资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若再任意涂灰2个白色小正方形（每个白色小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．把抛物线的图象绕着其顶点旋转，所得抛物线函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
3．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是( )
A． B．
C． D．
4．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A． B． C． D．
5．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（ ）
A．2
B．4
C．
D．
6．为了美化校园环境，加大校园绿化投资．某区前年用于绿化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为33万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则（ ）
A．18（1+2x）＝33 B．18（1+x2）＝33
C．18（1+x）2＝33 D．18（1+x）+18（1+x）2＝33
7．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天太阳从西边出来 B．打开电视，正在播放《新闻联播》
C．兰州是甘肃的省会 D．小明跑完所用的时间为分钟
9．如图，中，、分别是、边上一点，是、的交点，，，交于，若，则长度为（ ）
A． B． C． D．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④5a＜b．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．二次函数（a，b，c为常数且a≠0）中的与的部分对应值如下表：
0
1
3
3
5
3
现给出如下四个结论：①；② 当时，的值随值的增大而减小；③是方程的一个根；④当时，，其中正确结论的序号为：____．
12．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，弦BD，AC交于点E，若DE＝2，BE＝4，则tan∠ABD＝_____．
13．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，如果AB＝8cm，小圆直径径为6cm，那么大圆半径为_____cm．
14．已知_______
15．如图，点G为△ABC的重心，GE∥AC，若DE＝2，则DC＝_____．
16．一个三角形的三边之比为，与它相似的三角形的周长为，则与它相似的三角形的最长边为____________.
17．将二次函数的图像向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么的值等于__________.
18．关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个根为﹣1，则m的值为________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，AB是⊙O的直径， BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB =2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若，，求BF的长．
20．（6分）甲、乙两人进行摸牌游戏现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，1．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再从中随机抽取一张．
（1）甲从中随机抽取一张牌，抽取的数字为奇数的概率为 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取的数字相同的概率．
21．（6分）已知在中，，，，为边上的一点．过点作射线，分别交边、于点、．
（1）当为的中点，且、时，如图1，_______：
（2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_______；
（3）若改变点到图3的位置，且时，求的值．
22．（8分）如图，，点是线段的一个三等分点，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，连接
(1)求证:是的切线；
(2)点为上的一动点，连接.
①当 时，四边形是菱形;
②当 时，四边形是矩形.
23．（8分）实行垃圾分类和垃圾资源化利用，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现.某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可利用最新技术将干垃圾进行分选破碎制成固化成型燃料棒，干垃圾由此变身新型清洁燃料.某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费万元，购买乙型智能设备花费万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为万元.
求甲、乙两种智能设备单价；
垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售.已知燃料棒的成本由人力成本和物资成本两部分组成，其中物资成本占总成本的，且生产每吨燃料棒所需人力成本比物资成本的倍还多元.调查发现，若燃料棒售价为每吨元，平均每天可售出吨，而当销售价每降低元，平均每天可多售出吨.垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到元，且保证售价在每吨元基础上降价幅度不超过，求每吨燃料棒售价应为多少元？
24．（8分）如图，某防洪堤坝长300米，其背水坡的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得加固后坡面的坡角∠ADB=50°
（1）求此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）
（2）完成这项工程需要土石多少立方米？（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）
25．（10分）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．
26．（10分）如图，在中，，是边上的中线，平分交于点、交于点，，．
（1）求的长；
（2）证明：；
（3）求的值．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据题目意思我们可以得出总共有15种可能，而能构成轴对称图形的可能有4种，然后根据概率公式可计算出新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率．
【详解】解：如图所示
可以涂成黑色的组合有：
1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；
4，5；4，6；5，6；
一共有15种可能
构成黑色部分的图形是轴对称图形的：1，4；3，6；2，3；4，5；
∴构成黑色部分的图形是轴对称图形的概率：
故选：C．
【点睛】
此题主要考查的是利用轴对称设计图案，正确得出所有组合是解题的关键．
2、B
【分析】根据图象绕顶点旋转180°，可得函数图象开口方向相反，顶点坐标相同，可得答案．
【详解】∵
，
∴该抛物线的顶点坐标是（1，3），
∴在旋转之后的抛物线解析式为：
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移和旋转，解决本题的关键是理解绕抛物线的顶点旋转180°得到新函数的二次项的系数符号改变，顶点不变．
3、B
【分析】根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．
【详解】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，
∵5＞3，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了对直线与圆的位置关系的性质，掌握直线与圆的位置关系的性质是解此题的关键.
4、A
【分析】延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF∥BC知∠ADE=90°，由∠AEF=143°知∠AED=37°，根据sin∠AED，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．
【详解】如图，延长BA、FE，交于点D．
∵AB⊥BC，EF∥BC，
∴BD⊥DF，即∠ADE=90°．
∵∠AEF=143°，
∴∠AED=37°．
在Rt△ADE中，
∵sin∠AED，AE=1.2米，
∴AD=AE•sin∠AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，
则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．
5、C
【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
【详解】作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，
∵AP′=P′D’，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=2，
即DQ+PQ的最小值为2，
故答案为C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的
6、C
【解析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．
【详解】由题意可得，
18（1+x）2＝33，
故选：C．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程，这是一道典型的增长率问题．
7、C
【解析】试题分析：选项A：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意，此选项错误；选项B：一次函数图像经过一、二、四象限，因此a＜0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向下，对称轴在y轴左侧，不合题意，此选项错误；
选项C：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，符合题意，此选项正确；选项D：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意，此选项错误.故选C.
考点：1一次函数图像；2二次函数图像.
8、C
【分析】由题意根据必然事件就是一定发生的事件，依据定义依次判断即可．
【详解】解：A. 明天太阳从西边出来，为不可能事件，此选项排除；
B. 打开电视，正在播放《新闻联播》，为不一定事件，此选项排除；
C. 兰州是甘肃的省会，为必然事件，此选项当选；
D. 小明跑完所用的时间为分钟，为不一定事件，此选项排除.
故选：C.
【点睛】
本题考查必然事件的概念．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9、D
【分析】根据AAS证明△BDF≌△ENF，得到NE=BD=1，再由NE∥BC，得到△ANE∽△ADC，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【详解】∵NE∥BC，
∴∠ENF=∠BDF，∠NEF=∠DBF．
∵BF=EF，
∴△BDF≌△ENF，
∴NE=BD=1．
∵NE∥BC，
∴△ANE∽△ADC，
∴，
∴，
∴DC=2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．求出NE的长是解答本题的关键．
10、B
【解析】由图象与x轴有交点，可以推出b2-4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由对称轴为x==-1可以判定②错误；由x=-1时，y>0，可知③错误．把x＝1，x＝﹣3代入解析式，整理可知④正确，然后即可作出选择．
【详解】①∵图象与x轴有交点，对称轴为x＝＝﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，故本选项正确，
②∵对称轴为x＝＝﹣1，
∴2a＝b，
∴2a-b＝0，
故本选项错误，
③由图象可知x＝﹣1时，y>0，∴a﹣b+c>0，故本选项错误，
④把x＝1，x＝﹣3代入解析式得a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，
两边相加整理得5a+c＝b，
∵c>0,
即5a＜b，故本选项正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与各系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、①②③④
【分析】先利用待定系数法求得的值，＜0可判断①；对称轴为直线，利用二次函数的性质可判断②；方程即，解得，可判断③；时，；当时，，且函数有最大值，则当时，，即可判断④．
【详解】∵时，时，时，
∴，
解得：，
∴，故①正确；
∵对称轴为直线，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②正确；
方程即，
解得，
∴是方程的一个根，故③正确；
当时，，
当时，，
∵，
∴函数有最大值，
∴当时，，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
12、
【分析】根据圆周角定理得到∠DAC=∠B，得到△ADE∽△BDA，根据相似三角形的性质求出AD，根据正切的定义解答即可．
【详解】∵点D是弧AC的中点，
∴，
∴∠DAC=∠ABD，
又∵∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴，即，
解得：AD=2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴tan∠ABD=tan∠DAE．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、正切的定义，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
13、1
【分析】连接OA，由切线的性质可知OP⊥AB，由垂径定理可知AP＝PB，在Rt△OAP中，利用勾股定理可求得OA的长．
【详解】如图，连接OP，AO，
∵AB是小圆的切线，
∴OP⊥AB，
∵OP过圆心，
∴AP＝BP＝AB＝4cm，
∵小圆直径为6cm，
∴OP＝3cm，
在Rt△AOP中，由勾股定理可得OA＝＝1（cm），
即大圆的半径为1cm，
故答案为：1．
【点睛】
此题考查垂径定理，勾股定理，在圆中垂径定理通常与勾股定理一起运用求半径、弦、弦心距中的一个量的值.
14、2
【分析】设，分别用k表示x、y、z，然后代入计算，即可得到答案.
【详解】解：根据题意，设，
∴，，，
∴；
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质，正确用k来表示x、y、z.
15、1．
【分析】根据重心的性质可得AG：DG＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理可得＝＝2，从而求出CE，即可求出结论．
【详解】∵点G为△ABC的重心，
∴AG：DG＝2：1，
∵GE∥AC，
∴＝＝2，
∴CE＝2DE＝2×2＝4，
∴CD＝DE+CE＝2+4＝1．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质和平行线分线段成比例定理是解决此题的关键．
16、18cm．
【分析】由一个三角形的三边之比为3：6：4，可得与它相似的三角形的三边之比为3：6：4，又由与它相似的三角形的周长为39cm，即可求得答案．
【详解】解：∵一个三角形的三边之比为3：6：4，
∴与它相似的三角形的三边之比为3：6：4，
∵与它相似的三角形的周长为39cm，
∴与它相似的三角形的最长边为：39×=18（cm）．
故答案为：18cm．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意相似三角形的对应边成比例．
17、1
【分析】利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标，再代入直线y=0求出即可．
【详解】y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴将抛物线y=x2-2x+2沿y轴向下平移1个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在x轴上，
∴m=1，
故答案为：1．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，二次函数的平移，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．
18、1
【解析】试题分析：把x＝－1代入方程得：(－1)2＋m﹣2＝0，
解得：m＝1．
故答案为：1．
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）．
【分析】(1)连接AD，如图，根据圆周角定理，再根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
(2)作F做FH⊥AB于点H,利用余弦定义，再根据三角函数定义求解即可
【详解】(1)证明:如图，连接AD．
∵ E是中点，
∴．
∴ ∠DAE=∠EAB．
∵ ∠C =2∠EAB，
∴∠C =∠BAD.
∵ AB是⊙O的直径.
∴ ∠ADB=∠ADC=90°．
∴ ∠C+∠CAD=90°．
∴ ∠BAD+∠CAD=90°．
即 BA⊥AC
∴ AC是⊙O的切线．
(2)解：如图②，过点F做FH⊥AB于点H．
∵ AD⊥BD，∠DAE=∠EAB，
∴ FH=FD，且FH∥AC．
在Rt△ADC中，
∵，，
∴ CD=1．
同理，在Rt△BAC中，可求得BC= ．
∴BD= ．
设 DF=x，则FH=x，BF=-x．
∵ FH∥AC，
∴ ∠BFH=∠C．
∴．
即．
解得x=2．
∴BF=．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用和切线的判定,经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.连接半径在证明垂直即可
20、（1）；（2）.
【分析】(1)解答时根据条件找出规律解答，先找出奇数，然后求概率．(2)熟悉列表法或画树状图法，求出数字相同的概率．
【详解】（1）∵共有3张纸牌，其中数字是奇数的有2张，
∴甲从中随机抽取一张牌，抽取的数字为奇数的概率为，
故答案为．
（2）列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中两人抽取的数字相同的有3种结果，
所以两人抽取的数字相同的概率为＝．
【点睛】
此题重点考察学生对概率的实际应用能力，抓住概率的计算公式，理解列表法或画树状图法是解题的关键．
21、（1）2；（2）2；（3）
【分析】（1）由为的中点，结合三角形的中位线的性质得到 从而可得答案；
（2）如图，过作于 过作于结合（1）求解再证明利用相似三角形的性质可得答案；
（3）过点分别作于点，于点，证明,可得 再证明，利用相似三角形的性质求解 同法求解 从而可得答案．
【详解】解：（1）为的中点，
故答案为：
（2）如图，过作于 过作于
由（1）同理可得 ：
故答案为：
（3）过点分别作于点，于点，
∵，∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
同理可得：．
∴．
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，三角形中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
22、 (1)见解析；(2)①60°，②120°.
【分析】（1）连接，由，得到为等边三角形，得到，即可得到，则结论成立；
（2）①连接BD，由圆周角定理，得到∠ABD=30°，则∠DBE=60°，又有∠BEP=120°，根据同旁内角互补得到PE//DB，然后证明，即可得到答案；
②由圆周角定理，得∠ABD=60°，得到∠EBD=90°，然后由直径所对的圆周角为90°，得到，即可得到答案.
【详解】证明：连接，
，
.
，
为等边三角形，
.
点是的三等分点，
，
，
，即，
是的切线.
（2）①当时，四边形是菱形；
如图，连接BD，
∵，
∴，
∴，
∵AB为直径，则∠AEB=90°，
由（1）知，
∴，
∴，
∴PE//DB，
∵，，
∴，
∴四边形是菱形；
故答案为：60°.
②当时，四边形是矩形.
如图，连接AE、AD、DB，
∵，
∴，
∴，
∵AB是直径，
∴，
∴四边形是矩形.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的判定和矩形的判定，解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行解题.
23、（1）甲设备万元每台，乙设备万元每台.（2）每吨燃料棒售价应为元.
【分析】（1）设甲单价为万元，则乙单价为万元，再根据购买甲型智能设备花费万元，购买乙型智能设备花费万元，购买的两种设备数量相同列出分式方程并解答即可；
（2）先求出每吨燃料棒成本为元，然后根据题意列出一元二次方程解答即可.
【详解】解：设甲单价为万元，则乙单价为万元，则:
解得
经检验，是所列方程的根.
答：甲设备万元每台，乙设备万元每台.
设每吨燃料棒成本为元，则其物资成本为，则:
，解得
设每吨燃料棒在元基础上降价元，则
解得
.
每吨燃料棒售价应为元.
【点睛】
本题考查分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键在于弄懂题意、找到等量关系、并正确列出方程.
24、（1）应将坝底向外拓宽大约6.58米；（2）21714立方米
【分析】（1）过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DE-BE即可求解；
（2）用△ABD的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．
【详解】解：（1）过A点作AE⊥CD于E．
在Rt△ABE中，∠ABE=62°．
∴AE=AB•sin62°≈25×0.88=22米，
BE=AB•cos62°≈25×0.47=11.75米，
在Rt△ADE中，∠ADB=50°，
∴DE==18.33米，
∴DB=DE-BE≈6.58米．
故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．
（2）6.58×22××300=21714立方米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．
25、1m高
【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：由于BF＝DB＝2m，即∠D＝45°，
∴DP＝OP＝灯高．
在△CEA与△COP中，
∵AE⊥CP，OP⊥CP，
∴AE∥OP．
∴△CEA∽△COP，
∴．
设AP＝xm，OP＝hm，则，①，
DP＝OP＝2+4+x＝h，②
联立①②两式，
解得x＝4，h＝1．
∴路灯有1m高．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
26、（1）13 （2）证明见解析 （3）
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，结合，可得，根据勾股定理列式求解即可；
（2）根据直角三角形的斜边中线定理和等边对等角即可证明；
（3）通过证明F是△ABC的重心，即可得，根据勾股定理求出BE的长度，即可在Rt△BEF中求出的值．
【详解】（1）∵，平分交于点、交于点
∴
∵
∴在Rt△ABE中，
∴
∵
∴在Rt△ABE中，
∴
∵
∴；
（2）∵是边上的中线
∴
∴；
（3）∵，平分交于点、交于点
∴AE是BC边上的中线
∵BD是AC边上的中线
∴F是△ABC的重心
∵
∴
∴
∴在Rt△BEF中，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、锐角三角函数、三角形重心的性质是解题的关键．
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