人教中学七年级下册数学期末质量监测试卷含答案.doc

人教中学七年级下册数学期末质量监测试卷含答案
一、选择题
1．的平方根是（）
A．- B． C． D．
2．把“笑脸”进行平移，能得到的图形是（ ）

A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列命题中假命题的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直
5．如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a，b中的直线b上，已知，则的度数为

A． B． C． D．
6．如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（ ）

A．4的算术平方根 B．4的立方根 C．8的算术平方根 D．8的立方根
7．如图，已知直线，的平分线交于点F，，则等于（ ）

A． B． C． D．
8．如图，一个粒子在第一象限内及x轴､y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与x轴､y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2021分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）

A． B． C． D．
九、填空题
9．计算：﹣=_____．
十、填空题
10．已知点与点关于轴对称，那么________.
十一、填空题
11．在△ABC中，若∠A=60°，点O是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BOC=________．

十二、填空题
12．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=54º时，∠1=______．

十三、填空题
13．如图所示是一张长方形形状的纸条，，则的度数为__________．

十四、填空题
14．已知a，b为两个连续的整数，且，则的平方根为___________．
十五、填空题
15．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P在第________象限．
十六、填空题
16．如图，弹性小球从点P(0，1)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1(2，0)，第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2021的坐标为______．

十七、解答题
17．计算下列各式的值：
（1）
（2）
十八、解答题
18．求下列各式中x的值．
（1）x2﹣81＝0；
（2）2x2﹣16＝0；
（3）（x﹣2）3＝﹣27．
十九、解答题
19．完成下面的说理过程：如图，在四边形中，E、F分别是，延长线上的点，连接，分别交，于点G、H．已知，，对和说明理由．

理由：∵（已知），
（ ），
∴（等量代换）．
∴（ ）．
∵（ ）．
∵（已知），
∴．（ ）．
∴（ ）．
二十、解答题
20．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（＋1，＋4），从B到A记为：A→B（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
（1）A→C（　 　，　 　），B→D（　 　，　 　），C→　 　（＋1，　 　）；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋1，﹣1），（﹣2，＋3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置．

二十一、解答题
21．若整数的两个平方根为，；为的整数部分．
（1）求及的值；
（2）求的立方根．
二十二、解答题
22．如图是一块正方形纸片．
（1）如图1，若正方形纸片的面积为1dm2，则此正方形的对角线AC的长为　 　dm．
（2）若一圆的面积与这个正方形的面积都是2πcm2，设圆的周长为C圆，正方形的周长为C正，则C圆　 　C正(填“＝”或“＜”或“＞”号)
（3）如图2，若正方形的面积为16cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由？

二十三、解答题
23．阅读下面材料：
小亮同学遇到这样一个问题：
已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．
证明：过点E作EFAB，
则有∠BEF＝ ．
∵ABCD，
∴ ，
∴∠FED＝ ．
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，
已知：直线ab，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；
②如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．

二十四、解答题
24．为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交又照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．

（1）填空：_________；
（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
二十五、解答题
25．（生活常识）
射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图 1，MN 是平面镜，若入射光线 AO 与水平镜面夹角为∠1，反射光线 OB 与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2 .

（现象解释）
如图 2，有两块平面镜 OM，ON，且 OM⊥ON，入射光线 AB 经过两次反射，得到反射光线 CD.求证 AB∥CD.
（尝试探究）
如图 3，有两块平面镜 OM，ON，且∠MON =55° ，入射光线 AB 经过两次反射，得到反射光线 CD，光线 AB 与 CD 相交于点 E，求∠BEC 的大小.

（深入思考）
如图 4，有两块平面镜 OM，ON，且∠MON = α ，入射光线 AB 经过两次反射，得到反射光线 CD，光线 AB 与 CD 所在的直线相交于点 E，∠BED=β , α 与 β 之间满足的等量关系是 .（直接写出结果）
【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据平方根的定义（如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根）即可得．
【详解】
解：因为，
所以的平方根是，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题关键．
2．D
【分析】
根据平移不改变图形的形状和大小，对应点的连线相等且互相平行即可判断．
【详解】
解：观察图形可知图形进行平移，能得到图形D．
故选：D．
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改
解析：D
【分析】
根据平移不改变图形的形状和大小，对应点的连线相等且互相平行即可判断．
【详解】
解：观察图形可知图形进行平移，能得到图形D．
故选：D．
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
3．B
【分析】
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】
解：点A（-3，2）在第二象限，
故选：B．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4．D
【分析】
根据平行线的判定定理逐项分析即可判断．
【详解】
A. 同旁内角互补，两直线平行,是真命题，不符合题意；
B. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行,是真命题，不符合题意；
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,是真命题，不符合题意；
D. 在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故D选项是假命题，符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查了真假命题的判断，掌握相关定理与性质是解题的关键．
5．B
【分析】
先根据平行线的性质求出∠1的同位角，再由两角互余的性质求出∠2的度数即可；
【详解】
∵直线a∥b，∠1=55°，
∴∠1=∠3=55°，
∵三角板的直角顶点放在b上，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠2=90°-55°=35°，
故选：B．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，即两直线平行，同位角相等以及互余的两角，正确掌握知识点是解题的关键；
6．C
【详解】
解：由题意可知4的算术平方根是2，4的立方根是 <2, 8的算术平方根是， 2<<3，8的立方根是2，
故根据数轴可知,
故选C
7．B
【分析】
根据平行线的性质推出，，然后结合角平分线的定义求解即可得出，从而得出结论．
【详解】
解：∵，
∴，，
∵的平分线交于点F，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质和角平分线的定义，理解并熟练运用平行线的基本性质是解题关键．
8．B
【分析】
找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题．
【详解】
解：由题知（0，0）表示粒子运动了0分钟，
（1，1）表示粒子运动了2＝1×2分钟，将向左运动，
（2，2）表示粒子运动了6＝2×
解析：B
【分析】
找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题．
【详解】
解：由题知（0，0）表示粒子运动了0分钟，
（1，1）表示粒子运动了2＝1×2分钟，将向左运动，
（2，2）表示粒子运动了6＝2×3分钟，将向下运动，
（3，3）表示粒子运动了12＝3×4分钟，将向左运动，
..．
于是会出现：
（44，44）点粒子运动了44×45＝1980分钟，此时粒子将会向下运动，
∴在第2021分钟时，粒子又向下移动了2021−1980＝41个单位长度，
∴粒子的位置为（44，3），
故选：B．
【点睛】
本题考查的是动点坐标问题，解题的关键是找出粒子的运动规律．
九、填空题
9．﹣3．
【详解】
试题分析：根据算术平方根的定义﹣=﹣3．
故答案是﹣3．
考点：算术平方根．
解析：﹣3．
【详解】
试题分析：根据算术平方根的定义﹣=﹣3．
故答案是﹣3．
考点：算术平方根．
十、填空题
10．0；
【分析】
平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，依此列出关于的方程求解即可．
【详解】
解：根据对称的性质，得，
解得．
故答案为：0．
【点睛】
考查了关于轴、轴对称的点的坐标，
解析：0；
【分析】
平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，依此列出关于的方程求解即可．
【详解】
解：根据对称的性质，得，
解得．
故答案为：0．
【点睛】
考查了关于轴、轴对称的点的坐标，这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆．
十一、填空题
11．120°
【分析】
由题意可知求出∠ABC+∠ACB=120°，由BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可知∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=60°，所以∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=
解析：120°
【分析】
由题意可知求出∠ABC+∠ACB=120°，由BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可知∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=60°，所以∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=120°.
【详解】
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=60°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=120°
故答案为120°
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理
十二、填空题
12．36°
【分析】
如图，根据平行线的性质可得∠3=∠2，然后根据平角的定义解答即可．
【详解】
解：如图，∵三角尺的两边a∥b，
∴∠3=∠2=54º，
∴∠1=180°－90°－∠3=36°．
故
解析：36°
【分析】
如图，根据平行线的性质可得∠3=∠2，然后根据平角的定义解答即可．
【详解】
解：如图，∵三角尺的两边a∥b，
∴∠3=∠2=54º，
∴∠1=180°－90°－∠3=36°．
故答案为：36°．

【点睛】
本题以三角板为载体，主要考查了平行线的性质和和平角的定义，属于基础题型，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
十三、填空题
13．5°
【分析】
根据平行线的性质可得∠3的度数，再根据邻补交的性质可得∠2=（180°-∠3）÷2进行计算即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠3=180°，
∵∠1=105°，
∴∠3=
解析：5°
【分析】
根据平行线的性质可得∠3的度数，再根据邻补交的性质可得∠2=（180°-∠3）÷2进行计算即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠3=180°，
∵∠1=105°，
∴∠3=180°-105°=75°，
∴∠2=（180°-75°）÷2=52.5°，
故答案为：52.5°．

【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，关键是找准折叠后哪些角是对应相等的．
十四、填空题
14．±3
【分析】
分别算出a，b计算即可；
【详解】
∵a，b为两个连续的整数，且，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的平方根为±3；
故答案是：±3．
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算和求一个数的平
解析：±3
【分析】
分别算出a，b计算即可；
【详解】
∵a，b为两个连续的整数，且，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的平方根为±3；
故答案是：±3．
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算和求一个数的平方根，准确计算是解题的关键．
十五、填空题
15．三
【分析】
先判断出点P的纵坐标的符号，再根据各象限内点的符号特征判断点P所在象限即可．
【详解】
解：∵a2为非负数，
∴-a2-1为负数，
∴点P的符号为（-，-）
∴点P在第三象限．
故答案
解析：三
【分析】
先判断出点P的纵坐标的符号，再根据各象限内点的符号特征判断点P所在象限即可．
【详解】
解：∵a2为非负数，
∴-a2-1为负数，
∴点P的符号为（-，-）
∴点P在第三象限．
故答案为：三．
【点睛】
本题考查了点的坐标．解题的关键是掌握象限内的点的符号特点，注意a2加任意一个正数，结果恒为正数．牢记点在各象限内坐标的符号特征是正确解答此类题目的关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
十六、填空题
16．(4，3)
【分析】
按照反弹规律依次画图即可．
【详解】
解：如图：
根据反射角等于入射角画图，可知小球从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（2，4），再反射到P5（4，3），再反射到P点
解析：(4，3)
【分析】
按照反弹规律依次画图即可．
【详解】
解：如图：

根据反射角等于入射角画图，可知小球从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（2，4），再反射到P5（4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，
2021÷6＝336…5，
即点P2021的坐标是（4，3）．
故答案为：（4，3）．
【点睛】
本题考查了生活中的轴对称现象，点的坐标．解题的关键是能够正确找到循环数值，从而得到规律．
十七、解答题
17．（1）；（2）
【分析】
（1）先求绝对值，同时利用计算，再合并即可；
（2）利用乘法的分配率先进行乘法运算，同时求解的立方根，再合并即可．
【详解】
解：（1）

（2）

【点睛】
本题考
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）先求绝对值，同时利用计算，再合并即可；
（2）利用乘法的分配率先进行乘法运算，同时求解的立方根，再合并即可．
【详解】
解：（1）

（2）

【点睛】
本题考查的是实数的运算，考查，求一个数的立方根，绝对值的运算，掌握以上知识是解题的关键．
十八、解答题
18．（1）x＝±9；（2）；（3）x＝﹣1．
【分析】
（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
（2）式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
（3）利用立方根的定义求解即可．
【详解】
解：（1）
解析：（1）x＝±9；（2）；（3）x＝﹣1．
【分析】
（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
（2）式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
（3）利用立方根的定义求解即可．
【详解】
解：（1）x2﹣81＝0，
x2＝81，
x＝±9；
（2）2x2﹣16＝0，
2x2＝16，
x2＝8，
；
（3）（x﹣2）3＝﹣27，
x﹣2＝﹣3，
x＝2﹣3，
x＝﹣1．
【点睛】
本题主要考查了平方根与立方根的定义：求a的立方根，实际上就是求哪个数的立方等于a，熟记相关定义是解答本题的关键．
十九、解答题
19．对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【分析】
先根据同位角相等，两直线平行，判定AD∥BC，进而得到∠ADE=∠C，再根据内错角相等，两直
解析：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【分析】
先根据同位角相等，两直线平行，判定AD∥BC，进而得到∠ADE=∠C，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到AB∥CD．
【详解】
证明：∵∠1=∠2（已知）
∠1=∠AGH（对顶角相等）
∴∠2=∠AGH（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠ADE=∠C（两直线平行，同位角相等）
∵∠A=∠C（已知）
∴∠ADE=∠A
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
二十、解答题
20．（1）3，4，3，﹣2，D，﹣2；（2）见解析
【分析】
（1）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案；
（2）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案．
【详解】
解：（1）A→C（ 3
解析：（1）3，4，3，﹣2，D，﹣2；（2）见解析
【分析】
（1）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案；
（2）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案．
【详解】
解：（1）A→C（ 3，4），B→D（3﹣2），C→D（＋1，﹣2）；
故答案为3，4；3，﹣2；D，﹣2；
（2）这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋1，﹣1），（﹣2，＋3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置，如图

【点睛】
本题主要考查了用有序实数对表示路线．读懂题目信息，正确理解行走路线的记录方法是解题的关键．
二十一、解答题
21．（1）a=4，m=36；（2）6
【分析】
（1）根据平方根的性质得到，求出a值，从而得到m；
（2）估算出的范围，得到b值，代入求出，从而得到的立方根．
【详解】
解：（1）∵整数的两个平方根为，
解析：（1）a=4，m=36；（2）6
【分析】
（1）根据平方根的性质得到，求出a值，从而得到m；
（2）估算出的范围，得到b值，代入求出，从而得到的立方根．
【详解】
解：（1）∵整数的两个平方根为，，
∴，
解得：，
∴，
∴m=36；
（2）∵为的整数部分，
∴，
∴，
∴b=9，
∴，
∴的立方根为6．
【点睛】
本题主要考查立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
二十二、解答题
22．（1）；（2）＜；（3）不能；理由见解析．
【分析】
（1）由正方形面积，易求得正方形边长，再由勾股定理求对角线长；
（2）由圆面积公式，和正方形面积可求周长，比较两数大小可以采用比商法；
（3）采
解析：（1）；（2）＜；（3）不能；理由见解析．
【分析】
（1）由正方形面积，易求得正方形边长，再由勾股定理求对角线长；
（2）由圆面积公式，和正方形面积可求周长，比较两数大小可以采用比商法；
（3）采用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可.
【详解】
解：（1）由已知AB2＝1，则AB＝1，
由勾股定理，AC＝；
故答案为：.
（2）由圆面积公式，可得圆半径为，周长为，正方形周长为4．
；即C圆<C正；
故答案为：＜
（3）不能；
由已知设长方形长和宽为3xcm和2xcm
∴长方形面积为：2x•3x＝12
解得x＝
∴长方形长边为3＞4
∴他不能裁出．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根在正方形、圆、长方形面积中的应用，灵活的进行算术平方根的计算与无理数大小比较是解题的关键.
二十三、解答题
23．（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣
【分析】
（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，
解析：（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣
【分析】
（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，参考小亮思考问题的方法即可求∠BED的度数；
②如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC＝α，∠ADC＝β，参考小亮思考问题的方法即可求出∠BED的度数．
【详解】
解：（1）过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝∠B，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；
故答案为：∠B；EF；CD；∠D；
（2）①如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．

∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠EDC．
∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．
即∠BED＝∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．
答：∠BED的度数为65°；
②如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．

∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠EDC．
∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．
即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA＝∠ABC＝，∠EDC＝∠ADC＝，
∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣．
答：∠BED的度数为180°﹣．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
二十四、解答题
24．（1）72°；（2）30秒或110秒；（3）不变，∠BAC=2∠BCD
【分析】
（1）根据∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=3：2，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，
解析：（1）72°；（2）30秒或110秒；（3）不变，∠BAC=2∠BCD
【分析】
（1）根据∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=3：2，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据2t=1•（30+t），可得 t=30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t-180）=180，可得t=110；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC=2t-108°，∠BCD=126°-∠BCA=t-54°，即可得出∠BAC：∠BCD=2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【详解】
解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=3：2，
∴∠BAN=180°×=72°，
故答案为：72；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，

∵PQ∥MN，
∴∠PBD=∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM=∠BDA，
∴∠CAM=∠PBD
∴2t=1•（30+t），
解得 t=30；
②当90＜t＜150时，如图2，

∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA=180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN=∠BDA
∴∠PBD+∠CAN=180°
∴1•（30+t）+（2t-180）=180，
解得 t=110，
综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，

∵∠CAN=180°-2t，
∴∠BAC=72°-（180°-2t）=2t-108°，
又∵∠ABC=108°-t，
∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-t，而∠ACD=126°，
∴∠BCD=126°-∠BCA=126°-（180°-t）=t-54°，
∴∠BAC：∠BCD=2：1，
即∠BAC=2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
二十五、解答题
25．【现象解释】见解析；【尝试探究】ÐBEC = 70°；【深入思考】 b = 2a.
【分析】
[现象解释]根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠
解析：【现象解释】见解析；【尝试探究】ÐBEC = 70°；【深入思考】 b = 2a.
【分析】
[现象解释]根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即可得出∠DCB+∠ABC=180°，即可证得AB∥CD；
[尝试探究]根据三角形内角和定理求得∠2+∠3=125°，根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用平角的定义得出∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，即可得出∠EBC+BCE=360°-250°=110°，根据三角形内角和定理即可得出∠BEC=180°-110°=70°；
[深入思考]利用平角的定义得出∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，利用外角的性质∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，而∠BOC=∠3-∠2=α，即可证得β=2α．
【详解】
[现象解释]
如图2，

∵OM⊥ON，
∴∠CON=90°，
∴∠2+∠3=90°
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∴AB∥CD；
【尝试探究】
如图3，

在△OBC中，∵∠COB=55°，
∴∠2+∠3=125°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=250°，
∵∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，
∴∠EBC+BCE=360°-250°=110°，
∴∠BEC=180°-110°=70°；
【深入思考】
如图4，

β=2α，
理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，
∴∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，
∵∠BOC=∠3-∠2=α，
∴β=2α．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的性质是解题的关键．