∴，
联立，解得或，
∴，，
连接AC，则的面积，
由平行线间的距离处处相等可得与面积相等，
∴的面积为1．
（3）∵，，
∴不等式的解集是：或．
【点睛】
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20、（1）；（2）3；（3）存在，点Q的坐标为或或或.
【解析】 【分析】（1）求出点A、B、 E的坐标，设直线的解析式为 ，将点A和点E的坐标代入即可；
（2）先求出直线CE解析式，过点P作 轴，交CE与点F，设点P的坐标为 ，则点F ，从而可表示出△EPC的面积，利用二次函数性质可求出x的值，从而得到点 P的坐标，作点K关于CD和CP 的对称点G、H，连接G、 H交CD和CP与N 、M，当点O、N、 M、H在一条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值＝ GH，利用勾股定理求出GH即可；
(3)由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点 G的坐标，然后分为 三种情况讨论求解即可.
【详解】解：（1）
当时，
设直线的解析式为 ，将点A和点E的坐标代入得
解得
所以直线的解析式为 .
（2）设直线CE的解析式为 ，将点E的坐标代入得:
解得:
直线CE的解析式为
如图，过点P作轴，交 CE与点F
设点P的坐标为 ，则点F
则FP＝
∴当 时，△EPC的面积最大，
此时
如图2所示:作点K 关于CD和CP的对称点G 、H，连接G、H 交CD和CP与N 、M
K是CB的中点，
OD＝1， OC＝3
K是BC 的中点，∠OCB＝60°
点O与点K 关于CD对称
点G与点O 重合
∴点G(0，0)
点H与点K 关于CP对称
∴点H的坐标为
当点O、N、 M、H在条直线上时，KM+MN+NK 有最小值，最小值＝GH
的最小值为 3.
（3）如图
经过点D ，的顶点为点F
∴点
点G为 CE的中点，
当FG＝FQ时，点 或
当GF＝GQ时，点 F与点 关于直线 对称
点
当QG＝QF时，设点 的坐标为
由两点间的距离公式可得： ，解得
点 的坐标为
综上所述，点Q的坐标为 或 或 或
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质的应用，涉及的知识点主要有待定系数法求一次函数的解析式、三角函数、勾股定理、对称的坐标变换、两点间的距离公式、等腰三角形的性质及判定，综合性较强，灵活利用点坐标表示线段长是解题的关键.
21、（1）12；（2）或．
【解析】（1）把点（4，m）代入直线求得m，然后代入与反比例函数，求出k；
（2）设点P的纵坐标为y，一次函数与x轴相交于点A，与y轴相交于点C，则A（-2，0），C（0，1），然后根据S△ABP=S△APC+S△BPC列出关于y的方程，解方程求得即可．
【详解】解：（1）点在一次函数上，
，
又点在反比例函数上，
；
（2）设点的纵坐标为，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，
，，
又点在轴上，，
，即，
，
或
或．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，三角形的面积等知识，求出交点坐标，利用数形结合思想是解题的重点．
22、（1）10 （2）， （3）
【分析】（1）根据直角距离的公式，直接代入求解即可；
（2）设点C的坐标为，代入直角距离公式可得根据根的判别式求出k的值，即可求出点C的坐标；
（3）如图，⊙C与线段AC交于点D，过点D作与AB交于点E，先证明△ADE是等腰直角三角形，从而得出，再根据直角距离的定义，即可求出出最低的成本．
【详解】（1）∵，点，点
∴；
（2）设点C的坐标为
∵
∴
∵
∴
∴
∵符合条件的点有且仅有一个，且
∴
解得
∴
解得
∴
故，；
（3）如图，⊙C与线段AC交于点D，过点D作与AB交于点E
由题意得
∴
∵
∴△ADE是等腰直角三角形
∴
∵步道只能东西或者南北走向，并且东西方向每千米成本是20万元，南北方向每千米的成本是10万元
∴步道的最短距离为A和D的直角距离，即
最低总成本（万元）
故修建这一规光步道至少要万元．
【点睛】
本题考查了直角距离的问题，掌握直角距离的定义以及公式、根的判别式、解一元二次方程的方法是解题的关键．
23、（1）点D的坐标是（1，2）；（2）双曲线的解析式是：y＝；（1）△CDE的面积是1．
【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，将线段长度转化为点的坐标即可；
（2）求出点的坐标后代入反比例函数解析式求解即可；
（1）观察图形，可用割补法将分成与两部分，以为底，分别以到的距离和到的距离为高求解即可.
【详解】解：（1）∵在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（1，1）、（1，1），
∴点D的坐标是（1，2），
（2）∵双曲线y＝（k≠0，x＞0）过点D（1，2），
∴2＝，得k＝2，
即双曲线的解析式是：y＝；
（1）∵直线AC交y轴于点E，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（1，1）、（1，1），点D的坐标是（1，2），
∴AD＝2，点E到AD的距离为1，点C到AD的距离为2，
∴S△CDE＝S△EDA+S△ADC＝＝1+2＝1，
即△CDE的面积是1．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与平行四边形的性质，熟练掌握两知识点的性质是解答关键.
24、 (1)见解析;(2).
【分析】（1）画树状图列举出所有情况；
（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：
从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．
（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，
∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=．
【点睛】
本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键.
25、1
【分析】由点A的坐标以及AB∥x轴，可得出点B的坐标，从而得出AD、AB的长度，利用矩形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵A（，3），AB∥x轴，点B在双曲线y＝之上，
∴B（1，3），
∴AB＝1﹣＝，AD＝3，
∴S＝AB•AD＝×3＝1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的横（纵）坐标求出纵（横）坐标是关键．
26、宣传条幅BC的长约为26米．
【分析】先根据三角形的外角性质得出，再根据等腰三角形的判定可得BE的长，然后利用的正弦值求解即可．
【详解】由题意得米
（米）
在中，，即
（米）
答：宣传条幅BC的长约为26米．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、解直角三角形等知识点，熟记正弦值的定义及特殊角的正弦值是解题关键．
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