北京力迈外国语学校八年级上册期末数学试卷[001].doc

北京力迈外国语学校八年级上册期末数学试卷
一、选择题
1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（       ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2、某红外线遥控器发出的红外线波长为，用科学记数法表示这个数是（       ）
A． B． C． D．
3、下列计算正确的是（        ）
A． B． C． D．
4、函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x＞2 D．x＜2
5、下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（       ）
A． B．
C． D．
6、下列式子从左到右的变形一定正确的是（       ）
A． B． C． D．
7、如图，在和中，，，还需在添加一个条件才能使，则不能添加的条件是（       ）

A． B． C． D．
8、关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＜2且m≠0 D．m≠0
9、如图，中，点E在边上，，连接．若，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
二、填空题
10、如图，在中，，的外角平分线与内角平分线的延长线交于点，过点作交延长线于点，连接，点为中点．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（       ）

A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
11、若分式的值为0，则x的值为____________．
12、点关于y轴对称的点的坐标是______．
13、如果a+b＝2，那么的值是_____．
14、求值：______．
15、如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF=________度．

16、如图，点P在∠AOB内部，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，PM＝PN，若∠MPN＝140°，则∠AOC＝_____°．

17、已知a+b＝2，ab＝﹣24，a2+b2的值为_______．
18、如图，△ABC中，∠ACB ＝ 90°，AC ＝ 6，BC ＝ 8，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥于E，当点P运动 _________ 秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以O、F、C为顶点的三角形全等．

三、解答题
19、分解因式
(1)；
(2)．
20、解方程：．
21、如图，点是上的一点，交于点，点是的中点，．
求证：．

22、解答
(1)问题发现．
如图1，，，则______．
由此发现：∠1与∠C、∠A的数量关系是______，用语言叙述为：三角形一个外角等于______．
(2)结论运用
如图2，中，，沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若，求∠BDC的度数．

23、请仿照例子解题：
恒成立，求M、N的值．
解：∵，∴
则，即
故，解得：
请你按照．上面的方法解题：若恒成立，求M、N的值．
24、先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．
十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），如：将式子和分解因式，如图：
；
．

请你仿照以上方法，探索解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：．
25、在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，在BD的延长线上取一点E满足：AE＝AB；AF平分∠CAE交BE于点F．

(1)如图1，连CF，求证：△ACF≌△AEF．
(2)如图2，当∠ABC＝60°时，线段AF，EF，BF之间存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明．
(3)如图3，当∠ACB＝45°时，且AE∥BC，若EF＝3，请直接写出线段BD的长是 　 　（只填写结果）．
一、选择题
1、D
【解析】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：①⑤是轴对称图形，不是中心对称图形；
③不是轴对称图形，是中心对称图形；
②④既是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形的定义是解决本题的关键．
2、B
【解析】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：=9.4×10-7m，
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
3、A
【解析】A
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项和同底数幂的除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：A．，故A符合题意；
B．与不能合并，故B不符合题意；
C．，故C不符合题意；
D．，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项和同底数幂的除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
4、B
【解析】B
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．
【详解】解：根据题意得：x-2≠0
解得：x≠2；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．
5、D
【解析】D
【分析】根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可．
【详解】解：A. 从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B. 从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C. 从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的意义，正确应用分解因式的定义成为解答本题的关键．
6、B
【解析】B
【分析】根据分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变可解答．
【详解】解：A、若，则，由于题中没有告知与的关系，所以不一定成立，该选项不符合题意；
B、由可知一定成立，该选项符合题意；
C、当时，才能成立，该选项不符合题意；
D、若与异号，显然，，，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质是解题的关键．
7、D
【解析】D
【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析可得答案．
【详解】解：，
，
即，
∵在与中，，，
若，则可依据证明，故A选项不符合题意；
若，则可依据证明，故B选项不符合题意；
若，则可依据证明，故C选项不符合题意；
若，则不能证明，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理：，，， ，，并熟练应用解决问题是解题的关键．
8、C
【解析】C
【分析】根据分式方程的解为正数和分式方程有意义，得出x的取值范围，再解分式方程，解得，代入x的取值范围即可算出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的分式方程的解为正数，
∴且
∴且

去分母得：
化简得：
∴且
解得：且，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解，求参数的取值范围，找出x的取值范围是本题的关键．
9、C
【解析】C
【分析】由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠DCE的度数，再利用三角形的外角性质可求出∠AED的度数．
【详解】解：∵，
∴∠DCE=∠A=68°，
∴∠AED=∠DCE+∠D=68°+52°=120°．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及平行线的性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
二、填空题
10、D
【解析】D
【分析】由角平分线的性质和外角的性质可得，可求，故①正确，由余角的性质可证，故②正确，由“”可证，，可得，，，可得，，故③不正确、④正确；即可求解．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，即，
又，
，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确；
过点作于，如图所示：

，
，
点为中点，
，
在中根据三角形三边关系可知，即，故③错误；
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，外角的性质和三角形三边关系等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
11、4
【分析】根据分式的值为0的条件直接进行求解即可．
【详解】解：由分式的值为0，则有：
，
∴，
故答案为：3、
【点睛】本题主要考查分式的值为0，熟练掌握分式的值为0的条件是解题的关键．
12、A
【解析】
【分析】关于y轴的对称点的坐标特点为：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
【详解】解：∵平面直角坐标系中点A的坐标为，
∴A点关于y轴对称的点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
13、2
【分析】先将原式化为同分母分式的减法，再依据法则计算、化简，继而将a+b的值代入计算可得．
【详解】原式=﹣
=
=
=a+b，
当a+b=2时，
原式=2，
故答案为：1、
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握，即可解题.
14、
【分析】对所求的式子进行变形后，逆用积的乘方的法则运算即可．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝
＝
故答案为：．
【点睛】此题主要考查积的乘方，解题的关键是熟记积的乘方法则并逆用法则．
15、80°
【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠A′+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠EAB+∠FAD=
【解析】80°
【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠A′+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠EAB+∠FAD=50°，即可得出答案．
【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠C=50°，
∴∠DAB=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠A′+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠A′=∠EAB，∠A″=∠FAD，
∴∠EAB+∠FAD=50°，
∴∠EAF=130°-50°=80°，
故答案为80°．
【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
16、20
【分析】由PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N得∠PMO=∠PNO=90°，已知∠MPN=140°，根据四边形的内角和等于360°可以求出∠AOB的度数，因为PM=PN，OP为Rt△PMO和Rt
【解析】20
【分析】由PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N得∠PMO=∠PNO=90°，已知∠MPN=140°，根据四边形的内角和等于360°可以求出∠AOB的度数，因为PM=PN，OP为Rt△PMO和Rt△PNO的公共边，由“HL”可以证明Rt△PMO≌Rt△PNO，则∠POM=∠PON，所以∠AOC= ∠AOB，即可求出∠AOC的度数．
【详解】解：如图，∵PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
在Rt△PMO和Rt△PNO中，
，
∴Rt△PMO≌Rt△PNO（HL），
∴∠POM=∠PON，
∵∠MPN=140°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-140°=40°，
∴∠AOC=∠AOB=×40°=20°，
故答案为：19、
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、多边形的内角和、角平分线的定义等知识，证明三角形全等是解题的关键．
17、52
【分析】根据完全平方公式变形即可求解．
【详解】解：∵a+b＝2，ab＝﹣24，
∴
故答案为：51、
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
【解析】52
【分析】根据完全平方公式变形即可求解．
【详解】解：∵a+b＝2，ab＝﹣24，
∴
故答案为：51、
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
18、1或或12
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出CP=CQ，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC=6-t，QC=8
【解析】1或或12
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出CP=CQ，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC=6-t，QC=8-3t，

∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC=∠QFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，
∴∠EPC=∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC=CQ，
即6-t=8-3t，
∴t=1；
②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC=t-6，QC=3t-8，
∵由①知：PC=CQ，
∴t-6=3t-8，
∴t=1；
∴t-6＜0，即此种情况不符合题意；

③当P、Q都在AC上时，如图3，
CP=6-t=3t-8，
∴t=；

④当Q到A点停止，P在BC上时，AC=PC，
t-6=6，
∴t=11、
⑤P和Q都在BC上的情况不存在，因为P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；
答：点P运动1或或12秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以O、F、C为顶点的三角形全等．
故答案为：1或或11、
【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
三、解答题
19、(1)5；
(2)（a-1）（a+4）．
【分析】（1）原式提取5，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式整理后，利用十字相乘法分解即可．
（1）
解：
=5（）
=5；
（2）
解：
=-16+
【解析】(1)5；
(2)（a-1）（a+4）．
【分析】（1）原式提取5，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式整理后，利用十字相乘法分解即可．
（1）
解：
=5（）
=5；
（2）
解：
=-16+3a+12
=+3a-4
=（a-1）（a+4）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20、分式方程无解
【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
经检验是增根，
∴分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的步骤及法则
【解析】分式方程无解
【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
经检验是增根，
∴分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键．
21、见解析
【分析】根据，可得，进而根据点是的中点，可得即可判断
【详解】证明：
点是的中点，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【解析】见解析
【分析】根据，可得，进而根据点是的中点，可得即可判断
【详解】证明：

点是的中点，

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
22、(1)30°；；和它不相邻的两个内角的和；
(2)．
【分析】（1）先求出∠ABC=80°，再根据三角形内角和定理即可求出，进而可以得到，用语言叙述为：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
【解析】(1)30°；；和它不相邻的两个内角的和；
(2)．
【分析】（1）先求出∠ABC=80°，再根据三角形内角和定理即可求出，进而可以得到，用语言叙述为：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）根据折叠性质得到，再根据（1）结论即可求解．
（1）解：∵，∴∠ABC=180°-∠1=80°，∵∠C=70°，∴∠A=180°-∠ABC-∠C=30°，由此发现：∠1与∠C、∠A的数量关系是，用语言叙述为：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．故答案为：30°，，和它不相邻的两个内角的和；
（2）解：由折叠得到，∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，理解题意，准确掌握两个定理是解题关键．
23、M、N的值分别为，
【分析】仿照题目当中例题的解法，一步一步的求解，根据等式两边对应项的系数相等列出关于M、N的二元一次方程组，进而求出M、N的值．
【详解】解：∵，
∴
即
故，
解得
答：M、N
【解析】M、N的值分别为，
【分析】仿照题目当中例题的解法，一步一步的求解，根据等式两边对应项的系数相等列出关于M、N的二元一次方程组，进而求出M、N的值．
【详解】解：∵，
∴
即
故，
解得
答：M、N的值分别为，．
【点睛】此题考查了分式混合运算，解题的关键是读懂例题的解法并熟练运用分式运算法则．
24、（1）（x﹣3）（x﹣4）；（2）（x﹣1）（3x+1）．
【分析】（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案；
（2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由
【解析】（1）（x﹣3）（x﹣4）；（2）（x﹣1）（3x+1）．
【分析】（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案；
（2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的结果.
【详解】（1）y2﹣7y+12=（x﹣3）（x﹣4）；
（2）3x2﹣2x﹣1=（x﹣1）（3x+1）.
【点睛】此题考查十字相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交叉相乘的结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键.
25、(1)证明见解析
(2)，证明见解析
(3)6
【分析】（1）由角平分线的定义可知，再根据等量代换得出AC =AE，由此可直接利用“SAS”证明；
（2）在BE上截取BM=CF，连接AM．由所作辅助
【解析】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
(3)6
【分析】（1）由角平分线的定义可知，再根据等量代换得出AC =AE，由此可直接利用“SAS”证明；
（2）在BE上截取BM=CF，连接AM．由所作辅助线易证，得出，．由题意易判断为等边三角形，即可求出，即说明为等边三角形，得出，由此即得出；
（3）延长BA，CF交于点N．由题意可知为等腰直角三角形，即，．根据平行线的性质和等边对等角即得出BE为的角平分线，从而可求出，进而可求出．由角平分线的性质可得出，从而可求出．又易证，即得出．
(1)
∵AF平分∠CAE，
∴．
∵AB=AC，AB=AE，
∴AC =AE．
又∵AF=AF，
∴．
(2)

证明：∵，
∴，．
如图，在BE上截取BM=CF，连接AM．

在和中，，
∴，
∴，．
∵，，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴，即，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
即AF，EF，BF之间存在的关系为：；
(3)
如图，延长BA，CF交于点N．

∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，．
∵AE∥BC，
∴．
∵，
∴，
∴．
由（1）可知，
∴，
∴，即．
∵为的角平分线，
∴．
∵，
∴，即．
在和中，，
∴，
∴．
故答案为：5、
【点睛】本题为三角形综合题，考查等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义和性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，综合性强，较难．解题关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题．