郑州外国语学校八年级上册期末数学模拟试卷含详细答案.doc

郑州外国语学校八年级上册期末数学模拟试卷含详细答案

一、选择题
1．如图，已知，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与全等的是（ ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．下列叙述中错误的是（ ）
A．能够完全重合的图形称为全等图形
B．全等图形的形状和大小都相同
C．所有正方形都是全等图形
D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形
3．下列长度的三条线段，哪一组不能构成三角形（ ）
A．3，3，3 B．3，4，5 C．5，6，10 D．4，5，9
4．已知，，则的值为(　　)
A．6 B． C．0 D．1
5．如图，ΔA¢B¢C≌ΔABC，点B¢在AB边上，线段A¢B¢，AC交于点D．若∠A＝40°，∠B＝60°，则∠A¢CB的度数为( )

A．100° B．120° C．135° D．140°
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
7．如图，矩形中，已知的平分线交于点于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①；②，③；④．其中正确的有（ ）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
8．如图，中，，，点是 边上的任意一点，，，垂足分别为 、，那么 等于（ ）

A． B． C． D．
9．下列各多项式相乘：①（-2ab+5x）(5x+2ab);②(ax－y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用平方差公式的有 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，在中，是的中点，在上，且，连接，交于点，若，则（ ）.

A．14 B．15 C．18 D．20
二、填空题
11．若m+n=1，mn=-6，则代数式的值是____________________；
12．用12根等长的火柴棒拼成一个等腰三角形，火柴棒不允许剩余、重叠、折断，则能摆出不同的等腰三角形的个数为________个．
13．若，则 的值为________.
14．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则等腰三角形的顶角度数为_________．
15．当____________时，分式的值为零．
16．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)

17．如图，，，垂足为．若，则_______．

18．已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，若；，则__________．

19．如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．

20．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点．若，，则的长为_______．

三、解答题
21．如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
⑴若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
⑵若点F是AC的中点，求证：∠CFD=∠B．

22．如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件：

①；②；③；④.请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明.
解：我写的真命题是：
已知：____________________________________________；
求证：___________.（注：不能只填序号）
证明如下：
23．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是______________；（请选择正确的一个）
A、，
B、，
C、．
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知，，求的值．
②计算：．
24．已知：，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）.
25．如图所示，在不等边中，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，垂直平分线交边于点，交边于点．

（1）若，求的度数；
（2）若边长为整数，求的周长．
26．如图，如果AD∥BC，∠B=∠C，那么AD是∠EAC的平分线吗？请说明你判别的理由．

27．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC
（1）若∠B=70°，∠C=30°，求；
①∠BAE的度数．
②∠DAE的度数．
（2）探究：如果只知道∠B=∠C+40°，那么能求岀∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

28．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“巧数”，如：，，，因此4,12,20这三个数都是“巧数”.
（1）400和2020这两个数是“巧数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数吗？为什么？
（3）求介于50到101之间所有“巧数”之和.
29．在学习分式计算时有这样一道题：先化简÷，再选取一个你喜欢且合适的数代入求值．张明同学化简过程如下：
解：÷
=÷（ ）
= （ ）
= （ ）
（1）在括号中直接填入每一步的主要依据或知识点；
（2）如果你是张明同学，那么在选取你喜欢且合适的数进行求值时，你不能选取的数有__________．
30．如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上.
（1）若BE⊥AD，∠F=62°，求∠A的大小.
（2）若AD=9cm，BC=5cm，求AB的长.

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一、选择题

1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可．
【详解】
解：A、△ABC和甲所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；
B、△ABC和乙所示三角形根据SAS可判定它们全等，故本选项正确；
C、△ABC和丙所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；
D、△ABC和丁所示三角形根据AA无法判定它们全等，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．C
解析：C
【解析】
解：A．能够重合的图形称为全等图形，说法正确，故本选项错误；
B．全等图形的形状和大小都相同，说法正确，故本选项错误；
C．所有正方形不一定都是全等图形，说法错误，故本选项正确；
D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形，说法正确，故本选项错误；
故选C．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得出答案.
【详解】
解：A、3+3＞3，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；
B、3+4＞5，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；
C、5+6＞10，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；
D、4+5=9，不符合三角形的三边关系定理，故本选项正确；
故选D.
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，注意：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据整式乘法法则去括号，再把已知式子的值代入即可．
【详解】
∵，，
∴原式．
故选：D．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用全等三角形的性质即可解答.
【详解】
解：已知ΔA¢B¢C≌ΔABC，
则∠A¢C B¢=∠ACB=180°-∠A-∠B=80°，
又因为CB=C B¢，且∠B=60°，
故三角形C B¢B是等边三角形，
∠B¢CB=60°，
故∠A¢CB=60°+80°=140°，
答案选D.
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，熟悉掌握是解题关键.
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.
【详解】
解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，
∴AG＝CG，AE＝BE，
∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，
∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，
∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，
故选：B.
【点睛】
此题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理并运用解题是关键.
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可得，然后可证得是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得到，从而得到，然后利用全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，即可判断出①；求出，，然后根据等角对等边可得，即可判断出②；求出，，然后利用全等三角形的判定定理证明，可得出，即可判断③；根据全等三角形的性质可得，然后根据，，即可判断④
【详解】
∵在矩形中，平分
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
在和中

∴
∴
∴
∴
∴
∴，故①正确；
∵
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴，故②正确
∵
∴
∴在和中

∴
∴，，故③正确
∵
∴
，故④正确
综合所述，结论正确的有①②③④
故答案选D
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，矩形的性质，灵活运用三角形的判定方法判定三角形全等，找出对应关系是解题的关键．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据直角三角形的两锐角互余和平角的定义可求得∠EDF的度数．
【详解】
解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠EDB=90°-50°=40°，∠FDC=90°-60°=30°，
∴∠EDF=180°-40°-30°=110°．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．注意：垂直和直角总是联系在一起．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：①（-2ab+5x）(5x+2ab)= （5x -2ab）(5x+2ab)，符合平方差公式，故①正确;
②(ax－y)(-ax-y) =- (ax－y)( ax+y)，符合平方差公式，故②正确;
③(-ab-c)(ab-c)=- (a+-c)(ab-c) ，符合平方差公式，故③正确;
④(m+n)(-m-n)=- (m+n)(m+n)，不符合平方差公式，故④错误.
正确的有①②③.
故选B.
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接CF，得到DF是△BCF的中线，设S△DCF=S△DBF=x，由求得△ABE面积为10，△BCE面积为30，进而得到△EFC面积为，△AEF面积为，△ABF的面积为，最后由△ABE面积20，列出等量关系解出x即可．
【详解】
解：连接CF，如下图所示：

由，可知，△ABE面积为10，△BCE面积为30，
由D是BC的中点，∴△ABD面积=△ACD面积=20，且DF是△ABC的中线，
设，则，，，
由，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形中线平分三角形面积，熟练掌握三角形中线的性质及等积变形是解决本题的关键．
二、填空题

11．-6
【解析】
【分析】
利用提公因式法因式分解，再把m+n=1，mn=-6代入计算即可．
【详解】
解：∵m+n=1，mn=-6，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=（-6）×1=-6．
故答案为
解析：-6
【解析】
【分析】
利用提公因式法因式分解，再把m+n=1，mn=-6代入计算即可．
【详解】
解：∵m+n=1，mn=-6，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=（-6）×1=-6．
故答案为：-6．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法因式分解是解答本题的关键．
12．2
【解析】
【分析】
本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解．
【详解】
设摆出的三角形中相等的两边是x根，则第三边是（）根，
根据三角形
解析：2
【解析】
【分析】
本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解．
【详解】
设摆出的三角形中相等的两边是x根，则第三边是（）根，
根据三角形的三边关系定理得到：，
则， ，
又因为是整数，
∴可以取4或5，
因而三边的值可能是：4，4，4或5，5，2；共二种情况，
则能摆出不同的等腰三角形的个数为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系：在组合三角形的时候，注意较小的两边之和应大于最大的边，三角形三边之和等于12．
13．10
【解析】
【分析】
【详解】
因为，
所以，
故答案为：10．
解析：10
【解析】
【分析】
【详解】
因为，
所以，
故答案为：10．
14．40°或140°
【解析】
【分析】
根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形进行解答．
【详解】
解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形，
由题意可知：在△ABC中，AB=AC，
解析：40°或140°
【解析】
【分析】
根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形进行解答．
【详解】
解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形，
由题意可知：在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高，且∠ABD=50°，
∴∠A=90°-50°=40°，
②如图2，若该等腰三角形为钝角三角形，
由题意可知：在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高，且∠ABD=50°，
∴∠BAD=90°-50°=40°，
∴∠BAC=180°-40°=140°，
综上所述：等腰三角形的顶角度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的分类讨论问题，以及三角形高的做法，解题的关键是对等腰三角形进行分类，利用数形结合思想进行解答．
15．-4
【解析】
【分析】
分式的值为零时,分子等于零,分母不等于零,进行求解即可．
【详解】
解：∵分式的值为零,
∴．
解得：,
所以
当时,分式无意义,故舍去．
综上所述,．
故答案为：-4．
解析：-4
【解析】
【分析】
分式的值为零时,分子等于零,分母不等于零,进行求解即可．
【详解】
解：∵分式的值为零,
∴．
解得：,
所以
当时,分式无意义,故舍去．
综上所述,．
故答案为：-4．
【点睛】
考查了分式的值为零的条件,注意：“分母不为零”这个条件不能少．
16．0；4；8；12
【解析】
【分析】
此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可．
【详解】
解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△
解析：0；4；8；12
【解析】
【分析】
此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可．
【详解】
解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，

∵AC＝2，
∴BP＝2，
∴CP＝6−2＝4，
∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；
②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，
这时BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为0秒；
③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，
∵AC＝2，
∴BP＝2，
∴CP＝2＋6＝8，
∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；
④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，
∵BC＝6，
∴BP＝6，
∴CP＝6＋6＝12，
点P的运动时间为12÷1＝12（秒），
故答案为0或4或8或12．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
17．40°
【解析】
【分析】
∠1和∠2是对顶角相等，∠2和∠3为同位角，根据两直线平行，同位角相等可求出∠3，在直角三角形中，两锐角互余，即可求解．
【详解】
解：∵∠1=50°，

∴∠1=∠2（
解析：40°
【解析】
【分析】
∠1和∠2是对顶角相等，∠2和∠3为同位角，根据两直线平行，同位角相等可求出∠3，在直角三角形中，两锐角互余，即可求解．
【详解】
解：∵∠1=50°，

∴∠1=∠2（对顶角相等），
∵AB∥CD，
∴∠3=∠2=50°，
又∵EG⊥AB，
∴∠E=90°-∠3=90°-∠50°=40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．
18．15°
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC,再根据角平分线的定义求出∠BAE,根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD,然后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD计算即可得解．
【
解析：15°
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC,再根据角平分线的定义求出∠BAE,根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD,然后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD计算即可得解．
【详解】
解：∵∠ABC=30°,∠ACB=60°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-60°=90°,
∵AE是三角形的平分线,
∴∠BAE=∠BAC=×90°=45°,
∵AD是三角形的高,
∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°,
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-45°=15°．
故答案为:15．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理,三角形的角平分线的定义,高线的定义, 熟记定理与概念并准确识图,理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
19．180°.
【解析】
【分析】
仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，进而得出答案．
【详解】
解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠1+∠4=90°，
∵∠2和∠3所
解析：180°.
【解析】
【分析】
仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，进而得出答案．
【详解】
解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠1+∠4=90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．
故答案为：180．
【点睛】
此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．
20．2
【解析】
【分析】
首先根据题意，将有关系的线段利用作辅助线将其联系在一起，连接AD，CD，证明，再证明，得出AM=CN，最后利用BM=BN列出等式关系即可求解．
【详解】

解：如图连接AD
解析：2
【解析】
【分析】
首先根据题意，将有关系的线段利用作辅助线将其联系在一起，连接AD，CD，证明，再证明，得出AM=CN，最后利用BM=BN列出等式关系即可求解．
【详解】

解：如图连接AD，CD，
DE垂直平分AC，
AD=CD，
BD平分，DMBM，DNBC，BD边重合，
（AAS），
DM=DN，BM=BN，
在Rt和Rt中，
AD=CD，DM=DN，
（HL），
AM=CN，
由上可知：BN=BC-CN=BC-AM，
BM=AB+AM，
又BM=BN，
BC-AM= AB+AM，
2AM= BC- AB=7-3=4，
AM=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，根据这两个性质结合HL定理进行解答，正确作辅助线是解此题的关键．
三、解答题

21．（1）50°；（2）见解析
【解析】
试题分析：⑴根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理与四边形的内角和为360°，可求得所求角的度数.
⑵连接BF，根据三角形内角和定理与等腰三角形三线合一，可知.
试题解析：⑴ ∵∠AFD=155°，∴∠DFC=25°，∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC=∠AED=90°，
在Rt△EDC中，∴∠C=90°﹣25°=65°，
∵AB=BC，∴∠C=∠A=65°，
∴∠EDF=360°﹣65°﹣155°﹣90°=50°．
⑵ 连接BF，∵AB=BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，，
∴∠CFD+∠BFD=90°，∠CBF+∠BFD=90°，
∴∠CFD=∠CBF，
∴．
22．已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：AB∥DE.证明见解析.或已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．求证：AC=DF．证明见解析.
【解析】
【分析】
由BE=CF⇒BC=EF，所以，由①②④，可用SSS⇒△ABC≌△DEF⇒∠ABC=∠DEF⇒ AB∥DE；由①③④，可用SAS⇒△ABC≌△DEF⇒AC=DF；由于不存在ASS的证明全等三角形的方法，故由其它三个条件不能得到1或4．
【详解】
解：将①②④作为题设，③作为结论，可写出一个正确的命题，如下：
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．
求证：AB∥DE．
证明：在△ABC和△DEF中，
∵BE=CF，
∴BC=EF.
又∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠ABC=∠DEF．
∴ AB∥DE.
将①③④作为题设，②作为结论，可写出一个正确的命题，如下：
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．
求证：AC=DF．
证明：∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF.
在△ABC和△DEF中
∵BE=CF，∴BC=EF.
又∵AB=DE，∠ABC=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC=DF．
【点睛】
本题考查命题与定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
23．（1）；（2）①3；②
【解析】
【分析】
（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等验证平方差公式即可；
（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；
②原式利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【详解】
（1）根据图形得：，
上述操作能验证的等式是，
故答案为：；
（2）①∵，
，
∴；
②

．
【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
24．（1）20；（2）33.
【解析】
【分析】
（1）将已知两等式左右两边相加，即可求出所求代数式的值；
（2）将已知两等式左右两边相减，即可求出所求代数式的值.
【详解】
（1）∵，，
∴=（）+（）=30-10=20；
（2）∵，，
∴=（）-（）-7=30-（-10）-7=30+10-7=33.
【点睛】
此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型.
25．（1）20°；（2）4
【解析】
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质得到和，再根据三角形内角和去算出角的度数；
（2）根据三角形三边关系求出BC长，再根据垂直平分线的性质证明的周长等于BC的长．
【详解】
解：（1）∵DE、MN分别是线段AB和线段AC的垂直平分线，
∴AE=BE，AN=CN，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）在中，，即，
∵BC边长是整数，
∴BC的长度可以取2、3、4，
∵是不等边的，
∴BC=4，
由（1）知AE=BE，AN=CN，
∴．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，三角形三边关系和内角和，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
26．AD是∠EAC的平分线，理由见解析
【解析】
【分析】
根据平行线和等腰三角形的性质可证得∠EAD=∠DAC，可得出结论．
【详解】
AD是∠EAC的平分线，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C，
又∵∠B=∠C，
∴∠EAD=∠DAC，
∴AD是∠EAC的平分线．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，掌握等边对等角和平行线的性质是解题的关键．
27．（1）①∠BAE=40°；②∠DAE=20°；（2）∠DAE=20°．
【解析】
【分析】
（1）①利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再利用角平分线定义求∠BAE．②先求出∠BAD，就可知道∠DAE的度数．
（2）用∠B，∠C表示∠DAE，即可求岀∠DAE的度数．
【详解】
解：（1）①∵∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=40°；
②∵AD⊥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
而∠BAE=40°，
∴∠DAE=20°；
（2）∵AE为角平分线，
∴∠BAE=（180°-∠B-∠C），
∵∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=（∠B-∠C），
又∵∠B=∠C+40°，
∴∠B-∠C=40°，
∴∠DAE=20°．
【点睛】
此题考查了三角形内角和定理，熟练运用角平分线定义和三角形的内角和定理是解题的关键．
28．（1）400不是“巧数”，2020是“巧数”，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）532．
【解析】
【分析】
（1）根据“巧数”的定义进行判断即可；
（2）列出这两数的平方差，运用平方差公式进行计算，对结果进行分析即可；
（3）介于50到100之间的所有“巧数”中，最小的为：142-122=52，最大的为：262-242=100，将它们全部列出不难求出他们的和．
【详解】
解：（1）400不是“巧数”，2020是“巧数”．原因如下：
因为，故400不是“巧数”，
因为2020=5062-5042，故2020是“巧数”；
（2）
∵n为正整数，
∴2n－1一定为正整数，
∴4(2n－1)一定能被4整除，
即由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数；
（3）介于50到100之间的所有“巧数”之和，
S=（142－122）+（162－142）+（182－162）+…+（262－242）=262－122=532．
故答案是：532．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用．能根据“巧数”的定义进行计算是解决此题的关键．（2）中能利用因式分解把所求的代数式进行变形是解题关键；（3）中不要先计算50到100之间的每一个巧数，根据题意先把它们的和列出来，会发现可以抵消部分，然后计算简单．
29．（1）通分，分解因式，分式的除法法则，约分；（2）2，-2，1．
【解析】
试题分析：先对小括号部分通分，把除化为乘，再根据分式的基本性质约分，最后根据分式的分母不为0求值即可．
解：÷
=÷（通分，分解因式）
= （分式的除法法则）
= （约分）
则不能选取的数有2，-2，1．
考点：分式的化简求值
点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.
30．（1）∠A=28°；（2）AB =2 cm．
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质得到∠FCA=∠EBD=90°，根据直角三角形的性质计算即可；
（2）根据全等三角形的性质得到CA=BD，结合图形得到AB=CD，计算即可．
【详解】
（1）∵BE⊥AD，
∴∠EBD=90°．
∵△ACF≌△DBE，
∴∠FCA=∠EBD=90°．
∴∠F+∠A=90°
∵∠F =62°，
∴∠A=28°．
（2）∵△ACF≌△DBE，
∴CA=BD．
∴CA-CB=BD-CB．
即AB=CD．
∵AD=9 cm, BC=5 cm，
∴AB+CD=9-5=4 cm．
∴AB=CD=2 cm．
【点睛】
考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．