资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把△EFO缩小为△E′F′O，且△E′F′O与△EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A．（2，﹣1） B．（8，﹣4）
C．（2，﹣1）或（﹣2，1） D．（8，﹣4）或（﹣8，4）
3．如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点(C与点A、B不重合)，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE＝x，AP＝y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是( )
A． B．
C． D．
4．将二次函数化成的形式为（ ）
A． B．
C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AC＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．将函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，可得到的抛物线是( )
A． B．
C． D．
7．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
8．如图，在△ABC中E、F分别是AB、AC上的点，EF∥BC，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为 （ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
9．已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④.其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，一斜坡AB的长为m，坡度为1:1.5，则该斜坡的铅直高度BC的高为（ ）
A．3m B．4m C．6m D．16m
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为_____．
12．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为______（精确到0.1）．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
251
投中频率（m/n）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
13．已知x=－1是一元二次方程x2＋mx＋1=0的一个根，那么m的值是_________．
14．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为，则m＝__．
15．如图，，，若，则_________ ．
16．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________．
17．如图，是半圆的直径，四边形内接于圆，连接，，则_________度．
18．如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，，点D是AC边上的动点(不与点C重合)，过点D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为_______________________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）某食品代理商向超市供货，原定供货价为元/件，超市售价为元/件.为打开市场超市决定在第一季度对产品打八折促销，第二季度再回升个百分点，为保证超市利润，代理商承诺在供货价基础上向超市返点试问平均每季度返多少个百分点，半年后超市的销售利润回到开始供货时的水平?
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴正半轴于点，与过点的直线相交于另一点，过点作轴，垂足为.
（1）求抛物线的解析式.
（2）点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点.
①若点在线段上（不与点，重合），连接，求面积的最大值.
②设的长为，是否存在，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21．（6分）如图，有三张不透明的卡片，除正面标记有不同数字外，其它均相同．将这三张卡片反面朝上洗匀后，从中随机抽取一张；放回洗匀后，再随机抽取一张．我们把第一次抽取的卡片上标记的数字记作，第二次抽取的卡片上标记的数字记作．
（1）写出为负数的概率；
（2）求使得一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率．（用树状图或列表法求解）
22．（8分）如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD的高度．
（参考数据：≈1.414，≈1.1．结果精确到0.1米）
23．（8分）如图，⊙为的外接圆，，过点的切线与的延长线交于点，交于点，.
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的长.
24．（8分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=0.4m，EF=0.2m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高．
25．（10分）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“准菱形”，利用该定义完成以下各题：
（1）理解：如图1，在四边形ABCD中，若__________（填一种情况），则四边形ABCD是“准菱形”；
（2）应用：证明：对角线相等且互相平分的“准菱形”是正方形；（请画出图形，写出已知，求证并证明）
（3）拓展：如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BP方向平移得到△DEF，连接AD，BF，若平移后的四边形ABFD是“准菱形”，求线段BE的长．
26．（10分）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选中其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整），请根据图中信息回答问题：
（1）求m，n的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】试题分析：由题意可得BQ=x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=BP•BQ，解y=•3x•x=；故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=BQ•BC，解y=•x•3=；故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=AP•BQ，解y=•（9﹣3x）•x=；故D选项错误．
故选C．
考点：动点问题的函数图象．
2、C
【分析】利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E'的坐标．
【详解】∵点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E'F'O，∴点E的对应点E'的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．
故选C．
【点睛】
本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解答此题的关键．
3、A
【分析】连接OP，根据条件可判断出PO⊥AB，即AP是定值，与x的大小无关，所以是平行于x轴的线段．要注意CE的长度是小于1而大于0的．
【详解】连接OP，
∵OC＝OP，
∴∠OCP＝∠OPC．
∵∠OCP＝∠DCP，CD⊥AB，
∴∠OPC＝∠DCP．
∴OP∥CD．
∴PO⊥AB．
∵OA＝OP＝1，
∴AP＝y＝(0＜x＜1)．
故选A．
【点睛】
解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．
4、C
【分析】利用配方法即可将二次函数转化为顶点式．
【详解】
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的顶点式，掌握配方法是解题的关键．
5、A
【分析】先根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=5，然后利用勾股定理计算AC的长．
【详解】如图，
在Rt△ACB中，∵sinA＝，
∴，
∴AB＝5，
∴AC＝＝1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
6、A
【分析】根据图象平移的过程易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】解：原抛物线的顶点为，向右平移1个单位，再向下平移3个单位，那么新抛物线的顶点为；
可设新抛物线的解析式为，代入得：，
故选：A．
【点睛】
主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
7、C
【解析】试题分析：在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，而其概率为，因此可得=，解得n=8.
故选B．
考点：概率的求法
8、C
【解析】解：∵，
∴，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵△AEF的面积为2，
∴S△ABC=18，
则S四边形EBCF=S△ABC-S△AEF=18-2=1．
故选C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，难度不大．
9、D
【解析】由题意根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：函数图象与x轴有两个交点，故b2-4ac＞0，所以①正确，
由图象可得，
a＞0，b＜0，c＜0，
故abc＞0，所以②正确，
当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故③正确，
∵该函数的对称轴为x=1，当x=-1时，y＜0，
∴当x=3时的函数值与x=-1时的函数值相等，
∴当x=3时，y=9a+3b+c＜0，故④正确，
故答案为：①②③④．
故选D.
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10、B
【分析】首先根据题意作出图形，然后根据坡度=1：1.5，可得到BC和AC之间的倍数关系式，设BC=x，则AC=1.5x，再由勾股定理求得AB=，从而求得BC的值．
【详解】解：∵斜坡AB的坡度i=BC：AC=1：1.5，AB=，
∴设BC=x，则AC=1.5x，
∴由勾股定理得AB=，
又∵AB=，
∴=，解得：x=4，
∴BC=4m．
故选：B．
【点睛】
本题考查坡度坡角的知识，属于基础题，对坡度的理解及勾股定理的运用是解题关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】解：∵弦CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，∴S阴影=S扇形COD==．故答案为．
12、0.1
【解析】利用频率的计算公式进行计算即可.
【详解】解：由题意得，这名球员投篮的次数为1110次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.1．
故答案为0.1．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，难度不大．
13、1
【解析】试题分析：将x=－1代入方程可得：1－m+1=0，解得：m=1．
考点：一元二次方程
14、1
【分析】根据概率公式列出方程，即可求出答案．
【详解】解：由题意得，
解得m＝1，
经检验m＝1是原分式方程的根，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了概率公式，根据概率公式列出方程是解题的关键．
15、1
【分析】可得出△OAB∽△OCD，可求出CD的长．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴ ，
∵ ，若AB=8，
∴CD=1．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
16、
【分析】一元二次方程有实数根，即
【详解】解：一元二次方程有实数根
解得
【点睛】
本题考查与系数的关系.
17、1
【分析】首先根据圆周角定理求得∠ADB的度数，从而求得∠BAD的度数，然后利用圆内接四边形的性质求得未知角即可．
【详解】解：∵AB是半圆O的直径，AD=BD，
∴∠ADB=90°，∠DAB=45°，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠BCD=180°-45°=1°，
故答案为：1．
【点睛】
考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是根据圆周角定理得到三角形ABD是等腰直角三角形，难度不大．
18、
【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．
【详解】在Rt△CDE中，，CD=x
∴
∴，
∴．
∵点F是BD的中点，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题(共66分)
19、代理商平均每个季度向超市返个百分点，半年后超市的利润回到开始供货时的水平.
【分析】设代理商平均每个季度向超市返个百分点，根据题意列出方程，解方程，即可得到答案.
【详解】解：设代理商平均每个季度向超市返个百分点，
由题意得：，
解得：(舍去).
∴代理商平均每个季度向超市返个百分点，半年后超市的利润回到开始供货时的水平.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目的等量关系，列出方程.
20、（1）；（2）①；②存在，当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形.
【分析】（1）把，带入即可求得解析式；
（2）先用含m的代数式表示点P、M的坐标，再根据三角形的面积公式求出∆PCM的面积和m的函数关系式，然后求出∆PCM的最大值；
（3）由平行四边形的性质列出关于t的一元二次方程，解方程即可得到结论
【详解】解：（1）∵抛物线过点、点，
∴解得
∴抛物线的解析式为.
（2）∵抛物线与轴交于点，
∴可知点坐标为.
∴可设直线的解析式为.
把点代人中，得，
∴.
∴直线的解析式为.
①∵轴，
∴.
设，则，且.
∴，
∴.
∴.
∴当时，的面积最大，最大值为.
②存在.
由题可知，.
∴当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形.
已知的长为，所以，.
∴.
∴当时，
解得（不符合题意，舍去），；
当时，，
∴此方程无实数根.
综上，当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形.
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定，正确求出二次函数解析式，利用配方法把一般式化成顶点式，求出函数的最值是解题的关键
21、（1）；（2）
【分析】（1）用负数的个数除以数的总数即为所求的概率；
（2）画树状图列举出所有情况，看k＜0，b＜0的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：（1）共有3个数，其中负数有2个，那么为负数的概率为
（2）画树状图可知，
两次抽取卡片试验共有9种不同结果 ,每种可能性相同
“一次函数图象经过第二、三、四象限”等价于“且”
抽取卡片满足，有 4 种情况
所以，一次函数图象经过第二、三、四象限的概率是．
【点睛】
考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意过二、三、四象限的一次函数的k为负数，b为负数．
22、商务楼的高度为37.9米．
【解析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC的方程，从而求出DC．
【详解】过点B作BE⊥CD与点E，由题意可知∠DBE=，
∠DAC=，CE=AB=16
设AC=x，则，BE=AC=x
∵
∵∴BE=DE ∴
∴
∴
∴
答： 商务楼的高度为37.9米.
23、（1）OE∥BC.理由见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，根据已知条件可推出，进一步得出结论得以证明；
（2）根据（1）的结论可得出∠E=∠BCD，对应的正切值相等，可得出CE的值，进一步计算出OE的值，在Rt△AFO中，设OF=3x,则AF=4x，解出x的值，继而得出OF的值，从而可得出答案．
【详解】解：（1） OE∥BC.理由如下：
连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCE=90 ，
∴∠OCA+∠ECF=90，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠CAB．
又∵∠CAB=∠E，
∴∠OCA=∠E，
∴∠E+∠ECF=90，
∴∠EFC=180O-(∠E+∠ECF) =90．
∴∠EFC=∠ACB=90 ，
∴OE∥BC．
(2)由(1)知，OE∥BC，
∴∠E=∠BCD．
在Rt△OCE中，∵AB=12，
∴OC=6，
∵tanE=tan∠BCD=，
∴．
∴OE2=OC2+CE2=62+82，
∴OE=10
又由（1）知∠EFC =90，
∴∠AFO=90．
在Rt△AFO中，∵tanA =tanE=，
∴设OF=3x,则AF=4x．
∵OA2=OF2+AF2，即62=(3x)2+(4x)2，
解得：
∴，
∴．
【点睛】
本题是一道关于圆的综合题目，涉及到的知识点有切线的性质，平行线的判定定理，三角形内角和定理，正切的定义，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
24、树高为 5.5 米
【解析】根据两角相等的两个三角形相似，可得 △DEF∽△DCB ，利用相似三角形的对边成比例，可得， 代入数据计算即得BC的长，由 AB＝AC+BC ，即可求出树高.
【详解】∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴ ，
∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，
∴，
∴CB＝4（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）
答：树高为 5.5 米.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
25、 (1)答案不唯一，如AB＝BC.（2）见解析;(3) BE=2或或或.
【解析】整体分析：
(1)根据“准菱形”的定义解答，答案不唯一；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形，矩形的邻边相等时即是正方形；(3)根据平移的性质和“准菱形”的定义，分四种情况画出图形，结合勾股定理求解.
解：(1)答案不唯一，如AB＝BC.
(2)已知：四边形ABCD是“准菱形”，AB=BC，对角线AC，BO交于点O，且AC=BD，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
∵四边形ABCD是“准菱形”，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形.
(3)由平移得BE=AD，DE=AB＝2，EF=BC＝1，DF=AC＝.
由“准菱形”的定义有四种情况：
①如图1，当AD＝AB时，BE＝AD＝AB＝2.
②如图2，当AD＝DF时，BE＝AD＝DF＝.
③如图3，当BF＝DF＝时，延长FE交AB于点H，则FH⊥AB.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°.
∴∠BEH＝∠ABE＝45°.∴BE＝BH.
设EH＝BH＝x，则FH＝x＋1，BE＝x.
∵在Rt△BFH中，BH2＋FH2＝BF2，
∴x2＋(x＋1)2＝()2，
解得x1＝1，x2＝－2(不合题意，舍去)，
∴BE＝x＝.
④如图4，当BF＝AB＝2时，与③)同理得：BH2＋FH2＝BF2.
设EH＝BH＝x，则x2＋(x＋1)2＝22，
解得x1＝，x2＝(不合题意，舍去)，
∴BE＝x＝.
综上所述，BE=2或或或.
26、（1），；（2）见解析；（3）300人.
【分析】（1）用选A的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比＝其所对应的人数÷总人数分别求出m、n的值j即可；（2）用总数减去其他各小组的人数即可求得选D的人数，从而补全条形统计图；（3）用样本估计总体即可确定全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
【详解】（1）抽取的学生人数为人，
所以．
（2）最喜欢“生活应用”的学生数为（人）．
条形统计图补全如下：
（3）该要校共有1200名学生，可估计全校最喜欢“数学史话”的学生有；人．
【点睛】
本题考查了条形统计图与扇形统计图的应用，从条形统计图、扇形统计图中获取必要的信息是解决问题的关键．
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